Мейсон-Стотерс теоремасы - Mason–Stothers theorem

The Мейсон-Стотерс теоремасы, немесе жай Мейсон теоремасы, математикалық болып табылады теорема туралы көпмүшелер, ұқсас abc болжам бүтін сандар үшін. Оған байланысты Уолтер Уилсон Стотерс, оны 1981 жылы кім шығарды,^[1] және Мэйсон, кім оны көп ұзамай қайта ашты.^[2]

Теоремада:

Келіңіздер

а (т)

,

б (т)

, және

c (т)

болуы салыстырмалы түрде қарапайым көпмүшелер өріс үстінде

а + б = c

сондықтан олардың барлығында да жоғалып бара жатқан туынды жоқ. Содан кейін

{ displaystyle max { deg (a), deg (b), deg (c) } leq deg ( operatorname {rad} (abc)) - 1.}

Мұнда $рад (f)$ -ның айқын төмендетілмейтін факторларының туындысы болып табылады $f$ . Алгебралық жабық өрістер үшін бұл бірдей минималды дәреженің көпмүшесі тамырлар сияқты $f$ ; Бұл жағдайда $градус (рад (f))$ түбірлерінің айқын санын береді $f$ .^[3]

Мысалдар

0 шартты өрістердің үстінде $а$ , $б$ , және $c$ барлығында жоғалып кететін туынды олардың барлығының тұрақты болмау шартына баламалы. Сипаттамалық өрістердің үстінен $б > 0$ олардың барлығы тұрақты емес деп ойлау жеткіліксіз. Мысалы, жеке тұлға $т б + 1 = (т + 1) б$ үш көпмүшенің максималды дәрежесі ( $а$ және $б$ сол жақтағы шақыру ретінде және $c$ оң жақта) $б$ , бірақ радикалдың дәрежесі тек қана $2$ .
Қабылдау $а (т) = т n$ және $c (т) = (т +1) n$ теңдіктің қандай да бір мағынада мүмкін болатындығын көрсететін Мейсон-Сттерс теоремасында теңдік болатынына мысал келтіреді.
Мейсон-Сттерс теоремасының қорытындысы аналогы болып табылады Ферманың соңғы теоремасы функция өрістері үшін: егер $а (т) n + б (т) n = c (т) n$ үшін $а$ , $б$ , $c$ Бөлінбейтін сипаттамалық өрістегі салыстырмалы жай көпмүшеліктер $n$ және $n > 2$ содан кейін кем дегенде біреуін $а$ , $б$ , немесе $c$ 0-ге тең немесе олардың барлығы тұрақты.

Дәлел

Снайдер (2000) Мейсон-Сттерс теоремасының келесі қарапайым дәлелі келтірілді.^[4]

Қадам 1. Шарт $а + б + c = 0$ дегенді білдіреді Вронскилер $W (а, б) = аб' - а' б$ , $W (б, c)$ , және $W (c, а)$ барлығы тең. Жазыңыз $W$ олардың жалпы құндылығы үшін.

2-қадам. Туынды құралдардың кем дегенде біреуі болатын шарт $а'$ , $б'$ , немесе $c'$ нөлге тең емес $а$ , $б$ , және $c$ are coprime мұны көрсету үшін қолданылады $W$ нөлге тең емес, мысалы $W = 0$ содан кейін $аб' = а' б$ сондықтан $а$ бөледі $а'$ (сияқты $а$ және $б$ копримдік болып табылады) $а' = 0$ (сияқты $градус а > градус а'$ егер болмаса $а$ тұрақты).

3-қадам. $W$ ең үлкен ортақ бөлгіштердің әрқайсысына бөлінеді $(а, а')$ , $(б, б')$ , және $(c, c')$ . Бұлар коприментті болғандықтан, олардың өніміне бөлінеді, содан бері $W$ біз нөлден аламыз

градус (а, а') + Градус (б, б') + Градус (c, c') \leq градус W .

Қадам 4. Теңсіздіктерді ауыстыру

градус (а, а') \geq градус а

- (анық тамырларының саны

а

)

градус (б, б') \geq градус б

- (анық тамырларының саны

б

)

градус (c, c') \geq градус c

- (анық тамырларының саны

c

)

(мұнда тамырлар кейбір алгебралық жабылуда алынады) және

градус W . Градус а + град б - 1

біз мұны табамыз

градус c \leq (-ның айқын тамырларының саны abc) - 1

бұл бізге дәлелдеу үшін қажет болды.

Жалпылау

Көпмүшеліктер сақинасы бір өлшемдімен алмастырылатын табиғи қорыту бар функция өрісі.Қалайық $к$ 0 сипаттамасының алгебралық тұйық өрісі болсын $C / k$ болуы а тегіс проекциялық қисық туралы түр $ж$ , рұқсат етіңіз

{ displaystyle a, b in k (C)}

ұтымды функциялар болуы

C

қанағаттанарлық

{ displaystyle a + b = 1}

,

және рұқсат етіңіз $S$ нүктелерінің жиынтығы болуы керек $C (к)$ нөлдер мен полюстердің барлығын қамтиды $а$ және $б$ .Сосын

{ displaystyle max { bigl {} deg (a), deg (b) { bigr }} leq max { bigl {} | S | + 2g-2,0 { bigr }}.}

Мұндағы функцияның дәрежесі $к (C)$ ол индукциялайтын картаның дәрежесі $C$ дейін P¹.Мейсон дәлелдеді, баламалы қысқа дәлелмен сол жылы жарияланды J. H. Silverman.^[5]

Осыған байланысты одан әрі жалпылау бар Волох Дж^[6]және дейінБраунавелл және Д.В.Массер,^[7]үшін жоғарғы шекараны береді $n$ -өзгермелі $S$ -бірліктер $а 1 + а 2 + ... + а n = 1$ ішінара ештеңе ұсынылмаған жағдайда $а мен$ болып табылады $к$ - сызықтық тәуелді. Бұл болжам бойынша олар мұны дәлелдейді

{ displaystyle max { bigl {} deg (a_ {1}), ldots, deg (a_ {n}) { bigr }} leq { frac {1} {2}} n (n-1) max { bigl {} | S | + 2g-2,0 { bigr }}.}

Пайдаланылған әдебиеттер

^ Stothers, W. W. (1981), «Полиномдық сәйкестілік және hauptmoduln», Тоқсан сайын Дж. Математика. Оксфорд, 2, 32: 349–370, дои:10.1093 / qmath / 32.3.349.
^ Mason, R. C. (1984), Функционалдық өрістердегі диофантиялық теңдеулер, Лондон математикалық қоғамы Дәрістер сериясы, 96, Кембридж, Англия: Кембридж университетінің баспасы.
^ Ланг, Серж (2002). Алгебра. Нью-Йорк, Берлин, Гайдельберг: Шпрингер-Верлаг. б. 194. ISBN 0-387-95385-X.
^ Снайдер, Нұх (2000), «Мейсон теоремасының балама дәлелі» (PDF), Matematik элементтері, 55 (3): 93–94, дои:10.1007 / s000170050074, МЫРЗА 1781918.
^ Сильверман, Дж. Х. (1984), «Функция өрістеріндегі S-бірлік теңдеуі», Proc. Camb. Филос. Soc., 95: 3–4
^ Волоч, Дж. Ф. (1985), «Функция өрістеріндегі диагональды теңдеулер», Бол. Soc. Бра. Мат, 16: 29–39
^ Браунавелл, В.Д .; Массер, Д.В. (1986), «Функциялар өрістеріндегі қосындылардың жойылуы», Математика. Proc. Кембридж философиясы. Soc., 100: 427–434

Сыртқы сілтемелер

Вайсштейн, Эрик В. «Масон теоремасы». MathWorld.
Мейсон-Сттерс теоремасы және АВС гипотезасы, Вишал Лама. Лангтың кітабындағы дәлелдеудің тазартылған нұсқасы.

[1] Stothers, W. W. (1981), «Полиномдық сәйкестілік және hauptmoduln», Тоқсан сайын Дж. Математика. Оксфорд, 2, 32: 349–370, дои:10.1093 / qmath / 32.3.349.

[2] Mason, R. C. (1984), Функционалдық өрістердегі диофантиялық теңдеулер, Лондон математикалық қоғамы Дәрістер сериясы, 96, Кембридж, Англия: Кембридж университетінің баспасы.

[3] Ланг, Серж (2002). Алгебра. Нью-Йорк, Берлин, Гайдельберг: Шпрингер-Верлаг. б. 194. ISBN 0-387-95385-X.

[4] Снайдер, Нұх (2000), «Мейсон теоремасының балама дәлелі» (PDF), Matematik элементтері, 55 (3): 93–94, дои:10.1007 / s000170050074, МЫРЗА 1781918.

[5] Сильверман, Дж. Х. (1984), «Функция өрістеріндегі S-бірлік теңдеуі», Proc. Camb. Филос. Soc., 95: 3–4

[6] Волоч, Дж. Ф. (1985), «Функция өрістеріндегі диагональды теңдеулер», Бол. Soc. Бра. Мат, 16: 29–39

[7] Браунавелл, В.Д .; Массер, Д.В. (1986), «Функциялар өрістеріндегі қосындылардың жойылуы», Математика. Proc. Кембридж философиясы. Soc., 100: 427–434

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]