Марков тізбегі өлшенетін күй кеңістігінде - Markov chains on a measurable state space - Wikipedia

A Марков тізбегі өлшенетін күй кеңістігінде Бұл біртекті Марков тізбегі а өлшенетін кеңістік мемлекеттік кеңістік ретінде.

Тарих

Марков тізбектерінің анықтамасы 20 ғасырда дамыды. 1953 жылы Марков тізбегі термині қолданылды стохастикалық процестер дискретті немесе үздіксіз индексі бар, есептелетін немесе ақырғы күйде өмір сүретін, Doob қараңыз.^[1] немесе Чун.^[2] 20 ғасырдың аяғынан бастап Марков тізбегін өлшенетін күй кеңістігінде өмір сүретін дискретті индексі бар стохастикалық процесс ретінде қарастыру кеңінен танымал болды.^[3][4][5]

Анықтама

Деп белгілеңіз ${ displaystyle (E, Sigma)}$ және өлшенетін кеңістік ${ displaystyle p}$ а Марков ядросы көзімен және мақсатымен ${ displaystyle (E, Sigma)}$.Стохастикалық процесс ${ displaystyle (X_ {n}) _ {n in mathbb {N}}}$ қосулы ${ displaystyle ( Omega, { mathcal {F}}, mathbb {P})}$ Марков ядросы бар біртекті Марков тізбегі деп аталады ${ displaystyle p}$ және таратуды бастаңыз ${ displaystyle mu}$ егер

${ displaystyle mathbb {P} [X_ {0} in A_ {0}, X_ {1} in A_ {1}, dots, X_ {n} in A_ {n}] = int _ { A_ {0}} dots int _ {A_ {n-1}} p (y_ {n-1}, A_ {n}) , p (y_ {n-2}, dy_ {n-1}) нүктелер p (y_ {0}, dy_ {1}) , mu (dy_ {0})}$

кез келген үшін қанағаттандырылады ${ displaystyle n in mathbb {N}, , A_ {0}, нүктелер, A_ {n} in Sigma}$. Кез-келген Марков ядросы үшін құрастыруға болады және кез келген ықтималдықпен байланысты Марков тізбегін өлшеуге болады.^[4]

Марков ядросының интеграциясы туралы ескерту

Кез келген үшін өлшеу ${ displaystyle mu colon Sigma -ден [0, infty]}$ біз белгілейміз ${ displaystyle mu}$-интеграцияланатын функция ${ displaystyle f қос нүкте E -ден mathbb {R} cup { infty, - infty }}$ The Лебег интегралы сияқты ${ displaystyle int _ {E} f (x) , mu (dx)}$. Шара үшін ${ displaystyle nu _ {x} қос нүкте Sigma -ден [0, infty]}$ арқылы анықталады ${ displaystyle nu _ {x} (A): = p (x, A)}$ біз келесі белгіні қолдандық:

${ displaystyle int _ {E} f (y) , p (x, dy): = int _ {E} f (y) , nu _ {x} (dy).}$

Негізгі қасиеттері

Бір нүктеден бастаңыз

Егер ${ displaystyle mu}$ Бұл Дирак өлшемі жылы ${ displaystyle x}$, біз Марков ядросы үшін белгілейміз ${ displaystyle p}$ тарату басталады ${ displaystyle mu}$ байланысты Марков тізбегі ${ displaystyle (X_ {n}) _ {n in mathbb {N}}}$ қосулы ${ displaystyle ( Omega, { mathcal {F}}, mathbb {P} _ {x})}$ және күту мәні

${ displaystyle mathbb {E} _ {x} [X] = int _ { Omega} X ( omega) , mathbb {P} _ {x} (d omega)}$

үшін ${ displaystyle mathbb {P} _ {x}}$-интеграцияланатын функция ${ displaystyle X}$. Анықтама бойынша бізде бар${ displaystyle mathbb {P} _ {x} [X_ {0} = x] = 1}$.

Бізде кез-келген өлшенетін функция бар ${ displaystyle f қос нүкте E -ден [0, infty]}$ келесі қатынас:^[4]

${ displaystyle int _ {E} f (y) , p (x, dy) = mathbb {E} _ {x} [f (X_ {1})].}$

Марков ядроларының отбасы

Марков ядросы үшін ${ displaystyle p}$ тарату басталады ${ displaystyle mu}$ Марков ядроларының отбасын таныстыруға болады ${ displaystyle (p_ {n}) _ {n in mathbb {N}}}$ арқылы

${ displaystyle p_ {n + 1} (x, A): = int _ {E} p_ {n} (y, A) , p (x, dy)}$

үшін ${ displaystyle n in mathbb {N}, , n geq 1}$ және ${ displaystyle p_ {1}: = p}$. Байланысты Марков тізбегі үшін ${ displaystyle (X_ {n}) _ {n in mathbb {N}}}$ сәйкес ${ displaystyle p}$ және ${ displaystyle mu}$ біреуі алады

${ displaystyle mathbb {P} [X_ {0} in A, , X_ {n} in B] = int _ {A} p_ {n} (x, B) , mu (dx) }$.

Стационарлық шара

Ықтималдық өлшемі ${ displaystyle mu}$ Марков ядросының стационарлық өлшемі деп аталады ${ displaystyle p}$ егер

${ displaystyle int _ {A} mu (dx) = int _ {E} p (x, A) , mu (dx)}$

кез келген үшін ұстайды ${ displaystyle A in Sigma}$. Егер ${ displaystyle (X_ {n}) _ {n in mathbb {N}}}$ қосулы ${ displaystyle ( Omega, { mathcal {F}}, mathbb {P})}$Марков ядросы бойынша Марков тізбегін білдіреді ${ displaystyle p}$ стационарлық өлшеммен ${ displaystyle mu}$, және бөлу ${ displaystyle X_ {0}}$ болып табылады ${ displaystyle mu}$, содан кейін бәрі ${ displaystyle X_ {n}}$бірдей ықтималдық үлестіріміне ие, атап айтқанда:

${ displaystyle mathbb {P} [X_ {n} in A] = mu (A)}$

кез келген үшін ${ displaystyle A in Sigma}$.

Қайтымдылық

Марков ядросы ${ displaystyle p}$ ықтималдық өлшеміне сәйкес қайтымды деп аталады ${ displaystyle mu}$ егер

${ displaystyle int _ {A} p (x, B) , mu (dx) = int _ {B} p (x, A) , mu (dx)})$

кез келген үшін ұстайды ${ displaystyle A, B in Sigma}$. Ауыстыру ${ displaystyle A = E}$ егер екенін көрсетсе ${ displaystyle p}$ сәйкес қайтымды ${ displaystyle mu}$, содан кейін ${ displaystyle mu}$ стационарлық өлшемі болуы керек ${ displaystyle p}$.

Сондай-ақ қараңыз

• Харрис тізбегі
• Ақырлы типтің ауысымы

Әдебиеттер тізімі