Магнус кеңеюі - Magnus expansion

Жылы математика және физика, Магнус кеңеюі, атындағы Вильгельм Магнус (1907–1990), бірінші ретті біртекті ерітіндінің экспоненциалды бейнесін ұсынады сызықтық дифференциалдық теңдеу үшін сызықтық оператор. Атап айтқанда, ол негізгі матрица сызықтық жүйенің қарапайым дифференциалдық теңдеулер тәртіп n әр түрлі коэффициенттермен Көрсеткіш шексіз қатар ретінде жинақталған, оның шарттары бірнеше интегралдар мен кірістірілген коммутаторларды қамтиды.

Детерминирленген жағдай

Магнус тәсілі және оны түсіндіру

Берілген n × n матрица коэффициенті A(т), біреу шешуді қалайды бастапқы мән мәселесі сызықтық қарапайым дифференциалдық теңдеумен байланысты

белгісіз үшін n-өлшемді векторлық функция Y(т).

Қашан n = 1, шешім жай оқылады

Бұл әлі күнге дейін жарамды n > Егер матрица A(т) қанағаттандырады A(т1) A(т2) = A(т2) A(т1) мәндерінің кез-келген жұбы үшін т, т1 және т2. Атап айтқанда, егер бұл матрица болса A тәуелді емес т. Жалпы жағдайда, жоғарыдағы өрнек енді есептің шешімі болып табылмайды.

Матрицаның бастапқы мәндік есебін шешуге Магнус енгізген тәсіл - шешімді белгілі бір экспоненциал көмегімен өрнектеу n × n матрица функциясы Ω (т, т0):

кейіннен а ретінде салынады серия кеңейту:

мұнда, қарапайымдылық үшін жазу әдеттегідей Ω (т) үшін Ω (т, т0) және алу т0 = 0.

Магнус оны жоғары бағалады (г.дт eΩ) e−Ω = A(т), пайдаланып Пуанкаре − Хаусдорф матрицалық сәйкестік, ол уақыт туындысын байланыстыра алады Ω генераторлық функциясына Бернулли сандары және бірлескен эндоморфизм туралы Ω,

үшін шешу Ω тұрғысынан рекурсивті A «үздіксіз аналогында CBH кеңеюі », келесі бөлімде көрсетілгендей.

Жоғарыдағы теңдеу мынаны құрайды Магнус кеңеюі, немесе Магнус сериясы, матрицалық сызықтық бастапқы мәнді есепті шешу үшін. Осы серияның алғашқы төрт мерзімі оқылды

қайда [A, B] ≡ A BB A матрица болып табылады коммутатор туралы A және B.

Бұл теңдеулер келесідей түсіндірілуі мүмкін: Ω1(т) скалярдағы көрсеткішпен дәл сәйкес келеді (n = 1) жағдай, бірақ бұл теңдеу барлық шешімді бере алмайды. Егер біреу экспоненциалды ұсынуды талап етсе (Өтірік тобы ), көрсеткішті түзету керек. Magnus сериясының қалған бөлігі түзетуді жүйелі түрде қамтамасыз етеді: Ω немесе оның бөліктері Алгебра туралы Өтірік тобы шешім туралы.

Қосымшаларда Magnus сериясын сирек қосуға болады, ал шамамен шешімдер алу үшін оны қысқарту керек. Magnus ұсынысының басты артықшылығы мынада: қысқартылған қатар өте маңызды сапалық қасиеттерді нақты шешіммен бөліседі, ал басқа әдеттегіден айырмашылығы бар мазасыздық теориялар. Мысалы, in классикалық механика The симплектикалық сипаты уақыт эволюциясы жуықтаудың кез келген тәртібінде сақталады. Сол сияқты унитарлы уақыт эволюциясы операторының сипаты кванттық механика сақталады (айырмашылығы, мысалы, дейін Dyson сериясы сол мәселені шешу).

Кеңеюдің жақындауы

Математикалық тұрғыдан жинақтылық мәселесі келесідей: белгілі бір матрица берілген A(т), дәреже көрсеткіші қашан болады Ω (т) Магнус қатарының қосындысы ретінде алуға болады?

Осы серия үшін жеткілікті шарт жақындасу үшін т ∈ [0,Т) болып табылады

қайда а деп белгілейді матрица нормасы. Бұл нақты матрицалар құра алатындай мағынада жалпылық болып табылады A(т) ол үшін серия кез-келгеніне сәйкес келеді т > Т.

Магнус генераторы

Magnus кеңеюіндегі барлық терминдерді құрудың рекурсивті процедурасы матрицаларды қолданады Sn(к) арқылы рекурсивті түрде анықталады

содан кейін жабдықтайды

Міне жарнамакΩ қайталанатын коммутатор үшін стенография (қараңыз) бірлескен эндоморфизм ):

уақыт Bj болып табылады Бернулли сандары бірге B1 = −1/2.

Ақырында, бұл рекурсия нақты түрде жасалған кезде, оны білдіруге болады Ωn(т) сызықтық тіркесімі ретінде n-ның бүктелген интегралдары n - қатысатын 1 коммутатор n матрицалар A:

барған сайын күрделене түседі n.

Стохастикалық іс

Стохастикалық қарапайым дифференциалдық теңдеулерге кеңейту

Стохастикалық жағдайға кеңейту үшін рұқсат етіңіз болуы а -өлшемді Броундық қозғалыс, , үстінде ықтималдық кеңістігі ақырғы уақыт горизонтымен және табиғи сүзу. Енді матрицалық мәнді стохастикалық Itô дифференциалдық теңдеуін қарастырайық (Эйнштейннің индекс бойынша жиынтық конвенциясымен) j)

қайда біртіндеп өлшенеді -шектелген стохастикалық процестер және болып табылады сәйкестік матрицасы. Стохастикалық жағдайға байланысты өзгерістері бар детерминирленген жағдайдағыдай тәсілмен жүру[1] сәйкес матрицалық логарифма Itô-процесс ретінде шығады, оның алғашқы екі кеңейту тапсырысы берілген және , осымен Эйнштейннің жиынтық конвенциясы аяқталды мен және j

Кеңеюдің жақындауы

Стохастикалық жағдайда конвергенция а-ға тәуелді болады тоқтату уақыты және бірінші конвергенция нәтижесі:[2]

Коэффициенттер туралы алдыңғы болжам бойынша мықты шешім бар , сондай-ақ қатаң позитивті тоқтату уақыты осылай:

  1. нақты логарифмге ие уақытқа дейін , яғни
  2. келесі өкілдік орындалады - әрине:

    қайда болып табылады n- Magnus кеңейту формуласында кіші бөлімде анықталғандай стохастикалық Magnus кеңеюіндегі үшінші мүше;
  3. оң константасы бар C, тек тәуелді , бірге , осылай

Магнустың кеңею формуласы

Стохастикалық Магнус кеңеюінің жалпы кеңею формуласы:

мұнда жалпы термин бұл форманың Itô-процесі:

Шарттары ретінде рекурсивті түрде анықталады

бірге

және операторлармен S ретінде анықталуда

Қолданбалар

1960 жылдардан бастап Magnus кеңеюі физика мен химияның көптеген салаларында тербелтуші құрал ретінде сәтті қолданыла бастады. атомдық және молекулалық физика дейін ядролық магниттік резонанс[3] және кванттық электродинамика. Ол 1998 жылдан бастап матрицалық сызықтық дифференциалдық теңдеулердің сандық интеграциясының практикалық алгоритмдерін құралы ретінде қолданыла бастады. Олар Магнус кеңеюінен мәселенің сапалық қасиеттерін сақтауды мұраға алатындықтан, сәйкес схемалар прототиптік мысалдар болып табылады геометриялық сандық интеграторлар.

Сондай-ақ қараңыз

Ескертулер

  1. ^ 1. Kamm, K. & Pagliarani, S. & Pascucci, A. Магнустың стохастикалық кеңеюі (2020)
  2. ^ 2. Kamm, K. & Pagliarani, S. & Pascucci, A. Магнустың стохастикалық кеңеюі (2020), Теорема 1.1
  3. ^ 3. Haeberlen, U. & Waugh, J. S. Магнитті резонанстағы когерентті орташа әсер. Физ. Аян 175, 453-467 (1968).

Әдебиеттер тізімі

  • В.Магнус (1954). «Сызықтық оператор үшін дифференциалдық теңдеулердің экспоненциалды шешімі туралы». Комм. Таза Appl. Математика. VII (4): 649–673. дои:10.1002 / cpa.3160070404.
  • С.Бланес; Ф.Касас; Дж. Отео; Дж.Роз (1998). «Матрицалық дифференциалдық теңдеулер үшін Магнус пен Фердің кеңеюі: конвергенция есебі». J. физ. Ж: математика. Ген. 31 (1): 259–268. Бибкод:1998JPhA ... 31..259B. дои:10.1088/0305-4470/31/1/023.
  • A. Isles; S. P. Nørsett (1999). «Өтірік топтарындағы сызықтық дифференциалдық теңдеулерді шешу туралы». Фил. Транс. R. Soc. Лондон. A. 357 (1754): 983–1019. Бибкод:1999RSPTA.357..983I. CiteSeerX  10.1.1.15.4614. дои:10.1098 / rsta.1999.0362. S2CID  90949835.
  • С.Бланес; Ф.Касас; Дж. Отео; Дж.Роз (2009). «Magnus кеңеюі және оның кейбір қосымшалары». Физ. Rep. 470 (5–6): 151–238. arXiv:0810.5488. Бибкод:2009PhR ... 470..151B. дои:10.1016 / j.physrep.2008.11.001. S2CID  115177329.
  • К.Камм; С.Паллиарани; А. Паскучи (2020). «Магнустың стохастикалық кеңеюі». arXiv:2001.01098.