М.Ризестің кеңею теоремасы - M. Riesz extension theorem

The М.Ризестің кеңею теоремасы Бұл теорема жылы математика, дәлелденген Марсель Риш [1] оның оқу барысында сәттердің проблемасы.[2]

Қалыптастыру

Келіңіздер E болуы а нақты векторлық кеңістік, F ⊂ E а векторлық кеңістік және рұқсат етіңіз Қ ⊂ E болуы а дөңес конус.

A сызықтық функционалды φF → R аталады Қ-оң, егер ол конуста тек теріс емес мәндерді алса Қ:

Сызықтық функционалды ψE → R а деп аталады Қ-жағымды кеңейту туралы φ, егер ол бірдей болса φ доменінде φ, сонымен қатар конустың барлық нүктелері үшін кем дегенде 0 мәнін береді Қ:

Жалпы, а Қ- оң сызықтық функционалды F а дейін кеңейту мүмкін емес - оң сызықтық функционалды E. Екі өлшемнің өзінде қарсы үлгі алуға болады Қ ашық теріспен жоғарғы жарты жазықтық болу керек х-аксис жойылды. Егер F болып табылады х-аксис, содан кейін оң функционалды φ(х, 0) = х жазықтықта оң функционалдыға дейін кеңейту мүмкін емес.

Алайда кеңейту әрқайсысы үшін деген қосымша болжам бойынша бар ж ∈ E бар хF осындай ж − х ∈Қ; басқаша айтқанда, егер E = Қ + F.

Дәлел

Дәлелдеудің дәлелі сияқты Хань-Банах теоремасы (төменде қараңыз).

Авторы трансфиниттік индукция немесе Зорн леммасы істі күңгірт деп санау жеткіліктіE/F = 1.

Кез келгенін таңдаңыз жEF. Орнатыңыз

Біз төменде -∞ <екенін дәлелдейміз аб. Әзірге кез келгенін таңдаңыз c қанағаттанарлық аcбжәне орнатыңыз ψ(ж) = c, ψ|F = φ, содан кейін созыңыз ψ бәріне E сызықтық бойынша. Біз мұны көрсетуіміз керек ψ болып табылады Қ-жағымды. Айталық зҚ. Содан кейін де з = 0, немесе з = б(х + ж) немесе з = б(х - ж) кейбіреулер үшін p> 0 және хF. Егер з = 0, содан кейін ψ(z) ≥ 0. Қалған бірінші жағдайда х + ж = ж - (-х) ∈ Қ, солай

анықтамасы бойынша. Осылайша

Екінші жағдайда, х - жҚжәне сол сияқты

анықтамасы бойынша және солай

Барлық жағдайда, ψ(z) ≥ 0 және т.б. ψ болып табылады Қ-жағымды.

Енді -∞ <екенін дәлелдейміз аб. Болжам бойынша кем дегенде біреуі бар екенін ескертіңіз хF ол үшін ж - хҚ, және -∞ <а. Алайда, жоқ деген жағдай болуы мүмкін x ∈ F ол үшін х - жK, бұл жағдайда б = ∞ және теңсіздік тривиальды болады (бұл жағдайда жоғарыдағы үшінші жағдай орын алмайтынын ескеріңіз). Сондықтан, біз бұл туралы ойлауымыз мүмкін б <∞ және кем дегенде біреуі бар x ∈ F ол үшін х - жҚ. Теңсіздікті дәлелдеу үшін оны әрқашан көрсету жеткілікті хF және ж - хҚ, және х 'F және x '- yҚ, содан кейін φ(х) ≤ φ(х '). Әрине,

бері Қ дөңес конус болып табылады және солай

бері φ болып табылады Қ-жағымды.

Қорытынды: Крейннің кеңею теоремасы

Келіңіздер E болуы а нақты сызықтық кеңістік және рұқсат етіңіз Қ ⊂ E болуы а дөңес конус. Келіңіздер х ∈ E(−Қ) осындай болу керек R х + Қ = E. Сонда а бар Қ- позитивті сызықтық функционалды φE → R осындай φ(х) > 0.

Ган-Банах теоремасына қосылу

Хан-Банах теоремасын М.Ризес кеңейту теоремасынан шығаруға болады.

Келіңіздер V сызықтық кеңістік болып, рұқсат етіңіз N қосалқы сызықтық функция болуы керек V. Келіңіздер φ ішкі кеңістікте функционалды болу U ⊂ V басым N:

Хан-Банах теоремасы бұл туралы айтады φ функционалды сызықтық функцияларға дейін кеңейтілуі мүмкін V басым N.

Мұны М.Ризес кеңейту теоремасынан шығару үшін дөңес конусты анықтаңыз Қ ⊂ R×V арқылы

Функционалды анықтаңыз φ1 қосулы R×U арқылы

Біреу мұны көре алады φ1 болып табылады Қ- оң және сол Қ + (R × U) = R × V. Сондықтан φ1 дейін кеңейтілуі мүмкін Қ-оң функционалды ψ1 қосулы R×V. Содан кейін

болып табылады φ. Шынында да, егер ψ(х) > N(х), Бізде бар: (N(х), х) ∈ Қ, ал

қайшылыққа алып келеді.

Ескертулер

Әдебиеттер тізімі

  • Кастилло, Ри Э. (2005), «Крейн теоремасы туралы жазба» (PDF), Lecturas Matematicas, 26, мұрағатталған түпнұсқа (PDF) 2014-02-01, алынды 2014-01-18
  • Ризес, М. (1923), «Sur le problème des moment. III.», Mativatik, Astronomi och Fysik (француз тілінде), 17 (16), JFM  49.0195.01
  • Ахиезер, Н.И. (1965), Классикалық сәт мәселесі және оған қатысты кейбір сұрақтар талдауда, Нью-Йорк: Hafner Publishing Co., МЫРЗА  0184042