Лиувилл теңдеуі - Liouvilles equation - Wikipedia

Динамикалық жүйелердегі Лиувилл теңдеуін қараңыз Лиувилл теоремасы (Гамильтон).
Кванттық механикадағы Лиувилл теңдеуін қараңыз Фон Нейман теңдеуі.
Евклид кеңістігіндегі Лиувилл теңдеуін қараңыз Лиувилл-Брату-Гельфанд теңдеуі.

Жылы дифференциалды геометрия, Лиувилл теңдеуі, атындағы Джозеф Лиувилл, болып табылады бейсызықтық дербес дифференциалдық теңдеу конформальды фактормен қанағаттандырылды f метрика f2(г.х2 + дж2) үстінде беті тұрақты Гаусстық қисықтық Қ:

қайда 0 жазық Лаплас операторы

Лиувилл теңдеуі зерттеу кезінде пайда болады изотермиялық координаттар дифференциалдық геометрияда: тәуелсіз айнымалылар х, у координаттар болып табылады, ал f жазық метрикаға қатысты конформальды фактор ретінде сипатталуы мүмкін. Кейде бұл төртбұрыш f2 орнына, конформальды фактор деп аталады f өзі.

Лиувилл теңдеуі де мысал ретінде алынды Дэвид Хилберт оның тұжырымдамасында он тоғызыншы мәселе.[1]

Лиувилл теңдеуінің басқа кең таралған формалары

Көмегімен айнымалылардың өзгеруі журналf ↦ сен, Лиувилл теңдеуінің тағы бір кең таралған түрі алынды:

Әдебиетте кездесетін теңдеудің басқа екі формасы,[2] шамалы нұсқаны қолдану арқылы алынады 2 журналf ↦ сен айнымалылардың алдыңғы өзгерісінің және Wirtinger есептеу:[3]

Алдыңғы екі форманың біріншісінде Лиуиллдің теңдеуін Дэвид Хильберт өзінің тұжырымдамасында келтіргенін ескеріңіз. он тоғызыншы мәселе.[1][a]

Laplace-Beltrami операторының көмегімен тұжырымдама

Неғұрлым инвариантты түрде теңдеуді терминдер түрінде жазуға болады ішкі Laplace - Beltrami операторы

келесідей:

Қасиеттері

Гаусс-Кодацци теңдеулеріне қатысы

Лиувилл теңдеуі -ның нәтижесі Гаусс-Кодацци теңдеулері метрика жазылған кезде изотермиялық координаттар.

Теңдеудің жалпы шешімі

Ішінде жай қосылған домен Ω, Лиувилл теңдеуінің жалпы шешімін Виртингер есептеуін табуға болады.[4] Оның нысаны берілген

қайда f (з) кез келген мероморфты функция осындай

  • г.f/г.з(з) ≠ 0 әрқайсысы үшін з ∈ Ω.[4]
  • f (з) ең көп дегенде қарапайым тіректер жылы Ω.[4]

Қолдану

Лиувилл теңдеуін беттер үшін келесі жіктеу нәтижелерін дәлелдеу үшін қолдануға болады:

Теорема.[5] Метрикасы бар Евклидтің 3 кеңістігіндегі бет г.л2 = ж(з,_зг)зг._зжәне тұрақты скалярлық қисықтықпен Қ жергілікті изометриялық болып табылады:

  1. The сфера егер Қ > 0;
  2. The Евклидтік жазықтық егер Қ = 0;
  3. The Лобачевск ұшағы егер Қ < 0.

Сондай-ақ қараңыз

  • Лиуиллдің өріс теориясы, классикалық қозғалыс теңдеуі Лиувиль теңдеуін қорыту болып табылатын екі өлшемді конформды өріс теориясы

Ескертулер

  1. ^ Гильберт болжайды Қ = -1/2, сондықтан теңдеу келесідей болады жартылай сызықты эллиптикалық теңдеу::

Дәйексөздер

  1. ^ а б Қараңыз (Хилберт 1900, б. 288): Гильберт Джозеф Лиувиллге нақты сілтеме жасамайды.
  2. ^ Қараңыз (Дубровин, Новиков және Фоменко 1992 ж, б. 118) және (Henrici 1993 ж, б. 294)
  3. ^ Қараңыз (Henrici 1993 ж, 287–294 б.).
  4. ^ а б в Қараңыз (Henrici 1993 ж, б. 294)
  5. ^ Қараңыз (Дубровин, Новиков және Фоменко 1992 ж, 118-120 б.).

Келтірілген жұмыстар