(1,1) -сыныптардағы Лефшетц теоремасы - Lefschetz theorem on (1,1)-classes

Жылы алгебралық геометрия, филиалы математика, (1,1) -сыныптардағы Лефшетц теоремасы, атындағы Соломон Лефшетц, голоморфтыға қатысты классикалық тұжырым желілік байламдар үстінде ықшам Kähler коллекторы оның интегралындағы сыныптарға когомология. Бұл жалғыз жағдай Қожа жорамалы бұл барлық Kähler коллекторлары үшін дәлелденген.[1]

Теореманың тұжырымы

Келіңіздер X ықшам Kähler коллекторы болыңыз. Бірінші Черн сыныбы c1 голоморфты сызық шоғырларынан бастап картасын береді H2(X, З). Авторы Қожа теориясы, де Рам когомологиясы топ H2(X, C) тікелей қосынды ретінде ыдырайды H0,2(X) ⊕ H1,1(X) ⊕ H2,0(X), және оның бейнесі екенін дәлелдеуге болады c1 жатыр H1,1(X). Теорема картаға дейін дейді H2(X, З) ∩ H1,1(X) сурьективті болып табылады.

Ерекше жағдайда X Бұл проективті әртүрлілік, сызық эквиваленттілік сыныбымен холеморфты сызық байламдары қосылуда бөлгіштер және бөлгіш берілген Д. қосулы X байланыстырылған сызық байламымен O (D), сынып c1(O (D)) берілген гомология класына арналған Пуанкаре дуалы болып табылады Д.. Осылайша, бұл проективті сорттардағы бөлгіштерге арналған Ходж болжамының әдеттегі тұжырымдамасын белгілейді.

Қалыпты функцияларды қолдану арқылы дәлелдеу

Лефшетстің түпнұсқа дәлелі[2] проекциялық беттерде жұмыс істеді және Пуанкаре енгізген қалыпты функцияларды қолданды. Айталық Cт - бұл қисық қарындаш X. Осы қисықтардың әрқайсысында а бар Якобия әртүрлілігі JCт (егер қисық сингулярлы болса, тиісті жалпыланған Якобия әртүрлілігі бар). Бұларды отбасында жинауға болады , негізіне проекциялық карта comes бар қарындаштың Якобия Т қарындаш. A қалыпты функция бұл π -нің (голоморфты) бөлімі.

Ендіруді түзету X жылы PN, және қисық қарындашты таңдаңыз Cт қосулы X. Cur тұрақты қисық үшін X, Γ және қиылысы Cт бөлгіш б1(т) + ... + бг.(т) қосулы Cт, қайда г. дәрежесі болып табылады X. Негізгі нүктені бекітіңіз б0 қарындаш. Содан кейін бөлгіш б1(т) + ... + бг.(т) − dp0 нөлдік дәреженің бөлгіші болып табылады, сондықтан ол it класын анықтайдыΓ(т) Якобянда JCт барлығына т. Картасы т ν дейінΓ(т) қалыпты функция.

Анри Пуанкаре жалпы қисық қарындаш үшін барлық қалыпты функциялар ν түрінде пайда болғанын дәлелдедіΓ(т) choice таңдау үшін. Лефшетц кез-келген қалыпты функцияның класты анықтайтындығын дәлелдеді H2(X, З) және ν сыныбыΓ Γ фундаменталды класы болып табылады. Сонымен қатар, ол өзінің сынып екенін дәлелдеді H2(X, З) егер ол жататын болса ғана қалыпты функцияның класы болып табылады H1,1. Пуанкаренің тіршілік ету теоремасымен бірге бұл (1,1) -сыныптағы теореманы дәлелдейді.

Қабырғақты когомологияны қолдану арқылы дәлелдеу

Себебі X бұл күрделі коллектор, ол мойындайды экспоненциалды шоқтар тізбегі[3]

Осы нақты дәйектіліктің пуч когомологиясын алу карталарды береді

Топ Сурет X туралы желілік байламдар қосулы X изоморфты болып табылады . Бірінші Chern класс картасы c1 анықтамасы бойынша, сондықтан мұны көрсету жеткілікті мен* нөлге тең.

Себебі X Келер, Қожа теориясы мұны білдіреді . Алайда, мен* бастап карта арқылы факторлар H2(X, З) дейін H2(X, C) және т.б. H2(X, C), мен* проекцияны шектеу болып табылады H0,2(X). Демек, ол нөлге тең H2(X, З) ∩ H1,1(X), демек, циклдік класс картасы сурьективті болып табылады.[4]

Әдебиеттер тізімі

Библиография

  • Грифитс, Филлип; Харрис, Джозеф (1994), Алгебралық геометрияның принциптері, Wiley Classics кітапханасы, Нью-Йорк: Джон Вили және ұлдары, дои:10.1002/9781118032527, ISBN  978-0-471-05059-9, МЫРЗА  1288523
  • Лефшетц, Сүлеймен (1924), L'Analysis situs et la géométrie algébriqueМонографиялар жинағы, M. Emile Borel (француз тілінде), Париж: Готье-Вильяр Қайта басылды Лефшетц, Сүлеймен (1971), Таңдалған құжаттар, Нью-Йорк: Chelsea Publishing Co., ISBN  978-0-8284-0234-7, МЫРЗА  0299447