Ирротрационды ағынның лаплас теңдеуі - Laplace equation for irrotational flow

Ирротрационды ағын барлық жерде сұйықтық жылдамдығының қисаюы нөлге тең болған кезде пайда болады. Сол кезде

{ displaystyle nabla times { vec {v}} = 0}

Сол сияқты, біздің сұйықтық сығылмайды деп болжаған жағдайда, яғни

{ displaystyle rho (x, y, z, t) = rho { text {(тұрақты)}}}

Содан кейін, бастап үздіксіздік теңдеуі:

{ displaystyle { frac { жарым-жартылай rho} { жартылай t}} + nabla cdot ( rho { vec {v}}) = 0}

Біздің сығылмайтын жағдайымыз тығыздықтың уақыттық туындысы 0-ге тең екендігін және біз тығыздықты дивергенциядан шығарып, бөліп аламыз дегенді білдіреді, сөйтіп бізде сығылмайтын жүйе үшін үздіксіздік теңдеуі болады:

{ displaystyle nabla cdot { vec {v}} = 0}

Енді біз Гельмгольцтің ыдырауы жылдамдықты скалярлық потенциалдың градиентінің қосындысы ретінде және векторлық потенциалдың қисаюы ретінде жазу. Бізде бар

{ displaystyle { vec {v}} = - nabla phi + nabla times { vec {A}}}

Біздің жағдайымызды соған таңдайтындығыңызды ескеріңіз ${ displaystyle nabla times { vec {v}} = 0}$ мұны білдіреді

{ displaystyle nabla times ( nabla times { vec {A}}) = 0}

Градиенттің бұралуы әрдайым 0 болатындығын қолданған кезімізде, векторлық потенциал 0 үшін функцияның бұралуы тек 0-ге тең болатындығына назар аударыңыз. Сонымен, ирротрационды ағын бойынша бізде бар

{ displaystyle { vec {v}} = - nabla phi}

Содан кейін біздің үздіксіздік теңдеуін қолданамыз ${ displaystyle nabla cdot { vec {v}} = 0}$ , скалярлық потенциалды ауыстырып, ирротрационды ағынның Лаплас теңдеуін табуға болады:

${ displaystyle nabla ^ {2} phi = 0 ,}$

Назар аударыңыз лаплас теңдеуі - жақсы зерттелген сызықтық дербес дифференциалдық теңдеу. Оның шешімдері шексіз, дегенмен, біз физикалық жүйелерді қарастырғанда көптеген шешімдерді тастай аламыз, өйткені шекара шарттары толығымен анықтайды жылдамдық потенциалы.

Жалпы шекаралық шарттардың мысалдарына сұйықтықтың жылдамдығын жатқызуға болады ${ displaystyle { vec {v}} = - nabla phi}$ , жүйенің шекарасында 0 болады.

Мұнда қабаттасудың үлкен мөлшері бар электромагнетизм жалпы осы теңдеуді шешкен кезде, өйткені лаплас теңдеуі де модельдейді электростатикалық потенциал вакуумда.

Ирротрационды ағынды зерттеуге көптеген себептер бар, олардың арасында;

Көптеген нақты әлем проблемалары Ирротрациялық ағынның үлкен аймақтарын қамтиды.
Оны аналитикалық түрде зерттеуге болады.
Бұл бізге маңыздылығын көрсетеді Шекаралық қабаттар және тұтқыр күштер.
Бұл бізге тұжырымдамаларды зерттеуге арналған құралдар ұсынады көтеру және сүйреу.

Әдебиеттер тізімі

Ландау, Л.Д .; Лифшиц, Е.М. (1984). Сұйықтық механикасы (2-ші басылым). ISBN 0-7506-2767-0.