LaSalles инварианттық принципі - LaSalles invariance principle - Wikipedia

Ласальенің инварианттық принципі (деп те аталады инварианттық принципі,[1] Барбашин-Красовский-ЛаСалле принципі,[2] немесе Красовский-Ласаль принципі ) критерийі болып табылады асимптотикалық тұрақтылық автономды (мүмкін сызықтық емес) динамикалық жүйе.

Ғаламдық нұсқа

Жүйе ретінде ұсынылған делік

қайда - айнымалылардың векторы

Егер а функциясы мынаны табуға болады

барлығына (теріс жартылай шексіз),

содан кейін жинақтау нүктелері кез келген траекторияның құрамына кіреді қайда жиынтықта толығымен қамтылған толық траекториялардың бірігуі .

Егер бізде қосымша функция болса позитивті анықталған, яғни

, барлығына

және егер тривиальды траекториядан басқа жүйенің траекториясын қамтымайды үшін , онда шығу тегі асимптотикалық тұрақты.

Сонымен қатар, егер радиалды шектелмеген, яғни.

, сияқты

онда шығу тегі жаһандық деңгейде асимптотикалық тұрақты.

Жергілікті нұсқа

Егер

, қашан

үшін ғана ұстаңыз кейбір аудандарда шығу тегі және жиынтығы

құрамында траекториядан басқа жүйенің траекториясы жоқ , онда инварианттық принциптің жергілікті нұсқасында шығу тегі жергілікті жерде екендігі айтылған асимптотикалық тұрақты.

Ляпунов теориясымен байланысы

Егер болып табылады теріс анықталған, шығу тегінің ғаламдық асимптотикалық тұрақтылығы Ляпуновтың екінші теоремасы. Инварианттық принципі жағдайда асимптотикалық тұрақтылық критерийін береді тек қана теріс жартылай шексіз.

Мысалы: үйкеліспен маятник

Бұл бөлімде локальды орнату үшін инварианттық принципі қолданылады асимптотикалық тұрақтылық үйкеліспен маятниктің қарапайым жүйесі. Бұл жүйені дифференциалдық теңдеумен модельдеуге болады [1]

қайда маятниктің тік нормальмен бұрышы, маятниктің массасы, маятниктің ұзындығы, болып табылады үйкеліс коэффициенті, және ж тартылыс күшіне байланысты үдеу болып табылады.

Бұл өз кезегінде теңдеулер жүйесі ретінде жазылуы мүмкін

Инвариантты принципті қолдана отырып, шығу тегі айналасында белгілі бір өлшемді шардан басталатын барлық траекторияларды көрсетуге болады асимптотикалық түрде бастапқыға жақындайды. Біз анықтаймыз сияқты

Бұл жай жүйенің масштабталған энергиясы [2] Анық, болып табылады позитивті анық радиустың ашық шарында шығу тегінің айналасында. Туынды есептеу,

Бұған назар аударыңыз . Егер бұл рас болса , біз әрбір траектория шығу тегі бойынша жақындады деп қорытынды жасауға болатын еді Ляпуновтың екінші теоремасы. Өкінішке орай, және тек қана теріс жартылай шексіз бері кезде нөлге тең болмауы мүмкін . Алайда, жиынтық

бұл жай ғана жиынтық

тривиальды траекториядан басқа жүйенің ешқандай траекториясын қамтымайды х = 0. Шынында да, егер белгілі бір уақытта болса , , содан кейін кем болуы керек шығу тегінен алыс, және . Нәтижесінде траектория жиынтықта қалмайды .

Инвариантты қағидаттың жергілікті нұсқасының барлық шарттары орындалады және біз шығу тегінің кейбір маңынан басталатын әрбір траектория бастапқыға қарай жалғасады деген қорытынды жасауға болады. [3].

Тарих

Жалпы нәтижені өз бетінше ашты Дж.П.Ласаль (содан кейін RIAS ) және Н.Н. Красовский, сәйкесінше 1960 және 1959 жылдары жарық көрген. Әзірге LaSalle батыста алғашқы теореманы 1960 жылы жариялаған алғашқы автор болды, теореманың ерекше жағдайын 1952 жылы Барбашин жеткізді және Красовский, содан кейін жалпы нәтижені жариялау 1959 ж Красовский [4].

Сондай-ақ қараңыз

Түпнұсқа құжаттар

  • Ласалле, Дж.П. Лиапуновтың екінші әдісінің кейбір кеңейтімдері, IRE транзакциялар тізбек теориясы бойынша, CT-7, 520-527 б., 1960. (PDF )
  • Барбашин, Э. А .; Николай Н. Красовский (1952). Об устойчивости движения в целом [Жалпы қозғалыс тұрақтылығы туралы]. Doklady Akademii Nauk SSSR (орыс тілінде). 86: 453–456.
  • Красовский, Н. Н. Қозғалыс тұрақтылығы теориясының мәселелері, (Орыс), 1959. Ағылшын тіліне аудармасы: Стэнфорд Университет Пресс, Стэнфорд, Калифорния, 1963 ж.

Оқулықтар

Дәрістер

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ Халил, Хасан (2002). Сызықты емес жүйелер (3-ші басылым). Жоғарғы седла өзені NJ: Prentice Hall.
  2. ^ Вассим, Хаддад; Челлабоина, ВиджайСехар (2008). Сызықтық емес динамикалық жүйелер және басқару, Ляпуновқа негізделген тәсіл. Принстон университетінің баспасы.
  1. ^ Сызықтық емес бақылау туралы дәріс конспектілері, Нотр-Дам университеті, нұсқаушы: Майкл Леммон, 4 дәріс.
  2. ^ сол жерде.
  3. ^ Сызықтық емес талдау туралы дәріс конспектілері, Ұлттық Тайвань университеті, нұсқаушы: Фэн-Ли Лян, дәріс 4-2.
  4. ^ Видясагар, М. Сызықтық емес жүйелерді талдау, Қолданбалы математикадағы SIAM классикасы, SIAM Press, 2002 ж.