Квадраттық формалар туралы Капланский теоремасы - Kaplanskys theorem on quadratic forms - Wikipedia

Жылы математика, Квадраттық формалар туралы Капланский теоремасы бір мезгілде ұсыну нәтижесі болып табылады жай бөлшектер арқылы квадраттық формалар. Оны 2003 жылы дәлелдеді Ирвинг Капланский.[1]

Теореманың тұжырымы

Капланский теоремасында прайм деп айтылған б 16 модульге сәйкес келеді екеуімен де, екеуімен де ұсынылады х2 + 32ж2 және х2 + 64ж2, ал қарапайым б 9 модуліне сәйкес келетін 16 осы квадраттық формалардың дәл біреуімен көрінеді.

Бұл таңқаларлық, өйткені бұл формалардың әрқайсысы жеке-жеке ұсынылған жай бөлшектер емес сәйкестік шарттарымен сипатталады.[2]

Дәлел

Капланскийдің дәлелі 2-нің 4-ші қуат модулі екендігі туралы фактілерді қолданады б егер және егер болса б арқылы ұсынылады х2 + 64ж2, және бұл −4 - бұл 8-ші қуат модуліб егер және егер болса б арқылы ұсынылады х2 + 32ж2.

Мысалдар

  • Басты б = 17 16 модуліне сәйкес келеді және екеуінде де ұсынылмайды х2 + 32ж2 не х2 + 64ж2.
  • Басты б= 113 16 модуліне сәйкес келеді және екеуі де ұсынылады х2 + 32ж2 және х2+64ж2 (113 = 9 болғандықтан2 + 32×12 және 113 = 72 + 64×12).
  • Басты б = 41 9 модуліне 16 сәйкес келеді және ол арқылы ұсынылады х2 + 32ж2 (41 = 3 болғандықтан2 + 32×12), бірақ олай емес х2 + 64ж2.
  • Басты б = 73 9 модуліне 16 сәйкес келеді және ол арқылы ұсынылады х2 + 64ж2 (73 = 3 болғандықтан2 + 64×12), бірақ олай емес х2 + 32ж2.

Ұқсас нәтижелер

Капланский теоремасына ұқсас бес нәтиже белгілі:[3]

  • Премьер б 20 модуліне сәйкес келетін екеуі де, екеуі де ұсынылады х2 + 20ж2 және х2 + 100ж2, ал қарапайым б 9 модуліне сәйкес келетін 20 осы квадраттық формалардың бірімен сәйкес келеді.
  • Премьер б 39, 1, 16 немесе 22 модуліне сәйкес екеуі де, екеуі де ұсыныла алады х2 + xy + 10ж2 және х2 + xy + 127ж2, ал қарапайым б 4, 10 немесе 25 модуліне сәйкес келетін 39 осы квадраттық формалардың дәл біреуімен көрінеді.
  • Премьер б 1, 16, 26, 31 немесе 36 модуліне сәйкес келетін 55 модуліне екеуі де, екеуі де ұсыныла алады х2 + xy + 14ж2 және х2 + xy + 69ж2, ал қарапайым б 4, 9, 14, 34 немесе 49 модуліне сәйкес келетін 55 модулі осы квадраттық формалардың дәл біреуімен ұсынылады.
  • Премьер б 1, 65 немесе 81 модуліне сәйкес келетін 112 немесе екеуі де ұсынылады х2 + 14ж2 және х2 + 448ж2, ал қарапайым б 9, 25 немесе 57 модуліне сәйкес келетін 112 осы квадраттық формалардың дәл біреуімен көрінеді.
  • Премьер б 240 немесе 1 модульге сәйкес келетін 169 модуліне сәйкес келеді немесе екеуі де ұсынылмайды х2 + 150ж2 және х2 + 960ж2, ал қарапайым б 49 немесе 121 модуліне 240 сәйкес келетін осы квадраттық формалардың дәл біреуімен ұсынылады.

Белгілі бір формаларды қамтитын басқа ұқсас нәтижелер жоқ деп болжайды.

Ескертулер

  1. ^ Капланский, Ирвинг (2003), «Пішіндер х + 32ж2 және х + 64ж^2 [sic ]", Американдық математикалық қоғамның еңбектері, 131 (7): 2299–2300 (электрондық), дои:10.1090 / S0002-9939-03-07022-9, МЫРЗА  1963780.
  2. ^ Кокс, Дэвид А. (1989), Пішіннің негізгі кезеңдері х2 + ny2, Нью-Йорк: Джон Вили және ұлдары, ISBN  0-471-50654-0, МЫРЗА  1028322.
  3. ^ Бринк, Дэвид (2009), «Жай бөлшектерді квадраттық формалармен бір мезгілде бейнелеудің бес ерекше теоремасы», Сандар теориясының журналы, 129 (2): 464–468, дои:10.1016 / j.jnt.2008.04.007, МЫРЗА  2473893.