Канторович теоремасы - Kantorovich theorem - Wikipedia

The Канторович теоремасы, немесе Ньютон-Канторович теоремасы - жартылай локальды математикалық тұжырым конвергенция туралы Ньютон әдісі. Бұл туралы алғаш рет мәлімдеді Леонид Канторович 1948 ж.[1][2] Бұл формасына ұқсас Банахтың тұрақты нүктелі теоремасы, дегенмен ол а-ның болуы мен бірегейлігін айтады нөл орнына бекітілген нүкте.[3]

Ньютон әдісі белгілі бір жағдайда шешімге жақындайтын нүктелер тізбегін құрады теңдеу немесе теңдеу жүйесінің векторлық шешімі . Канторович теоремасы осы тізбектің бастапқы нүктесінде шарттар береді. Егер бұл шарттар орындалса, онда шешім бастапқы нүктеге жақын болады және реттілік сол нүктеге жақындайды.[1][2]

Болжамдар

Келіңіздер ашық ішкі жиын болуы және а дифференциалданатын функция а Якобиан бұл жергілікті Липшиц үздіксіз (мысалы, егер екі рет ажыратылады). Яғни кез-келген ашық жиын үшін деп болжануда тұрақты бар кез келген үшін

ұстайды. Сол жақтағы норма - бұл оң жақтағы векторлық нормаға сәйкес келетін кейбір операторлық норма. Бұл теңсіздікті тек векторлық норманы қолдану үшін қайта жазуға болады. Содан кейін кез-келген вектор үшін теңсіздік

ұстау керек.

Енді кез-келген бастапқы нүктені таңдаңыз . Мұны ойлаңыз аудармалы болып табылады және Ньютон қадамын тұрғызады

Келесі болжам - бұл келесі мәселе ғана емес бірақ барлық доп жиынтықтың ішінде болады . Келіңіздер Джакобян үшін осы доптың үстінен Липшитц константасы бол.

Соңғы дайындық ретінде, мүмкін болғанша, тізбектерді рекурсивті түрде құрыңыз , , сәйкес

Мәлімдеме

Енді егер содан кейін

  1. шешім туралы жабық шардың ішінде бар және
  2. басталатын Ньютонның қайталануы жақындайды конвергенцияның кем дегенде сызықтық ретімен.

Дәлірек, бірақ дәлелдеу сәл қиынырақ тұжырымның түп-тамырын қолданады квадраттық көпмүшенің

,

және олардың арақатынасы

Содан кейін

  1. шешім жабық шардың ішінде бар
  2. ол үлкенірек шардың ішінде ерекше
  3. және шешіміне жақындау квадраттық көпмүшенің Ньютонның қайталануының конвергенциясы басым оның ең кіші тамырына қарай ,[4] егер , содан кейін
  4. Квадрат конвергенция қателіктер бағасынан алынады[5]

Қорытынды

1986 жылы Ямамото Ньютон әдісінің қателіктерін бағалауды дәлелдеді (1969), Островски (1971, 1973),[6][7] Грегг-Тапия (1974), Потра-Птак (1980),[8] Miel (1981),[9] Потра (1984),[10] Канторович теоремасынан алуға болады.[11]

Жалпылау

Бар q-analog Канторович теоремасы үшін.[12][13] Басқа жалпылау / вариациялар үшін Ortega & Rheinboldt (1970) бөлімін қараңыз.[14]

Қолданбалар

Ойши мен Танабе Канторович теоремасын сенімді шешімдер алу үшін қолдануға болады деп мәлімдеді сызықтық бағдарламалау.[15]

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ а б Deuflhard, P. (2004). Сызықтық емес есептерге арналған Ньютон әдістері. Аффиндік инвариант және адаптивті алгоритмдер. Есептеу математикасындағы Springer сериясы. Том. 35. Берлин: Шпрингер. ISBN  3-540-21099-7.
  2. ^ а б Zeidler, E. (1985). Сызықтық емес функционалдық талдау және оның қолданылуы: 1 бөлім: Тұрақты нүктелі теоремалар. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  0-387-96499-1.
  3. ^ Деннис, Джон Э.; Шнабель, Роберт Б. (1983). «Канторович және шартты картаға түсіру теоремалары». Шектеусіз оңтайландырудың және сызықтық емес теңдеулердің сандық әдістері. Englewood жарлары: Prentice-Hall. 92-94 бет. ISBN  0-13-627216-9.
  4. ^ Ортега, Дж. М. (1968). «Ньютон-Канторович теоремасы». Amer. Математика. Ай сайын. 75 (6): 658–660. дои:10.2307/2313800. JSTOR  2313800.
  5. ^ Грегг, В.Б .; Tapia, R. A. (1974). «Ньютон-Канторович теоремасы үшін оңтайлы қателік шекаралары». SIAM журналы сандық талдау. 11 (1): 10–13. Бибкод:1974SJNA ... 11 ... 10G. дои:10.1137/0711002. JSTOR  2156425.
  6. ^ Островский, А.М. (1971). «Laton de Newton dans les espaces de Banach». C. R. Acad. Ғылыми. Париж. 27 (A): 1251-1253.
  7. ^ Островский, А.М. (1973). Евклидтік және банахтық кеңістіктердегі теңдеулерді шешу. Нью-Йорк: Academic Press. ISBN  0-12-530260-6.
  8. ^ Потра, Ф. А .; Птак, В. (1980). «Ньютон процесі үшін қателік қателері». Сан Математика. 34: 63–72. дои:10.1007 / BF01463998.
  9. ^ Miel, J. J. (1981). «Ньютон әдісі үшін Канторович теоремасының жаңартылған нұсқасы». Есептеу. 27 (3): 237–244. дои:10.1007 / BF02237981.
  10. ^ Potra, F. A. (1984). «Ньютон әдісі бойынша постериориялық қателіктер туралы». Beiträge zur Numerische Mathematik. 12: 125–138.
  11. ^ Ямамото, Т. (1986). «Канторовичтің болжамдары бойынша Ньютон әдісі үшін қателіктердің өткір шектерін табу әдісі». Numerische Mathematik. 49 (2–3): 203–220. дои:10.1007 / BF01389624.
  12. ^ Ражкович, П.М .; Станкович, М.С .; Маринкович, С.Д (2003). «Теңдеулер мен жүйелерді шешудің q-қайталанатын әдістері туралы». Novi Sad J. математика. 33 (2): 127–137.
  13. ^ Раджкович, П.М .; Маринкович, С.Д .; Станкович, M. S. (2005). «Q-Ньютон-Канторович теңдеулер жүйесін шешудің әдісі туралы». Қолданбалы математика және есептеу. 168 (2): 1432–1448. дои:10.1016 / j.amc.2004.10.035.
  14. ^ Ортега, Дж. М .; Rheinboldt, W. C. (1970). Сызықтық емес теңдеулердің бірнеше айнымалыдағы қайталанатын шешімі. СИАМ. OCLC  95021.
  15. ^ Ойши, С .; Танабе, К. (2009). «Сызықтық бағдарламалау үшін оңтайлы нүктені сандық енгізу». JSIAM хаттары. 1: 5–8. дои:10.14495 / jsiaml.1.5.

Әрі қарай оқу

  • Джон Х. Хаббард пен Барбара Берк Хаббард: Векторлық есептеу, сызықтық алгебра және дифференциалдық формалар: бірыңғай тәсіл, Matrix Editions, ISBN  978-0-9715766-3-6 (3. басылымға және материалға алдын ала қарау, оның ішінде Кант.-thm. )
  • Ямамото, Тетсуро (2001). «Ньютон мен Ньютонға ұқсас әдістер үшін конвергенцияны талдаудың тарихи дамуы». Брезинскийде, С .; Вуйтак, Л. (ред.) Сандық талдау: ХХ ғасырдағы тарихи дамулар. Солтүстік-Голландия. 241–263 бб. ISBN  0-444-50617-9.