Интегралдық сызықтық оператор - Integral linear operator

Ан интегралды белгісіз форма Бұл функционалды үздіксіз қосарланған кеңістікке жатады ${ displaystyle X { widehat { otimes}} _ { epsilon} Y}$ , инъекциялық тензор өнімі жергілікті дөңес топологиялық векторлық кеңістіктер (Теледидарлар) X және Y. Ан интегралды сызықтық оператор интегралды білінер түрінен канондық жолмен туындайтын үздіксіз сызықтық оператор.

Бұл карталар теориясында маңызды рөл атқарады ядролық кеңістіктер және ядролық карталар.

Анықтама - инъекциялық тензор өнімі қосарланған ретінде интегралды формалар

Келіңіздер X және Y жергілікті дөңес теледидарлар болсын ${ displaystyle X otimes _ { pi} Y}$ белгілеу проективті тензор өнімі, ${ displaystyle X { widehat { otimes}} _ { pi} Y}$ оның аяқталуын белгілеңіз, рұқсат етіңіз ${ displaystyle X otimes _ { epsilon} Y}$ белгілеу инъекциялық тензор өнімі, және ${ displaystyle X { widehat { otimes}} _ { epsilon} Y}$ оның аяқталғанын білдіреді. Айталық ${ displaystyle operatorname {In}: X otimes _ { epsilon} Y to X { widehat { otimes}} _ { epsilon} Y}$ -ның TVS-ендірілуін білдіреді ${ displaystyle X otimes _ { epsilon} Y}$ оның аяқталуына дейін және рұқсат етіңіз ${ displaystyle {} ^ {t} operatorname {In}: сол жақ (X { widehat { otimes}} _ { epsilon} Y right) _ {b} ^ { prime} to солға ( X otimes _ { epsilon} Y right) _ {b} ^ { prime}}$ оның болуы транспозициялау, бұл векторлық кеңістік-изоморфизм болып табылады. Бұл -ның үздіксіз қос кеңістігін анықтайды ${ displaystyle X otimes _ { epsilon} Y}$ -ның үздіксіз қос кеңістігімен бірдей болғандықтан ${ displaystyle X { widehat { otimes}} _ { epsilon} Y}$ .

Келіңіздер ${ displaystyle operatorname {Id}: X otimes _ { pi} Y to X otimes _ { epsilon} Y}$ сәйкестендіру картасын және ${ displaystyle {} ^ {t} operatorname {Id}: left (X otimes _ { epsilon} Y right) _ {b} ^ { prime} to left (X otimes _ { pi} Y right) _ {b} ^ { prime}}$ оны белгілейді транспозициялау, бұл үздіксіз инъекция. Естеріңізге сала кетейік ${ displaystyle сол жақ (X otimes _ { pi} Y оң) ^ { prime}}$ канондық түрде сәйкестендірілген ${ displaystyle B (X, Y)}$ , үздіксіз сызықты карталардың кеңістігі ${ displaystyle X times Y}$ . Осылайша, үздіксіз қос кеңістік ${ displaystyle X otimes _ { epsilon} Y}$ векторлық ішкі кеңістік ретінде канондық түрде анықталуы мүмкін ${ displaystyle B (X, Y)}$ , деп белгіленеді ${ displaystyle J (X, Y)}$ . Элементтері ${ displaystyle J (X, Y)}$ деп аталады интегралды (білінді) формалар қосулы ${ displaystyle X times Y}$ . Келесі теорема сөзді дәлелдейді ажырамас.

Теорема^[1]^[2] — Қосарланған $Дж (X, Y)$ туралы ${ displaystyle X { widehat { otimes}} _ { epsilon} Y}$ дәл сол үздіксіз білеулік формалардан тұрады $в$ қосулы ${ displaystyle X times Y}$ оны карта түрінде ұсынуға болады

{ displaystyle b in B (X, Y) mapsto v (b) = int _ {S times T} b { big vert} _ {S times T} left (x ^ { prime }, y ^ { prime} right) operatorname {d} mu left (x ^ { prime}, y ^ { prime} right)}

қайда $S$ және $Т$ кейбір жабық, біртектес ішкі жиындар болып табылады ${ displaystyle X _ { sigma} ^ { prime}}$ және ${ displaystyle Y _ { sigma} ^ { prime}}$ сәйкесінше және ${ displaystyle mu}$ оң болып табылады Радон өлшемі ықшам жиынтықта ${ displaystyle S times T}$ жалпы массамен ${ displaystyle leq 1.}$ Сонымен қатар, егер $A$ теңдестірілген ішкі жиыны болып табылады $Дж (X, Y)$ содан кейін элементтер ${ displaystyle v in A}$ арқылы ұсынылуы мүмкін ${ displaystyle S times T}$ бекітілген және ${ displaystyle mu}$ кеңістігінің нормамен шектелген ішкі жиынынан өту Радон шаралары қосулы ${ displaystyle S times T.}$

Интегралды сызықтық карталар

Үздіксіз сызықтық карта ${ displaystyle kappa: X to Y ^ { prime}}$ аталады ажырамас егер онымен байланысқан білеулік форма интегралды біліністі форма болса, онда бұл форма анықталады ${ displaystyle (x, y) in X times Y mapsto ( kappa x) (y)}$ .^[3] Бұдан интегралды карта шығады ${ displaystyle kappa: X to Y ^ { prime}}$ формада:^[3]

{ displaystyle x in X mapsto kappa (x) = int _ {S times T} left langle x ^ { prime}, x right rangle y ^ { prime} operatorname {d } mu сол жақ (x ^ { prime}, y ^ { prime} оң)}

қолайлы әлсіз тұйықталған және қатарлас ішкі жиындар үшін S және Т туралы ${ displaystyle X ^ { prime}}$ және ${ displaystyle Y ^ { prime}}$ сәйкесінше және кейбір оң радондық өлшем ${ displaystyle mu}$ жалпы массасының ≤ 1. Жоғарыдағы интеграл - болып табылады әлсіз интеграл, сондықтан теңдік әрқайсысы үшін ғана болады ${ displaystyle y in Y}$ , ${ displaystyle left langle kappa (x), y right rangle = int _ {S times T} left langle x ^ { prime}, x right rangle left langle y ^ { prime}, y right rangle operatorname {d} mu left (x ^ { prime}, y ^ { prime} right)}$ .

Сызықтық карта берілген ${ displaystyle Lambda: X - Y}$ , канондық билинерлі форманы анықтауға болады ${ displaystyle B _ { Lambda} Bi сол жақта (X, Y ^ { prime} оң)}$ , деп аталады байланысты білеинді форма қосулы ${ displaystyle X times Y ^ { prime}}$ , арқылы ${ displaystyle B _ { Lambda} сол жақ (x, y ^ { prime} оң): = сол жақ (y ^ { prime} circ Lambda оң) сол (x оң)}$ . Үздіксіз карта ${ displaystyle Lambda: X - Y}$ аталады ажырамас егер онымен байланысқан біліністі форма интегралды біліністі форма болса.^[4] Интегралды карта ${ displaystyle Lambda: X - Y}$ нысаны, әрқайсысы үшін ${ displaystyle x in X}$ және ${ displaystyle y ^ { prime} in Y ^ { prime}}$ :

{ displaystyle left langle y ^ { prime}, Lambda (x) right rangle = int _ {A ^ { prime} times B ^ { prime prime}} left langle x ^ { prime}, x right rangle left langle y ^ { prime prime}, y ^ { prime} right rangle operatorname {d} mu left (x ^ { prime} , y ^ { prime prime} right)}

жарамды әлсіз тұйықталған және қатарлас баклажандар үшін ${ displaystyle A ^ { prime}}$ және ${ displaystyle B ^ { prime prime}}$ туралы ${ displaystyle X ^ { prime}}$ және ${ displaystyle Y ^ { prime prime}}$ сәйкесінше және кейбір оң радондық өлшем ${ displaystyle mu}$ жалпы массаның ${ displaystyle leq 1}$ .

Гильберт кеңістігімен байланыс

Келесі нәтиже интегралды карталардың Гильберт кеңістігінің «факторы» екенін көрсетеді.

Ұсыныс:^[5] Айталық ${ displaystyle u: X to Y}$ - жергілікті дөңес ТВ арасындағы ажырамас карта Y Хаусдорф және толық. Гильберт кеңістігі бар H және екі үздіксіз сызықтық кескіндер ${ displaystyle alpha: X to H}$ және ${ displaystyle beta: H - Y}$ осындай ${ displaystyle u = beta circ альфа}$ .

Сонымен қатар, екеуінің арасындағы барлық интегралдық операторлар Гильберт кеңістігі болып табылады ядролық.^[5] Осылайша екеуінің арасындағы үздіксіз сызықтық оператор Гильберт кеңістігі болып табылады ядролық егер және ол ажырамас болса ғана.

Шарттар жеткілікті

Әрқайсысы ядролық карта ажырамас болып табылады.^[4] Маңызды ішінара сөйлесу - бұл екі арасындағы барлық интегралды операторлар Гильберт кеңістігі болып табылады ядролық.^[5]

Айталық A, B, C, және Д. бұл Hausdorff жергілікті дөңес теледидарлар ${ displaystyle alpha: A to B}$ , ${ displaystyle beta: B to C}$ , және ${ displaystyle gamma: C to D}$ барлығы үздіксіз сызықтық операторлар. Егер ${ displaystyle beta: B to C}$ интегралды оператор болса, құрамы да солай ${ displaystyle gamma circ beta circ alpha: A to D}$ .^[5]

Егер ${ displaystyle u: X to Y}$ - бұл екі нормаланған кеңістік арасындағы үздіксіз сызықтық оператор ${ displaystyle u: X to Y}$ интегралды болып табылады және егер болса ${ displaystyle {} ^ {t} u: Y ^ { prime} - X ^ { prime}}$ ажырамас болып табылады.^[6]

Айталық ${ displaystyle u: X to Y}$ - бұл жергілікті дөңес ТВ арасындағы үздіксіз сызықтық карта. Егер ${ displaystyle u: X to Y}$ ажырамас болса, ондай болады транспозициялау ${ displaystyle {} ^ {t} u: Y_ {b} ^ { prime} - X_ {b} ^ { prime}}$ .^[4] Енді транспозды делік ${ displaystyle {} ^ {t} u: Y_ {b} ^ { prime} - X_ {b} ^ { prime}}$ үздіксіз сызықтық карта ${ displaystyle u: X to Y}$ ажырамас болып табылады. Содан кейін ${ displaystyle u: X to Y}$ егер канондық инъекциялар болса, ажырамас болып табылады ${ displaystyle operatorname {In} _ {X}: X to X ^ { prime prime}}$ (анықталған ${ displaystyle x mapsto}$ мәні $х$ ) және ${ displaystyle operatorname {In} _ {Y}: Y to Y ^ { prime prime}}$ болып табылады ТВ-ендірулер (егер бұл, мысалы, ${ displaystyle X}$ және ${ displaystyle Y_ {b} ^ { prime}}$ баррелді немесе өлшенетін).^[4]

Қасиеттері

Айталық A, B, C, және Д. бар Hausdorff жергілікті дөңес ТВ B және Д. толық. Егер ${ displaystyle alpha: A to B}$ , ${ displaystyle beta: B to C}$ , және ${ displaystyle gamma: C to D}$ барлығы интегралды сызықтық карталар, содан кейін олардың құрамы ${ displaystyle gamma circ beta circ alpha: A to D}$ болып табылады ядролық.^[5] Осылайша, атап айтқанда, егер $X$ шексіз өлшемді болып табылады Фрешет кеңістігі содан кейін үздіксіз сызықтық бағдарлау ${ displaystyle u: X to X}$ интегралды оператор бола алмайды.

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

^ Schaefer & Wolff 1999 ж, б. 168.
^ Тревес 2006, 500-502 бет.
^ ^а ^б Schaefer & Wolff 1999 ж, б. 169.
^ ^а ^б ^в ^г. Тревес 2006, 502-505 б.
^ ^а ^б ^в ^г. ^e Тревес 2006, 506-508 б.
^ Тревес 2006, 505 б.

Библиография

Диестел, Джо (2008). Тензор өнімдерінің метрикалық теориясы: Гротендиктің резюмесі қайта қаралды. 16. Провиденс, Р.И .: Американдық математикалық қоғам. ISBN 9781470424831. OCLC 185095773.
Дубинский, Ред (1979). Фрешет ядролық кеңістігінің құрылымы. Математикадан дәрістер. 720. Берлин Нью-Йорк: Шпрингер-Верлаг. ISBN 978-3-540-09504-0. OCLC 5126156.
Гротендик, Александр (1955). «Produits Tensoriels Topologiques et Espaces Nucléaires» [Топологиялық Тензор Өнімдері және Ядролық Кеңістіктер]. Американдық математикалық қоғам туралы естеліктер сериясы (француз тілінде). Дәлелдеу: Американдық математикалық қоғам. 16. ISBN 978-0-8218-1216-7. МЫРЗА 0075539. OCLC 1315788.
Хусейн, Тақдыр; Халелулла, С.М. (1978). Берлин Гейдельбергте жазылған. Топологиялық және реттелген векторлық кеңістіктердегі баррельдік. Математикадан дәрістер. 692. Берлин Нью-Йорк: Шпрингер-Верлаг. ISBN 978-3-540-09096-0. OCLC 4493665.
Халеелулла, С.М. (1982). Берлин Гейдельбергте жазылған. Топологиялық векторлық кеңістіктердегі қарсы мысалдар. Математикадан дәрістер. 936. Берлин Нью-Йорк: Шпрингер-Верлаг. ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370.
Нариси, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологиялық векторлық кеңістіктер. Таза және қолданбалы математика (Екінші басылым). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
Хогбе-Нленд, Анри (1977). Борнологиялар және функционалдық талдау: топология-борологияның теориясы және оны функционалдық талдауда қолдану туралы кіріспе курс. Математиканы зерттеу. 26. Амстердам Нью-Йорк Нью-Йорк: Солтүстік Голландия. ISBN 978-0-08-087137-0. OCLC 316549583.
Хогбе-Нленд, Анри; Moscatelli, V. B. (1981). Ядролық және ядролық кеңістіктер: ядролық және ядролық кеңістіктер туралы «топология-борнология». Математиканы зерттеу. 52. Амстердам Нью-Йорк Нью-Йорк: Солтүстік Голландия. ISBN 978-0-08-087163-9. OCLC 316564345.
Пьетш, Альбрехт (1979). Жергілікті дөңес кеңістіктер. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 66 (Екінші басылым). Берлин, Нью-Йорк: Шпрингер-Верлаг. ISBN 978-0-387-05644-9. OCLC 539541.
Робертсон, Алекс П .; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологиялық векторлық кеңістіктер. Математикадағы Кембридж трактаттары. 53. Кембридж Англия: Кембридж университетінің баспасы. ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC 589250.
Рудин, Вальтер (1991). Функционалдық талдау. Таза және қолданбалы математиканың халықаралық сериясы. 8 (Екінші басылым). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill ғылым / инженерия / математика. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
Райан, Раймонд А. (2002). Банах кеңістігінің тензорлық өнімдерімен таныстыру. Математикадан спрингер монографиялары. Лондон Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-1-85233-437-6. OCLC 48092184.
Шефер, Гельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологиялық векторлық кеңістіктер. GTM. 8 (Екінші басылым). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологиялық векторлық кеңістіктер, таралуы және ядролары. Mineola, N.Y .: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
Вонг, Яу-Чуэн (1979). Шварц кеңістігі, ядролық кеңістік және тензор өнімдері. Математикадан дәрістер. 726. Берлин Нью-Йорк: Шпрингер-Верлаг. ISBN 978-3-540-09513-2. OCLC 5126158.

Сыртқы сілтемелер

Ncatlab-тағы ядролық кеңістік

[FOOTNOTESchaeferWolff1999168-1] Schaefer & Wolff 1999 ж, б. 168.

[FOOTNOTETrèves2006500-502-2] Тревес 2006, 500-502 бет.

[FOOTNOTESchaeferWolff1999169-3] а ^б Schaefer & Wolff 1999 ж, б. 169.

[FOOTNOTETrèves2006502-505-4] а ^б ^в ^г. Тревес 2006, 502-505 б.

[FOOTNOTETrèves2006506-508-5] а ^б ^в ^г. ^e Тревес 2006, 506-508 б.

[FOOTNOTETrèves2006505-6] Тревес 2006, 505 б.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Функционалды талдау (тақырыптар – глоссарий )
Бос орындар	Гильберт кеңістігі Банах кеңістігі Фрешет кеңістігі топологиялық векторлық кеңістік
Теоремалар	Хан-Банах теоремасы жабық графикалық теорема бірыңғай шектеу принципі Какутанидің тұрақты нүктелі теоремасы Керин - Милман теоремасы мин-макс теоремасы Гельфанд - Наймарк теоремасы Банач - Алаоглу теоремасы
Операторлар	шектелген оператор ықшам оператор бірлескен оператор унитарлы оператор Гильберт-Шмидт операторы іздеу сыныбы шектеусіз оператор
Алгебралар	Банах алгебрасы C * -алгебра С * -алгебраның спектрі оператор алгебра жергілікті ықшам топтың алгебрасы фон Нейман алгебрасы
Ашық мәселелер	өзгермейтін ішкі кеңістік мәселесі Малердің болжамдары
Қолданбалар	Бесов кеңістігі Таза кеңістік қарапайым дифференциалдық теңдеулердің спектрлік теориясы жылу ядросы индекс теоремасы вариация есептеу функционалды есептеу интегралдық оператор Джонс көпмүшесі өрістің топологиялық кванттық теориясы коммутативті емес геометрия Риман гипотезасы
Жетілдірілген тақырыптар	жергілікті дөңес кеңістік жуықтау қасиеті теңдестірілген жиынтық Шварц кеңістігі әлсіз топология баррельді кеңістік Банах - Мазур арақашықтық Томита – Такесаки теориясы

Топологиялық тензор өнімдері және ядролық кеңістіктер
Негізгі түсініктер	Көмекші нормаланған кеңістіктер Ядролық кеңістік Тензор өнімі (Гильберт кеңістігінің )
Топологиялар	Индуктивті тензор өнімі Инъекциялық тензор өнімі Проективті тензор өнімі
Операторлар / карталар	Гипоконтиненттілік Ажырамас Ядролық (Банах кеңістігінің арасында ) Іздеу класы