Гиперциклдік оператор - Hypercyclic operator
Жылы математика, әсіресе функционалдық талдау, а гиперциклдік оператор үстінде Банах кеңістігі X Бұл шектелген сызықтық оператор Т: X → X векторы бар х ∈ X реттілігі {Тn х: n = 0, 1, 2,…} болып табылады тығыз бүкіл кеңістікте X. Басқаша айтқанда, ең кіші жабық инвариантты ішкі жиын х бұл бүкіл кеңістік. Мұндай х содан кейін деп аталады гиперциклді вектор. Гиперциклдік оператор жоқ ақырлы-өлшемді кеңістіктер, бірақ шексіз өлшемді кеңістіктердегі гиперциклділік қасиеті сирек кездесетін құбылыс емес: көптеген операторлар гиперциклді.
Гиперциклділік - бұл кеңірек түсініктердің ерекше жағдайы топологиялық транзитивтілік (қараңыз топологиялық араластыру ), және әмбебаптық. Әмбебаптық тұтастай бір картадан кескіндер жиынтығын қамтиды топологиялық кеңістік екіншісіне (бір оператордың қуат тізбегінің орнына X дейін X), бірақ гиперциклділікке ұқсас мағынаға ие. Әмбебап нысандардың мысалдарын 1914 жылы Юлий Пал, 1935 жылы тапты Юзеф Марцинкевич, немесе 1952 жылы MacLane. Алайда, 1980 жылдарға дейін ғана гиперциклдік операторлар қарқынды зерттеле бастады.
Мысалдар
Гиперциклдік оператордың мысалы екі есе артқа келтірілген ауысым операторы үстінде ℓ2 реттік кеңістік, бұл ретті қабылдайтын оператор
- (а1, а2, а3, ...) ∈ ℓ2
реттілікке
- (2а2, 2а3, 2а4, ...) ∈ ℓ2.
Мұны 1969 жылы Ролевич дәлелдеді.
Белгілі нәтижелер
- Әрбір шексіз өлшемді бөлінетін Банах кеңістігі - бұл гиперциклдік оператор. Екінші жағынан, ақырлы өлшемді кеңістікте де, бөлінбейтін Банах кеңістігінде де гиперциклдік оператор жоқ.
- Егер х гиперциклді вектор болып табылады Тnх гиперциклді, сондықтан гиперциклды векторлардың әрқашан тығыз жиынтығы болады.
- Сонымен қатар, гиперциклдік векторлар жиынтығы а байланысты Gδ және әрқашан тығыз болады векторлық кеңістік, {0} дейін.
- Чарльз оқы (1988 ) операторын құрды ℓ1, нөлге тең емес векторлардың барлығы гиперциклді болғандықтан, -ге қарсы мысал келтіреді өзгермейтін ішкі кеңістік мәселесі (және тіпті өзгермейтін ішкі мәселе) Банах кеңістігі класында. Мәселе, мұндай оператор ма (кейде шақырылады) гипертрансивті, немесе транзитивті орбита) бөлінетін Гильберт кеңістігінде бар, әлі де ашық (2014 жылғы жағдай бойынша).
Әдебиеттер тізімі
- Баярт, Фредерик; Мэтерон, Этьен (2009), Сызықтық операторлардың динамикасы, Математикадағы Кембридж трактаттары, 179, Кембридж: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-51496-5, МЫРЗА 2533318
- Бауами, Бернард (1988), Операторлар теориясына және инвариантты ішкі кеңістіктерге кіріспе, Солтүстік-Голландия математикалық кітапханасы, 42, Амстердам: Солтүстік-Голландия, ISBN 978-0-444-70521-1, МЫРЗА 0967989
- Оқыңыз, Дж. (1988), «Банах кеңістігінің класы үшін инвариантты ішкі кеңістік мәселесі, 2: гиперциклдік операторлар», Израиль математика журналы, 63 (1): 1–40, дои:10.1007 / BF02765019, ISSN 0021-2172, МЫРЗА 0959046
- Гроссе-Эрдманн, Карл-Госвин (1999), «Әмбебап отбасылар және гиперциклдік операторлар», Американдық математикалық қоғам хабаршысы (N.S.), 36 (3): 345–381, дои:10.1090 / S0273-0979-99-00788-0, ISSN 1088-9485, МЫРЗА 1685272