Гиперболалық қозғалыс (салыстырмалылық) - Hyperbolic motion (relativity)

Гиперболалық қозғалысты Минковский диаграммасында көруге болады, мұнда үдеткіш бөлшектің қозғалысы ${ displaystyle X}$-аксис. Әрбір гипербола анықталады ${ displaystyle x = pm c ^ {2} / альфа}$ және ${ displaystyle eta = alpha tau / c}$ (бірге ${ displaystyle c = 1, alfa = 1}$) теңдеуінде (2).

Гиперболалық қозғалыс дегеніміз - тұрақты заттың қозғалысы тиісті үдеу жылы арнайы салыстырмалылық. Ол гиперболалық қозғалыс деп аталады, өйткені объектінің өтетін жолын сипаттайтын теңдеу ғарыш уақыты Бұл гипербола, а графигі кезінде көрініп тұрғандай Минковский диаграммасы оның координаттары қолайлы инерциялық (жеделдетілмеген) кадрды білдіреді. Бұл қозғалыс бірнеше қызықты ерекшеліктерге ие, олардың арасында а фотон егер диаграммадан шығаруға болатындай жеткілікті бастама берілсе.^[1]

Тарих

Герман Минковский (1908) а нүктесінің арасындағы байланысты көрсетті әлем сызығы және шамасы төрт үдеу және «қисықтық гипербола» (Неміс: Krümmungshyperbel).^[2] Контекстінде Қатаңдық, Макс Борн (1909) кейіннен «гиперболалық қозғалыс» терминін енгізді (Неміс: Hyperbelbewegung) төрт үдеудің тұрақты шамасы үшін, содан кейін үшін толық сипаттама берілген зарядталды гиперболалық қозғалыстағы бөлшектерді және сәйкесінше «гиперболалық жеделдетілген сілтеме жүйесін» енгіздіНеміс: hyperbolisch beschleunigtes Bezugsystem).^[3] Борнның формулалары жеңілдетілді және кеңейтілді Арнольд Соммерфельд (1910).^[4] Ерте шолу үшін оқулықтарды қараңыз Макс фон Лау (1911, 1921)^[5] немесе Вольфганг Паули (1921).^[6] Galeriu (2015) бөлімін қараңыз^[7] немесе Гургульхон (2013),^[8] және Акселерация (арнайы салыстырмалылық) # Тарих.

Әлемдік желі

Тиісті үдеу ${ displaystyle alpha}$ бөлшектің үдеу бөлшек бір бөлшектен үдей түскен кезде оны «сезінеді» инерциялық санақ жүйесі басқасына. Егер тиісті үдеу қозғалыс сызығына параллель бағытталған болса, онда бұл жайға қатысты арнайы салыстырмалылықтағы үш үдеу ${ displaystyle a = du / dT}$ арқылы

${ displaystyle alpha = gamma ^ {3} a = { frac {1} { left (1-u ^ {2} / c ^ {2} right) ^ {3/2}}} { frac {du} {dT}},}$

қайда ${ displaystyle u}$ бұл бөлшектің лездік жылдамдығы, ${ displaystyle gamma}$ The Лоренц факторы, ${ displaystyle c}$ болып табылады жарық жылдамдығы, және ${ displaystyle T}$ координат уақыты. Шешімі қозғалыс теңдеуі координаталық уақытпен көрсетуге болатын қажетті формулаларды береді ${ displaystyle T}$ Сонымен қатар дұрыс уақыт ${ displaystyle tau}$. Оңайлату үшін уақыт, орын және жылдамдық үшін барлық бастапқы мәндерді 0-ге орнатуға болады, осылайша:^{[5][6][9][10][11]}

${ displaystyle { begin {array} {c | c} { begin {aligned} u (T) & = { frac { alpha T} { sqrt {1+ left ({ frac { alpha T) } {c}} right) ^ {2}}}} & = c tanh left ( operatorname {arsinh} { frac { alpha T} {c}} right) X (T ) & = { frac {c ^ {2}} { alpha}} left ({ sqrt {1+ left ({ frac { alpha T} {c}} right) ^ {2}} } -1 right) & = { frac {c ^ {2}} { alpha}} left ( cosh left ( operatorname {arsinh} { frac { alpha T} {c}} оң) -1 оң) c tau (T) & = { frac {c ^ {2}} { альфа}} ln сол ({ sqrt {1+ сол ({ frac) { alpha T} {c}} right) ^ {2}}} + { frac { alpha T} {c}} right) & = { frac {c ^ {2}} { alfa}} operatorname {arsinh} { frac { alpha T} {c}} end {aligned}} & { begin {aligned} u ( tau) & = c tanh { frac { alpha tau} {c}} X ( tau) & = { frac {c ^ {2}} { alpha}} left ( cosh { frac { alpha tau} {c}} -1 оңға) cT ( tau) & = { frac {c ^ {2}} { alpha}} sinh { frac { alpha tau} {c}} end {aligned}} end {array}}}$

(1)

Бұл береді ${ displaystyle сол жақ (X + c ^ {2} / альфа оң) ^ {2} -c ^ {2} T ^ {2} = c ^ {4} / alpha ^ {2}}$, бұл Т уақытындағы гипербола және кеңістіктегі орналасу айнымалысы ${ displaystyle X}$. Бұл жағдайда жеделдетілген объект орналасқан ${ displaystyle X = 0}$ уақытта ${ displaystyle T = 0}$. Егер оның орнына нөлден өзгеше бастапқы мәндер болса, гиперболалық қозғалыс формулалары форманы қабылдайды:^[12][13][14]

${ displaystyle { scriptstyle { begin {array} {c | c} { begin {aligned} u (T) & = { frac {u_ {0} gamma _ {0} + alpha T} { sqrt {1+ солға ({ frac {u_ {0} гамма _ {0} + альфа T} {c}} оңға) ^ {2}}}} quad & = c tanh сол жақта { оператор атауы {arsinh} сол жақта ({ frac {u_ {0} гамма _ {0} + альфа T} {c}} оң) оң } X (T) & = X_ {0} + { frac {c ^ {2}} { alpha}} left ({ sqrt {1+ left ({ frac {u_ {0} gamma _ {0} + alpha T}) {c}} right) ^ {2}}} - gamma _ {0} right) & = X_ {0} + { frac {c ^ {2}} { alpha}} left { cosh left [ operatorname {arsinh} left ({ frac {u_ {0} gamma _ {0} + alpha T} {c}} right) right] - gamma _ {0} right } c tau (T) & = c tau _ {0} + { frac {c ^ {2}} { alpha}} ln сол ({ frac {{ sqrt {) c ^ {2} + солға (u_ {0} гамма _ {0} + альфа Т оңға) {} ^ {2}}} + u_ {0} гамма _ {0} + альфа Т} { солға (c + u_ {0} оңға) гамма _ {0}}} оңға) & = c tau _ {0} + { frac {c ^ {2}} { альфа} } left { оператор атауы {arsinh} сол ({ frac {u_ {0} гамма _ {0} + альфа T} {c}} оң) - оператор атауы {artanh} сол ({ frac {u_ {0}} {c}} right) right } end {aligned}} & { begin {aligned} u ( tau) & = c tanh left { opera торнаме {artanh} солға ({ frac {u_ {0}} {c}} оңға) + { frac { альфа tau} {c}} оңға } X ( tau) & = X_ {0} + { frac {c ^ {2}} { alpha}} left { cosh left [ operatorname {artanh} left ({ frac {u_ {0}} {c) }} right) + { frac { alpha tau} {c}} right] - gamma _ {0} right } cT ( tau) & = cT_ {0} + { frac {c ^ {2}} { alpha}} left { sinh left [ operatorname {artanh} left ({ frac {u_ {0}} {c}} right) + { frac { alpha tau} {c}} right] - { frac {u_ {0} gamma _ {0}} {c}} right } end {aligned}} end {array}} }}$

Тездік

Гиперболалық қозғалыстың әлемдік желісі (бұдан былай ол уақыттың функциясы ретінде жазылатын болады) бірнеше жолмен жеңілдетілуі мүмкін. Мысалы, өрнек

${ displaystyle X = { frac {c ^ {2}} { alpha}} left ( cosh { frac { alpha tau} {c}} - 1 right)}$

соманың кеңістіктік ауысуына ұшырауы мүмкін ${ displaystyle c ^ {2} / alpha}$, осылайша

${ displaystyle X = { frac {c ^ {2}} { alpha}} cosh { frac { alpha tau} {c}}}$,^[15]

ол арқылы бақылаушы позицияда болады ${ displaystyle X = c ^ {2} / альфа}$ уақытта ${ displaystyle T = 0}$. Сонымен қатар, орнату арқылы ${ displaystyle x = c ^ {2} / альфа}$ және таныстыру жылдамдық ${ displaystyle eta = operatorname {artanh} { frac {u} {c}} = { frac { alpha tau} {c}}}$,^[14] гиперболалық қозғалыс теңдеулері^[4][16]

${ displaystyle cT = x sinh eta, quad X = x cosh eta}$

(2)

гиперболамен ${ displaystyle X ^ {2} -c ^ {2} T ^ {2} = x ^ {2}}$.

Гиперболалық қозғалыстағы зарядталған бөлшектер

Туған (1909),^[3] Соммерфельд (1910),^[4] фон Лауэ (1911),^[5] Паули (1921)^[6] үшін теңдеулер тұжырымдалған электромагниттік өріс туралы зарядталған бөлшектер гиперболалық қозғалыста.^[7] Бұл ұзартылды Герман Бонди & Томас Голд (1955)^[17] және Фултон және Рорлич (1960)^[18][19]

${ displaystyle { begin {aligned} E _ { rho '}' = & { frac { left (8e / alpha ^ {2} right) rho 'z'} { xi ^ { prime 3 }}} E_ {z '}' = & { frac {- left (4e / alpha ^ {2} right) 1 / alpha ^ {2} + t ^ { prime 2} + rho ^ { prime 2} -z ^ { prime 2}} { xi ^ { prime 3}}} E _ { varphi '}' = & H _ { varphi '}' = H_ {z '} '= 0 H _ { varphi'} '= & { frac { left (8e / alpha ^ {2} right) rho' t '} { xi ^ { prime 3}}} xi '= & { sqrt { left (1 / alpha ^ {2} + t ^ { prime 2} - rho ^ { prime 2} -z ^ { prime 2} right) ^ {2} + солға (2 rho '/ альфа оңға) ^ {2}}} соңы {тураланған}}}$

Бұл даулы мәселелермен байланысты^[20][21] тұрақты гиперболалық қозғалыстағы зарядтар сәулелене ме, жоқ па және бұл сәйкес келеді ме деген сұрақ талқыланды эквиваленттілік принципі - бұл идеалды жағдай туралы болса да, өйткені тұрақты гиперболалық қозғалыс мүмкін емес. Борн (1909) немесе Паули (1921) сияқты алғашқы авторлар ешқандай сәуле шықпайды деп тұжырымдаса, кейінірек Bondi & Gold сияқты авторлар^[17] және Fulton & Rohrlich^[18][19] радиацияның пайда болатындығын көрсетті.

Тиісті сілтеме жүйесі

Жарық жол E бақылаушының айқын көрінетін көкжиегін белгілейді P гиперболалық қозғалыста.

Теңдеуде (2) гиперболалық қозғалыс үшін, өрнек ${ displaystyle x}$ тұрақты болды, ал жылдамдық ${ displaystyle eta}$ айнымалы болды. Алайда, Соммерфельд көрсеткендей,^[16] анықтауға болады ${ displaystyle x}$ айнымалы ретінде, жасау кезінде ${ displaystyle eta}$ тұрақты. Бұл дегеніміз, теңдеулер гиперболалық координаталары бар үдемелі дененің бір уақытта тыныштық формасын көрсететін түрлендірулерге айналады ${ displaystyle (x, y, z, eta)}$ комедиялық бақылаушы көргендей

${ displaystyle cT = x sinh eta, quad X = x cosh eta, quad Y = y, quad Z = z}$

Осы түрлендірудің көмегімен тиісті уақыт гиперболалық жылдамдатылған кадрға айналады. Әдетте Риндлер координаттары деп аталатын бұл координаттар (ұқсас варианттар деп аталады Коттлер-Мёллер координаттары немесе Ласс координаттары ), Ферми координаталарының немесе Тиісті координаттардың ерекше жағдайы ретінде қарастырылуы мүмкін және көбіне -ке байланысты қолданылады Unruh әсері. Осы координаттарды қолдана отырып, гиперболалық қозғалыстағы бақылаушылар айқын болады оқиғалар көкжиегі, одан тыс оларға ешқандай сигнал жете алмайды.

Арнайы конформды трансформация

Гиперболалық қозғалыстағы эталондық жүйені анықтаудың аз танымал әдісі - арнайы конформды трансформация, тұрады инверсия, а аударма және тағы бір инверсия. Ол әдетте а ретінде түсіндіріледі өлшеуіш трансформациясы Минковский кеңістігінде, дегенмен кейбір авторлар оны жеделдету трансформациясы ретінде қолданады (сыни тарихи зерттеу үшін Kastrup қараңыз).^[22] Оның формасы бар

${ displaystyle X ^ { mu} = { frac {x ^ { mu} -a ^ { mu} x ^ {2}} {1-2ax + a ^ {2} x ^ {2}}} }$

Тек бір кеңістіктік өлшемді қолдану ${ displaystyle x ^ { mu} = (t, x)}$, және одан әрі орнату арқылы жеңілдету ${ displaystyle x = 0}$және үдеуді қолдану ${ displaystyle a ^ { mu} = (0, - alpha / 2)}$, содан кейін^[23]

${ displaystyle T = { frac {t} {1 - { frac {1} {4}} alpha {} ^ {2} t ^ {2}}}, quad X = { frac {- альфа t ^ {2}} {2 солға (1 - { frac {1} {4}} альфа {} ^ {2} t ^ {2} оңға)}}}$

гиперболамен ${ displaystyle сол жақ (X-1 / альфа оң) ^ {2} -T ^ {2} = 1 / альфа ^ {2}}$. Көрсетілгендей ${ displaystyle t = pm (x + 2 / альфа)}$ уақыт Фултон мен Рорлих және Виттен сингулярлы болады^[23] бұл шектеуден аулақ болу керек, ал Каструп^[22] (акселерацияны түсіндіруді өте сынға алады) бұл осы интерпретацияның таңқаларлық нәтижелерінің бірі екенін ескертеді.

Ескертулер

Әдебиеттер тізімі

• Лей Пейдж (Ақпан 1936). «Жаңа салыстырмалылық. І құжат. Үдемелі жүйелер арасындағы негізгі принциптер мен трансформациялар». Физикалық шолу. 49 (3): 254–268. Бибкод:1936PhRv ... 49..254P. дои:10.1103 / PhysRev.49.254.
• Leigh Page & Norman I. Adams (наурыз 1936). «Жаңа салыстырмалылық. II жұмыс. Үдемелі жүйелер мен күштік теңдеу арасындағы электромагниттік өрісті түрлендіру». Физикалық шолу. 49 (6): 466–469. Бибкод:1936PhRv ... 49..466P. дои:10.1103 / PhysRev.49.466.
• Миснер, Чарльз В.; Торн, Кип. С.; Уилер, Джон А. (1973), Гравитация, У. Х. Фриман, 6-тарау, ISBN  0-7167-0344-0
• Риндлер Вольфганг (1960). «Қисық уақыттағы гиперболалық қозғалыс». Физикалық шолу. 119 (6): 2082–2089. Бибкод:1960PhRv..119.2082R. дои:10.1103 / PhysRev.119.2082.
• Людвик Сильберштейн (1914): Салыстырмалылық теориясы, 190 бет.
• Набер, Григорий Л., Минковскийдің геометриясы, Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк, 1992 ж. ISBN  0-387-97848-8 (қатты мұқабалы), ISBN  0-486-43235-1 (Dover қағаздан басылған нұсқасы). 58-60 бет.

Сыртқы сілтемелер

• Физикадан жиі қойылатын сұрақтар: Релятивистік зымыран
• Математикалық беттер: Жедел саяхаттар, Біркелкі жеделдететін заряд сәулелене ме?