Гомотопиялық колимит - Homotopy colimit

Жылы математика, әсіресе алгебралық топология, гомотопия шегі және колимит ұғымдарының нұсқалары болып табылады шектеу және колимит. Олар тиісінше холим және хоколиммен белгіленеді.

Кіріспе мысалдар

Гомотопиялық итеру

Гомотопиялық колимит туралы түсінік жалпылау болып табылады гомотопиялық итерулерсияқты цилиндрді бейнелеу а анықтау үшін қолданылады кофибрация. Бұл түсінік келесі байқауға негізделген: (қарапайым) итеру

келісімшарт бойынша алынған кеңістік болып табылады n-1-сфера (бұл. Шекарасы n-өлшемді диск) бір нүктеге дейін. Бұл кеңістік гомеоморфты дейін n-сфера Sn. Екінші жағынан, итеру

нүкте. Сондықтан, (келісімшарт ) диск Д.n нүктемен ауыстырылды, (бұл дискінің эквивалентті гомотопиясы), екі итеру емес гомотопия (немесе әлсіз ) балама.

Демек, итеру гомотопия теориясының принципімен жақсы үйлеспейді, ол әлсіз эквивалентті бірдей ақпаратты алып жүреді деп есептейді: егер итеруді қалыптастыру үшін пайдаланылған кеңістіктің біреуі (немесе одан да көп) әлсіз эквивалентті кеңістікке ауыстырылса, онда итерілудің әлсіз баламалы болуына кепілдік берілмейді. Гомотопиялық итеру бұл ақаулықты түзетеді.

The гомотопиялық итеру екі картаның топологиялық кеңістіктер ретінде анықталады

,

яғни, жапсырудың орнына B екеуінде де A және C, екі данасы цилиндр қосулы B бір-біріне жабыстырылады және олардың ұштары желімделеді A және C. Мысалы, диаграмманың гомотопиялық колимиті (карталары проекциялардан тұрады)

болып табылады қосылу .

Гомотопиялық итеру кәдімгі итерудің ақаулығымен бөліспейтінін көрсетуге болады: ауыстыру A, B және / немесе C гомотоптық кеңістіктің көмегімен гомотоптық итеру болады сонымен қатар гомотоптық. Бұл тұрғыда гомотопиялық итерулер гомотоптық кеңістікті, сонымен қатар гомеоморфты кеңістікті (кәдімгі) итеруді емдейді.

Кескін картаға түсіретін телескоп

Кеңістіктер тізбегінің гомотопиялық колимиті

болып табылады телескопты бейнелеу.[1]

Жалпы анықтама

Гомотопия шегі

Картаға түсіруге арналған телескоп пен гомотопиялық итеру сияқты мысалдарды тең негізде қарастыруға болады. Мен- кеңістіктердің диаграммасы, қайда Мен бұл кейбір «индекстеу» санат. Бұл функция

яғни әрбір объектіге мен жылы Мен, біреу бос орын тағайындайды Xмен ішіндегі карталарға сәйкес және олардың арасындағы карталар Мен. Мұндай схемалардың санаты белгіленеді Бос орындарМен.

Диагональ деп аталатын табиғи функция бар,

кез келген орынды жібереді X тұратын схемаға X барлық жерде (және X олардың арасындағы карта ретінде). (Қарапайым) санат теориясында оң жақ қосылыс осы функцияға шектеу. Гомотопия шегі осы жағдайды өзгерту арқылы анықталады: бұл дұрыс қосылыс

бос орын жібереді X дейін Мен- қандай да бір объектіде болатын диаграмма мен береді

Мұнда Мен/мен болып табылады тілім категориясы (оның нысандары - көрсеткілер jмен, қайда j кез келген объект болып табылады Мен), N болып табылады жүйке осы санаттағы және | - | мұның топологиялық іске асуы болып табылады қарапайым жиын.[2]

Гомотопиялық колимит

Сол сияқты колимитті ретінде анықтауға болады сол диагональды функцияға қосылыңыз Δ0 жоғарыда келтірілген. Гомотопиялық колимитті анықтау үшін оны өзгерту керек Δ0 басқаша Гомотопиялық колимитті функцияға сол жақ қосылыс ретінде анықтауға болады Δ: Бос орындарБос орындарМен қайда

Δ (X)(мен) = ХомБос орындар (|N(Меноп /мен)|, X),

қайда Меноп болып табылады қарама-қарсы категория туралы Мен. Бұл функциямен бірдей болмаса да Δ жоғарыда, егер жүйке санатын геометриялық іске асыру (|N(-)|) нүктелік кеңістікпен ауыстырылады, біз бастапқы функцияны қалпына келтіреміз Δ0.

(Қарапайым) колимит пен шекке қатысты

Әрқашан карта бар

Әдетте, бұл карта емес әлсіз эквиваленттілік. Мысалы, жоғарыда кездесетін гомотопиялық итеру әрдайым кәдімгі серуенге сәйкес келеді. Бұл карта, әдетте, әлсіз эквиваленттік емес, мысалы, қосылыс итеруге әлсіз эквивалентті емес , бұл нүкте.

Бұдан әрі мысалдар мен қосымшалар

Шектегідей толық сақина, холим үйренген спектрді аяқтаңыз.

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ Хетчердің алгебралық топологиясы, 4.Г.
  2. ^ Боусфилд және Кан: Гомотопияның шегі, аяқталуы және оқшаулануы, Springer, LNM 304. XI.3.3 бөлімі
  • Хэтчер, Аллен (2002), Алгебралық топология, Кембридж: Cambridge University Press, ISBN  0-521-79540-0.

Әрі қарай оқу