Гильберттің модульдік әртүрлілігі - Hilbert modular variety

Математикада а Гильберт модулі беті немесе Гильберт – Блументаль беті болып табылады алгебралық беті өнімнің екі данадан тұратын бөлігін алу арқылы алынған жоғарғы жарты жазықтық а Гильберт модульдік тобы. Жалпы, а Гильберттің модульдік әртүрлілігі болып табылады алгебралық әртүрлілік Гильберттің модульдік тобымен жоғарғы жарты жазықтықтың бірнеше көшірмелерінің көбейтіндісін алу арқылы алынған.

Гильберттің модульдік беттерін алғаш рет Отто Блюменталь сипаттаған (1903, 1904 ) жазған кейбір жарияланбаған жазбаларды пайдалану Дэвид Хилберт шамамен 10 жыл бұрын.

Анықтамалар

Егер R болып табылады бүтін сандар сақинасы нақты квадрат өріс, содан кейін Гильберт SL модульдік тобы2(R) әрекет етеді өнімде H×H жоғарғы жарты жазықтықтың екі данасы H.Бірнеше бар эквивалентті эквивалент осы әрекетке байланысты беттерді, олардың кез-келгенін атауға болады Гильберт модульдік беттері:

  • Беті X болып табылады H×H SL2(R); ол ықшам емес және әдетте тривиальды емес изотропиялық топтары бар нүктелерден келетін сингулярлыққа ие.
  • Беті X* алынған X сәйкес келетін нүктелердің ақырғы санын қосу арқылы төмпешіктер іс-қимыл. Бұл ықшам, тек қана қайталанатын ерекшеліктерге ие емес X, сонымен қатар оның айрықша белгілері.
  • Беті Y алынған X* ерекшеліктерді минималды түрде шешу арқылы. Бұл ықшам тегіс алгебралық беті, бірақ жалпы минималды емес.
  • Беті Y0 алынған Y кейбір ерекше −1-қисықтарын үрлеу арқылы. Бұл тегіс және ықшам, және көбінесе (бірақ әрқашан емес) минималды.

Бұл құрылыстың бірнеше нұсқалары бар:

  • Гильберттің модульдік тобын ақырғы индекстің кейбір кіші тобы алмастыруы мүмкін, мысалы үйлесімділік кіші тобы.
  • Гильберт модулі тобын Галуа әрекеті арқылы Гильберт модульдік тобына әсер етіп, жоғарғы жарты жазықтықтың екі данасын алмастыра отырып, 2-ші топ тобымен кеңейтуге болады.

Ерекшеліктер

Хирзебрух (1953) квоталық ерекшеліктерді қалай шешуге болатынын көрсетті және Хирзебрух (1971) олардың ерекшеліктерін қалай шешуге болатындығын көрсетті.

Беттердің жіктелуі

Қағаздар Хирзебрух (1971), Хирзебрух және Ван де Вен (1974) және Хирзебрух және Загье (1977) олардың түрін анықтады алгебралық беттердің жіктелуі. Олардың көпшілігі жалпы типтегі беттер, бірақ бірнеше рационалды беттер немесе жарылған K3 беттері немесе эллиптикалық беттер.

Мысалдар

ван дер Гир (1988) мысалдардың ұзын кестесін келтіреді.

The Клебш беті Эккарттың 10 нүктесінде жарылған - бұл Гильберттің модульдік беті.

Өрістің квадраттық кеңеюімен байланысты

Берілген өрісті квадраттық кеңейту үшін байланысты Гильберттің модульдік әртүрлілігі бар белгілі бір сұрыпты тығыздау нәтижесінде алынған және оның ерекшелігін шешу. Келіңіздер жоғарғы жарты жазықтықты белгілеп, жіберейік әрекет ету арқылы

қайда болып табылады Галуа конъюгаттары.[1] Байланысты квоталық әртүрлілік белгіленеді

және әртүрлілікке дейін тығыздалуы мүмкін , деп аталады төмпешіктер, олар идеалды сыныптар жылы . Оның ерекшеліктерін шешу әртүрлілікті береді деп аталады Өрісті кеңейтудің Hilbert модульдік әртүрлілігі. Бэйли-Борелді тығыздау теоремасынан бұл беттің проективті кеңістікке енуі бар.[2]

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ Барт, Қасқыр П .; Хулек, Клаус; Питерс, Крис А. М .; Вен, Антониус (2004). Ықшам кешенді беттер. Берлин, Гайдельберг: Springer Berlin Гейдельберг. б. 231. дои:10.1007/978-3-642-57739-0. ISBN  978-3-540-00832-3.
  2. ^ Байлы, В.Л .; Борел, А. (1966 ж. Қараша). «Шектелген симметриялық домендердің арифметикалық келісімдерін ықшамдау». Математика шежіресі. 84 (3): 442. дои:10.2307/1970457. JSTOR  1970457.

Сыртқы сілтемелер