Хартогс - Розенталь теоремасы - Hartogs–Rosenthal theorem

Жылы математика, Хартогс - Розенталь теоремасы классикалық нәтиже болып табылады кешенді талдау үстінде біркелкі жуықтау ықшам ішкі жиынтықтарындағы үздіксіз функциялар күрделі жазықтық арқылы рационалды функциялар. Теореманы 1931 жылы неміс математиктері дәлелдеді Фридрих Хартогс және Артур Розенталь және кеңінен қолданылды, әсіресе оператор теориясы.

Мәлімдеме

Хартогс-Розенталь теоремасы егер Қ дегеніміз - күрделі жазықтықтың ықшам бөлігі Лебег шарасы нөл, содан кейін кез-келген үздіксіз кешенді-функция функциясы қосылады Қ рационалды функциялар бойынша біркелкі жуықтауға болады.

Дәлел

Бойынша Стоун-Вейерштрасс теоремасы кез келген күрделі мәнді үздіксіз функция Қ in көпмүшесі бойынша біркелкі жуықтауға болады ${ displaystyle z}$ және ${ displaystyle { overline {z}}}$.

Сондықтан мұны көрсету жеткілікті ${ displaystyle { overline {z}}}$ бойынша рационалды функция бойынша біркелкі жуықтауға болады Қ.

Келіңіздер g (z) болуы а тегіс функция ықшам қолдау C 1-ге тең Қ және орнатыңыз

${ displaystyle f (z) = g (z) cdot { overline {z}}.}$

Бойынша жалпыланған Коши интегралды формуласы

${ displaystyle f (z) = { frac {1} {2 pi i}} iint _ {C backslash K} { frac { ішінара f} { жартылай { бар {w}}}} { frac {dw wedge d { bar {w}}} {wz}},}$

бері Қ нөлге ие.

Шектеу з дейін Қ және қабылдау Риман қосындыларды жуықтайды оң жағындағы интеграл үшін қажетті біркелкі жуықтауды береді ${ displaystyle { bar {z}}}$ рационалды функциясы бойынша.^[1]

Сондай-ақ қараңыз

• Рунге теоремасы
• Мергелян теоремасы

Ескертулер

Әдебиеттер тізімі

• Конвей, Джон Б. (1995), Бір күрделі айнымалы функциялары II, Математика бойынша магистратура мәтіндері, 159, Springer, б. 197, ISBN  0387944605
• Конвей, Джон Б. (2000), Операторлар теориясының курсы, Математика бойынша магистратура, 21, Американдық математикалық қоғам, 175–176 б., ISBN  0821820656
• Гамелин, Теодор В. (2005), Бірыңғай алгебралар (2-ші басылым), Американдық математикалық қоғам, 46-47 б., ISBN  0821840495
• Хартогс, Фридрихс; Розенталь, Артур (1931), «Über Folgen analytischer Funktionen», Mathematische Annalen, 104: 606–610, дои:10.1007 / bf01457959