Гармоникалық нөмір - Harmonic number

Гармоникалық сан ${ displaystyle H_ {n}}$ бірге ${ displaystyle n = lfloor x rfloor}$ (қызыл сызық) оның асимптотикалық шегі бар ${ displaystyle gamma + ln (x)}$ (көк сызық) қайда ${ displaystyle gamma}$ болып табылады Эйлер-Маскерони тұрақты.

Жылы математика, n-шы гармоникалық сан қосындысы өзара жауаптар біріншісінің n натурал сандар:

${ displaystyle H_ {n} = 1 + { frac {1} {2}} + { frac {1} {3}} + cdots + { frac {1} {n}} = sum _ { k = 1} ^ {n} { frac {1} {k}}.}$

Гармоникалық сандар гармоникалық орта бұл n-гермоникалық сан да n біріншісінің гармоникалық ортасының есе реті n натурал сандар.

Гармоникалық сандар ежелгі дәуірден бастап зерттеліп келеді және әр түрлі тармақтарда маңызды сандар теориясы. Олар кейде еркін деп аталады гармоникалық қатар, -мен тығыз байланысты Riemann zeta функциясы, және әр түрлі өрнектерде кездеседі арнайы функциялар.

Гармоникалық сандар шамамен шамамен табиғи логарифм функциясы^[1]:143 және осылайша байланысты гармоникалық қатар баяу болса да шексіз өседі. 1737 жылы, Леонхард Эйлер қолданды гармоникалық қатардың дивергенциясы жаңа дәлелдеме ұсыну жай сандардың шексіздігі. Оның жұмысы кеңейтілген күрделі жазықтық арқылы Бернхард Риман 1859 жылы тікелей аталып өтетін мерекеге апарды Риман гипотезасы туралы жай сандардың таралуы.

Заттардың үлкен мөлшерінің мәні а болған кезде Зипф заңы бөлудің жалпы мәні n ең құнды заттар пропорционалды n- гармоникалық сан. Осыған байланысты әртүрлі таңқаларлық қорытындылар туындайды ұзын құйрық және желілік құндылық теориясы.

Бертранның постулаты жағдайды қоспағанда, мұны білдіреді n = 1, гармоникалық сандар ешқашан бүтін сандар болмайды.^[2]

Гармоникалық сандар қатысатын сәйкестіктер

Анықтама бойынша гармоникалық сандар қайталану қатынасы

${ displaystyle H_ {n + 1} = H_ {n} + { frac {1} {n + 1}}.}$

Гармоникалық сандар Стирлинг бірінші түрдегі нөмірлер қатынас бойынша

${ displaystyle H_ {n} = { frac {1} {n!}} сол жақта [{n + 1 2} оң жақта].}$

Функциялар

${ displaystyle f_ {n} (x) = { frac {x ^ {n}} {n!}} ( log x-H_ {n})}$

мүлікті қанағаттандыру

${ displaystyle f_ {n} '(x) = f_ {n-1} (x).}$

Соның ішінде

${ displaystyle f_ {1} (x) = x ( log x-1)}$

логарифмдік функцияның ажырамас бөлігі болып табылады.

Гармоникалық сандар қатар сәйкестілігін қанағаттандырады

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} H_ {k} = (n + 1) H_ {n} -n.}$

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} H_ {k} ^ {2} = (n + 1) H_ {n} ^ {2} - (2n + 1) H_ {n} + 2n. }$

бұл екі нәтиже сәйкес интегралды нәтижелерге ұқсас

${ displaystyle int _ {0} ^ {x} log y dy = x log x-x}$

${ displaystyle int _ {0} ^ {x} ( log y) ^ {2} dy = x ( log x) ^ {2} -2x log x + 2x}$

Қатысатын тұлғалар π

Гармоникалық сандар мен дәрежелерімен байланысты бірнеше шексіз жиынтықтар бар π:^[3]

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {H_ {n}} {n cdot 2 ^ {n}}} = { frac {1} {12}} pi ^ {2}}$

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {H_ {n} ^ {2}} {(n + 1) ^ {2}}} = { frac {11} {360 }} pi ^ {4}}$

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {H_ {n} ^ {2}} {n ^ {2}}} = { frac {17} {360}} pi ^ {4}}$

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {H_ {n}} {n ^ {3}}} = { frac {1} {72}} pi ^ {4} }$

Есептеу

Берілген интегралды ұсыну Эйлер^[4] болып табылады

${ displaystyle H_ {n} = int _ {0} ^ {1} { frac {1-x ^ {n}} {1-x}} , dx.}$

Жоғарыдағы теңдік қарапайымға қарапайым алгебралық сәйкестілік

${ displaystyle { frac {1-x ^ {n}} {1-x}} = 1 + x + cdots + x ^ {n-1}.}$

Ауыстыруды қолдану х = 1 − сен, үшін тағы бір өрнек H_n болып табылады

${ displaystyle { begin {aligned} H_ {n} & = int _ {0} ^ {1} { frac {1-x ^ {n}} {1-x}} , dx = int _ {0} ^ {1} { frac {1- (1-u) ^ {n}} {u}} , du [6pt] & = int _ {0} ^ {1} сол жақта [ - sum _ {k = 1} ^ {n} (- 1) ^ {k} { binom {n} {k}} u ^ {k-1} right] , du = - sum _ { k = 1} ^ {n} (- 1) ^ {k} { binom {n} {k}} int _ {0} ^ {1} u ^ {k-1} , du [6pt ] & = - sum _ {k = 1} ^ {n} (- 1) ^ {k} { frac {1} {k}} { binom {n} {k}}. end {aligned} }}$

Гармоникалық сандар мен. Арасындағы байланысты көрсететін график табиғи логарифм. Гармоникалық сан H_n деп түсіндіруге болады Риман қосындысы интегралдың: ${ displaystyle int _ {1} ^ {n + 1} { frac {dx} {x}} = ln (n + 1).}$

The nГармоникалық сан шамамен үлкен табиғи логарифм туралы n. Себебі қосындының жуықтауы ажырамас

${ displaystyle int _ {1} ^ {n} { frac {1} {x}} , dx,}$

оның мәні лн n.

Бірізділіктің мәндері H_n - лн n қарай монотонды түрде төмендейді шектеу

${ displaystyle lim _ {n to infty} солға (H_ {n} - ln n оңға) = гамма,}$

қайда γ ≈ 0.5772156649 болып табылады Эйлер-Маскерони тұрақты. Сәйкес асимптотикалық кеңею болып табылады

${ displaystyle { begin {aligned} H_ {n} & sim ln {n} + gamma + { frac {1} {2n}} - sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {B_ {2k}} {2kn ^ {2k}}} & = ln {n} + гамма + { frac {1} {2n}} - { frac {1} {12n ^ { 2}}} + { frac {1} {120n ^ {4}}} - cdots, end {aligned}}}$

қайда B_к болып табылады Бернулли сандары.

Функциялар генерациясы

A генерациялық функция өйткені гармоникалық сандар

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} z ^ {n} H_ {n} = { frac {- ln (1-z)} {1-z}},}$

қайда ln (з) болып табылады табиғи логарифм. Экспоненциалды генерациялау функциясы болып табылады

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {z ^ {n}} {n!}} H_ {n} = - e ^ {z} sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {1} {k}} { frac {(-z) ^ {k}} {k!}} = e ^ {z} operatorname {Ein} (z)}$

қайда Эйн (з) толық болып табылады экспоненциалды интеграл. Ескертіп қой

${ displaystyle operatorname {Ein} (z) = mathrm {E} _ {1} (z) + gamma + ln z = Gamma (0, z) + gamma + ln z}$

мұндағы Γ (0, з) болып табылады толық емес гамма-функция.

Арифметикалық қасиеттері

Гармоникалық сандардың бірнеше қызықты арифметикалық қасиеттері бар. Бұл белгілі ${ textstyle H_ {n}}$ бүтін сан егер және егер болса ${ textstyle n = 1}$, нәтиже көбінесе Taeisinger-ге жатқызылады.^[5] Шынында да, пайдалану 2-адикалды бағалау, мұны дәлелдеу қиын емес ${ textstyle n geq 2}$ нумераторы ${ textstyle H_ {n}}$ -ның бөлгіші болған кезде тақ сан ${ textstyle H_ {n}}$ жұп сан. Дәлірек айтсақ,

${ displaystyle H_ {n} = { frac {1} {2 ^ { lfloor log _ {2} (n) rfloor}}} { frac {a_ {n}} {b_ {n}}} }$

бірнеше тақ сандармен ${ textstyle a_ {n}}$ және ${ textstyle b_ {n}}$.

Салдары ретінде Волстенгольм теоремасы, кез-келген жай сан үшін ${ displaystyle p geq 5}$ нумераторы ${ displaystyle H_ {p-1}}$бөлінеді ${ textstyle p ^ {2}}$. Сонымен қатар, Эйзенштейн^[6] барлық қарапайым жай сан үшін дәлелдеді ${ textstyle p}$ ол ұстайды

${ displaystyle H _ {(p-1) / 2} equiv -2q_ {p} (2) { pmod {p}}}$

қайда ${ textstyle q_ {p} (2) = (2 ^ {p-1} -1) / p}$ Бұл Ферма мөлшері, соның салдарынан ${ textstyle p}$ сандарын бөледі ${ displaystyle H _ {(p-1) / 2}}$ егер және егер болса ${ textstyle p}$ Бұл Wieferich премьер.

1991 жылы Эсваратхасан мен Левин^[7] анықталған ${ displaystyle J_ {p}}$ барлық оң сандардың жиыны ретінде ${ displaystyle n}$ нумераторы сияқты ${ displaystyle H_ {n}}$ жай санға бөлінеді ${ displaystyle p.}$ Олар мұны дәлелдеді

${ displaystyle {p-1, p ^ {2} -p, p ^ {2} -1 } subseteq J_ {p}}$

барлық жай сандар үшін ${ displaystyle p geq 5,}$ және олар анықтады гармоникалық жай бөлшектер қарапайым болу ${ textstyle p}$ осындай ${ displaystyle J (p)}$ дәл 3 элементтен тұрады.

Эсваратхасан мен Левин де бұны болжады ${ displaystyle J_ {p}}$ Бұл ақырлы жиынтық барлық қарапайым кезде ${ displaystyle p,}$ және гармоникалық жай сандар өте көп. Бойд^[8] бұл тексерілді ${ displaystyle J_ {p}}$ дейінгі барлық жай сандар үшін ақырлы болады ${ displaystyle p = 547}$ 83, 127 және 397 қоспағанда; және ол эвристикалық ойды ұсынды тығыздық барлық жай бөлшектер жиынтығында гармоникалық жай сандар болуы керек ${ displaystyle 1 / e}$. Санна^[9] деп көрсетті ${ displaystyle J_ {p}}$ нөлге ие асимптотикалық тығыздық, Бинг-Линг Ву мен Йонг-Гао Чен болса^[10] элементтерінің саны екенін дәлелдеді ${ displaystyle J_ {p}}$ аспайды ${ displaystyle x}$ ең көп дегенде ${ displaystyle 3x ^ {{ frac {2} {3}} + { frac {1} {25 log p}}}}$, барлығына ${ displaystyle x geq 1}$.

Қолданбалар

Гармоникалық сандар бірнеше есептеу формулаларында пайда болады, мысалы дигамма функциясы

${ displaystyle psi (n) = H_ {n-1} - гамма.}$

Бұл қатынас гармоникалық сандардың бүтін емеске дейін кеңеюін анықтау үшін жиі қолданылады n. Анықтау үшін гармоникалық сандар жиі қолданылады γ бұрын енгізілген лимитті қолдана отырып:

${ displaystyle gamma = lim _ {n rightarrow infty} { сол жақ (H_ {n} - ln (n) оң)},}$

дегенмен

${ displaystyle gamma = lim _ {n to infty} { солға (H_ {n} - ln солға (n + { frac {1} {2}} оңға) оңға)}}$

тезірек жақындайды.

2002 жылы, Джеффри Лагариас дәлелденді^[11] бұл Риман гипотезасы дегенге тең

${ displaystyle sigma (n) leq H_ {n} + ( log H_ {n}) e ^ {H_ {n}},}$

әрқайсысына қатысты бүтін n ≥ 1 егер қатаң теңсіздікпен n > 1; Мұнда σ(n) дегенді білдіреді бөлгіштердің қосындысы туралы n.

Локальды емес есептің меншікті мәндері

${ displaystyle lambda varphi (x) = int _ {- 1} ^ {1} { frac { varphi (x) - varphi (y)} {| x-y |}} , dy}$

арқылы беріледі ${ displaystyle lambda = 2H_ {n}}$, шарт бойынша ${ displaystyle H_ {0} = 0}$, және сәйкес жеке функциялар Легендарлы көпмүшелер ${ displaystyle varphi (x) = P_ {n} (x)}$.^[12]

Жалпылау

Жалпыланған гармоникалық сандар

The жалпыланған гармоникалық сан тәртіп м туралы n арқылы беріледі

${ displaystyle H_ {n, m} = sum _ {k = 1} ^ {n} { frac {1} {k ^ {m}}}.}$

Кейде қолданылатын басқа белгілерге жатады

${ displaystyle H_ {n, m} = H_ {n} ^ {(m)} = H_ {m} (n).}$

Ерекше жағдай м = 0 береді ${ displaystyle H_ {n, 0} = n.}$ Ерекше жағдай м = 1 жай ғана гармоникалық сан деп аталады және көбінесе м, сияқты

${ displaystyle H_ {n} = sum _ {k = 1} ^ {n} { frac {1} {k}}.}$

Шектікі n → ∞ егер ақырлы болса м > 1, жалпыланған гармоникалық санмен шектелген және Riemann zeta функциясы

${ displaystyle lim _ {n rightarrow infty} H_ {n, m} = zeta (m).}$

Ең кіші натурал сан к осындай кⁿ жалпыланған гармоникалық санның бөлгішін бөлмейді H(к, n) айнымалы жалпыланған гармоникалық санның бөлгіші де емес H ′(к, n), үшін n=1, 2, ... :

77, 20, 94556602, 42, 444, 20, 104, 42, 76, 20, 77, 110, 3504, 20, 903, 42, 1107, 20, 104, 42, 77, 20, 2948, 110, 136, 20, 76, 42, 903, 20, 77, 42, 268, 20, 7004, 110, 1752, 20, 19203, 42, 77, 20, 104, 42, 76, 20, 370, 110, 1107, 20, ... (жүйелі A128670 ішінде OEIS )

Байланысты сома ${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {m}}$ зерттеуінде пайда болады Бернулли сандары; гармоникалық сандар зерттеу кезінде де пайда болады Стирлинг сандары.

Жалпыланған гармоникалық сандардың кейбір интегралдары

${ displaystyle int _ {0} ^ {a} H_ {x, 2} , dx = a { frac { pi ^ {2}} {6}} - H_ {a}}$

және

${ displaystyle int _ {0} ^ {a} H_ {x, 3} , dx = aA - { frac {1} {2}} H_ {a, 2},}$ қайда A болып табылады Апери тұрақты, яғни ζ(3).

және

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} H_ {k, m} = (n + 1) H_ {n, m} -H_ {n, m-1} { text {for}} m geq 0}$

M ретті кез-келген жалпыланған гармоникалық сан m-1 ретті гармоникалық функция ретінде жазылуы мүмкін:

${ displaystyle H_ {n, m} = sum _ {k = 1} ^ {n-1} { frac {H_ {k, m-1}} {k (k + 1)}} + { frac {H_ {n, m-1}} {n}}}$ Мысалға: ${ displaystyle H_ {4,3} = { frac {H_ {1,2}} {1 cdot 2}} + { frac {H_ {2,2}} {2 cdot 3}} + { frac {H_ {3,2}} {3 cdot 4}} + { frac {H_ {4,2}} {4}}}$

A генерациялық функция жалпыланған гармоникалық сандар үшін

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} z ^ {n} H_ {n, m} = { frac { operatorname {Li} _ {m} (z)} {1-z} },}$

қайда ${ displaystyle operatorname {Li} _ {m} (z)}$ болып табылады полигарифм, және |з| < 1. Жоғарыда келтірілген генерациялау функциясы м = 1 - бұл формуланың ерекше жағдайы.

A жалпыланған гармоникалық сандардың бөлшек аргументі келесідей енгізілуі мүмкін:

Әрқайсысы үшін ${ displaystyle p, q> 0}$ бүтін сан, және ${ displaystyle m> 1}$ бүтін немесе жоқ, бізде полигамма функциялары бар:

${ displaystyle H_ {q / p, m} = zeta (m) -p ^ {m} sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {1} {(q + pk) ^ { м}}}}$

қайда ${ displaystyle zeta (m)}$ болып табылады Riemann zeta функциясы. Тиісті қайталану қатынасы:

${ displaystyle H_ {a, m} = H_ {a-1, m} + { frac {1} {a ^ {m}}}}$

Кейбір ерекше мәндер:

${ displaystyle H _ {{ frac {1} {4}}, 2} = 16-8G - { tfrac {5} {6}} pi ^ {2}}$ қайда G болып табылады Каталондық тұрақты

${ displaystyle H _ {{ frac {1} {2}}, 2} = 4 - { tfrac { pi ^ {2}} {3}}}$

${ displaystyle H _ {{ frac {3} {4}}, 2} = 8G + { tfrac {16} {9}} - { tfrac {5} {6}} pi ^ {2}}$

${ displaystyle H _ {{ frac {1} {4}}, 3} = 64-27 zeta (3) - pi ^ {3}}$

${ displaystyle H _ {{ frac {1} {2}}, 3} = 8-6 zeta (3)}$

${ displaystyle H _ {{ frac {3} {4}}, 3} = {({ tfrac {4} {3}})} ^ {3} -27 zeta (3) + pi ^ {3 }}$

Бұл ерекше жағдайда ${ displaystyle p = 1}$, Біз алып жатырмыз

${ displaystyle H_ {n, m} = zeta (m, 1) - zeta (m, n + 1)}$,

қайда ${ displaystyle zeta (m, n)}$ болып табылады Hurwitz дзета функциясы. Бұл тәуелділік гармоникалық сандарды есептеу үшін қолданылады.

Көбейту формулалары

The көбейту теоремасы гармоникалық сандарға қолданылады. Қолдану полигамма функциялары, біз аламыз

${ displaystyle H_ {2x} = { frac {1} {2}} сол жақ (H_ {x} + H_ {x - { frac {1} {2}}} оңға) + ln 2}$

${ displaystyle H_ {3x} = { frac {1} {3}} сол жақ (H_ {x} + H_ {x - { frac {1} {3}}} + H_ {x - { frac { 2} {3}}} оңға) + ln 3,}$

немесе, жалпы,

${ displaystyle H_ {nx} = { frac {1} {n}} сол жақ (H_ {x} + H_ {x - { frac {1} {n}}} + H_ {x - { frac { 2} {n}}} + cdots + H_ {x - { frac {n-1} {n}}} right) + ln n.}$

Жалпыланған гармоникалық сандар үшін бізде бар

${ displaystyle H_ {2x, 2} = { frac {1} {2}} left ( zeta (2) + { frac {1} {2}} left (H_ {x, 2} + H_) {x - { frac {1} {2}}, 2} right) right)}$

${ displaystyle H_ {3x, 2} = { frac {1} {9}} left (6 zeta (2) + H_ {x, 2} + H_ {x - { frac {1} {3} }, 2} + H_ {x - { frac {2} {3}}, 2} right),}$

қайда ${ displaystyle zeta (n)}$ болып табылады Riemann zeta функциясы.

Гиперармониялық сандар

Келесі жалпылау талқыланды Дж.Х.Конвей және Р.Кай Гай олардың 1995 кітабында Сандар кітабы.^[1]:258 Келіңіздер

${ displaystyle H_ {n} ^ {(0)} = { frac {1} {n}}.}$

Содан кейін nth гипергармониялық нөмір тәртіп р (r> 0) ретінде рекурсивті түрде анықталады

${ displaystyle H_ {n} ^ {(r)} = sum _ {k = 1} ^ {n} H_ {k} ^ {(r-1)}.}$

Соның ішінде, ${ displaystyle H_ {n} ^ {(1)}}$ қарапайым гармоникалық сан ${ displaystyle H_ {n}}$.

Нақты және күрделі мәндер үшін гармоникалық сандар

Жоғарыда келтірілген формулалар,

${ displaystyle H_ {x} = int _ {0} ^ {1} { frac {1-t ^ {x}} {1-t}} , dt = - sum _ {k = 1} ^ { infty} {x k} { frac {(-1) ^ {k}} {k}}} таңдаңыз$

- және гармоникалық сандарды интерполяциялайтын функцияның интегралды және қатарлы көрінісі аналитикалық жалғасы, анықтаманы теріс бүтін сандардан басқа күрделі жазықтыққа таратады х. Интерполяция функциясы шын мәнінде дигамма функциясы

${ displaystyle H_ {x} = psi (x + 1) + гамма,}$

қайда ψ(х) дигамма болып табылады және γ Эйлер-Маскерони тұрақтысы. Алу үшін интеграция процесі қайталануы мүмкін

${ displaystyle H_ {x, 2} = - sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {k}} {k}} {x k} H_ {k таңдаңыз }.}$

The Тейлор сериясы өйткені гармоникалық сандар

${ displaystyle H_ {x} = sum _ {k = 2} ^ { infty} (- 1) ^ {k} zeta (k) ; x ^ {k-1} quad { text {for }} | x | <1}$

дигамма функциясы үшін Тейлор сериясынан шығады.

Баламалы, асимптотикалық формула

Шамамен іздеу кезіндеH_х күрделі сан үшінх, алдымен есептеу тиімдіH_м үлкен бүтін сан үшінм. Мәнін жуықтау үшін пайдаланыңызH_м+х содан кейін рекурсиялық қатынасты қолданыңыз H_n = H_n−1 + 1/n артқам жуық уақытқа дейін босату үшінH_х. Сонымен қатар, бұл шамамен дәл дәл шектерде көрсетілгенм шексіздікке жетеді.

Дәлірек айтқанда, бекітілген бүтін сан үшінn, бұл солай

${ displaystyle lim _ {m rightarrow infty} сол жақ [H_ {m + n} -H_ {m} right] = 0 ,,}$

Егерn бүтін сан емес, сондықтан бұл теңдеудің дұрыс екендігін айту мүмкін емес, өйткені біз бүтін емес сандар үшін гармоникалық сандарды әлі анықтаған жоқпыз (бұл бөлімде). Дегенмен, біз гармоникалық сандардың бүтін емес сандарға кеңеюін ерікті бүтін сан болған кезде де осы теңдеудің орындала беруін талап ете отырып аламыз.n ерікті күрделі санмен ауыстырыладых.

${ displaystyle lim _ {m rightarrow infty} сол жақ [H_ {m + x} -H_ {m} right] = 0 ,,}$

Осы теңдеудің екі жағының ретін ауыстырып, содан кейін оларды алып тастаңызH_х береді

${ displaystyle { begin {aligned} H_ {x} & = lim _ {m rightarrow infty} left [H_ {m} - (H_ {m + x} -H_ {x}) right] [6pt] & = lim _ {m rightarrow infty} left [ left ( sum _ {k = 1} ^ {m} { frac {1} {k}} right) - left ( sum _ {k = 1} ^ {m} { frac {1} {x + k}} right) right] [6pt] & = lim _ {m rightarrow infty} sum _ {k = 1} ^ {m} солға ({ frac {1} {k}} - { frac {1} {x + k}} right) = x sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {1} {k (x + k)}} ,. end {aligned}}}$

Бұл шексіз серия барлық күрделі сандар үшін жинақталадых тек бүтін теріс сандардан басқа, олар рекурсиялық қатынасты қолдануға тырысады H_n = H_n−1 + 1/n мән арқылы керіn = 0 нөлге бөлуді көздейді. Осы құрылым бойынша гармоникалық санды анықтайтын функция күрделі мәндер үшін бір мезгілде қанағаттандыратын бірегей функция болып табылады (1) H₀ = 0, (2) H_х = H_х−1 + 1/х барлық күрделі сандар үшінх оң емес сандардан басқа, және (3) лим_м→+∞ (H_м+х − H_м) = 0 барлық күрделі мәндер үшінх.

Соңғы формуланы мынаны көрсету үшін пайдалануға болатындығын ескеріңіз:

${ displaystyle int _ {0} ^ {1} H_ {x} , dx = gamma ,,}$

қайдаγ болып табылады Эйлер-Маскерони тұрақты немесе, жалпы, әрқайсысы үшінn Бізде бар:

${ displaystyle int _ {0} ^ {n} H_ {x} , dx = n gamma + ln {(n!)} ,.}$

Бөлшек аргументтер үшін арнайы мәндер

0 мен 1 аралығындағы бөлшектік аргументтер үшін интегралмен берілген келесі арнайы аналитикалық мәндер бар

${ displaystyle H _ { alpha} = int _ {0} ^ {1} { frac {1-x ^ { alpha}} {1-x}} , dx ,.}$

Қайталану қатынасынан көбірек мәндер жасалуы мүмкін

${ displaystyle H _ { alpha} = H _ { alpha -1} + { frac {1} { alpha}} ,,}$

немесе рефлексиялық қатынастан

${ displaystyle H_ {1- alpha} -H _ { alpha} = pi cot {( pi alpha)} - { frac {1} { alpha}} + { frac {1} {1 - альфа}} ,.}$

Мысалға:

${ displaystyle H _ { frac {1} {2}} = 2-2 ln {2}}$

${ displaystyle H _ { frac {1} {3}} = 3 - { tfrac { pi} {2 { sqrt {3}}}} - { tfrac {3} {2}} ln {3 }}$

${ displaystyle H _ { frac {2} {3}} = { tfrac {3} {2}} (1- ln {3}) + { sqrt {3}} { tfrac { pi} { 6}}}$

${ displaystyle H _ { frac {1} {4}} = 4 - { tfrac { pi} {2}} - 3 ln {2}}$

${ displaystyle H _ { frac {3} {4}} = { tfrac {4} {3}} - 3 ln {2} + { tfrac { pi} {2}}}$

${ displaystyle H _ { frac {1} {6}} = 6 - { tfrac { pi} {2}} { sqrt {3}} - 2 ln {2} - { tfrac {3} { 2}} ln {3}}$

${ displaystyle H _ { frac {1} {8}} = 8 - { tfrac { pi} {2}} - 4 ln {2} - { tfrac {1} { sqrt {2}}} сол { pi + ln сол (2 + { sqrt {2}} оң) - ln сол (2 - { sqrt {2}} оң) оң }}$

${ displaystyle H _ { frac {1} {12}} = 12-3 солға ( ln {2} + { tfrac { ln {3}} {2}} оңға) - pi солға ( 1 + { tfrac { sqrt {3}} {2}} оң) +2 { sqrt {3}} ln сол ({ sqrt {2 - { sqrt {3}}}} оң) )}$

Натурал сандар үшін б және q бірге б < q, Бізде бар:

${ displaystyle H _ { frac {p} {q}} = { frac {q} {p}} + 2 sum _ {k = 1} ^ { lfloor { frac {q-1} {2} } rfloor} cos сол ({ frac {2 pi pk} {q}} оң) ln сол ({ sin сол ({ frac { pi k} {q}} оң) )} оң) - { frac { pi} {2}} cot сол ({ frac { pi p} {q}} оң) - ln сол (2q оң)}$

Riemann zeta функциясымен байланыс

Бөлшек гармоникалық сандардың кейбір туындылары:

${ displaystyle { begin {aligned} { frac {d ^ {n} H_ {x}} {dx ^ {n}}} & = (- 1) ^ {n + 1} n! left [ zeta (n + 1) -H_ {x, n + 1} right] [6pt] { frac {d ^ {n} H_ {x, 2}} {dx ^ {n}}} & = (- 1) ^ {n + 1} (n + 1)! Left [ zeta (n + 2) -H_ {x, n + 2} right] [6pt] { frac {d ^ {n} H_ {x, 3}} {dx ^ {n}}} & = (- 1) ^ {n + 1} { frac {1} {2}} (n + 2)! Left [ zeta (n) +3) -H_ {x, n + 3} оңға]. Соңы {тураланған}}}$

Және пайдалану Маклорин сериясы, бізде бар х < 1:

${ displaystyle { begin {aligned} H_ {x} & = sum _ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n + 1} x ^ {n} zeta (n + 1) [5pt] H_ {x, 2} & = sum _ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n + 1} (n + 1) x ^ {n} zeta (n +2) [5pt] H_ {x, 3} & = { frac {1} {2}} sum _ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n + 1} ( n + 1) (n + 2) x ^ {n} zeta (n + 3). соңы {тураланған}}}$

0 мен 1 аралығындағы бөлшек аргументтер үшін және а > 1:

${ displaystyle { begin {aligned} H_ {1 / a} & = { frac {1} {a}} left ( zeta (2) - { frac {1} {a}} zeta (3) ) + { frac {1} {a ^ {2}}} zeta (4) - { frac {1} {a ^ {3}}} zeta (5) + cdots right) [ 6pt] H_ {1 / a, , 2} & = { frac {1} {a}} left (2 zeta (3) - { frac {3} {a}} zeta (4) +) { frac {4} {a ^ {2}}} zeta (5) - { frac {5} {a ^ {3}}} zeta (6) + cdots right) [6pt] H_ {1 / a, , 3} & = { frac {1} {2a}} left (2 cdot 3 zeta (4) - { frac {3 cdot 4} {a}} zeta (5) + { frac {4 cdot 5} {a ^ {2}}} zeta (6) - { frac {5 cdot 6} {a ^ {3}}} zeta (7) + cdots right). end {aligned}}}$

Сондай-ақ қараңыз

• Уоттерсонның бағалаушысы
• Таджиманың Д.
• Купон жинаушының мәселесі
• Джип проблемасы
• Riemann zeta функциясы
• Қарым-қатынас сомаларының тізімі

Ескертулер

Әдебиеттер тізімі

• Артур Т.Бенджамин; Грегори О. Престон; Дженнифер Дж. Куинн (2002). «Гармоникалық сандармен стерлингтік кездесу» (PDF). Математика журналы. 75 (2): 95–103. CiteSeerX  10.1.1.383.722. дои:10.2307/3219141. JSTOR  3219141. Архивтелген түпнұсқа (PDF) 2009-06-17. Алынған 2005-08-08.
• Дональд Кнут (1997). «1.2.7-бөлім: Гармоникалық сандар». Компьютерлік бағдарламалау өнері. 1 том: Негізгі алгоритмдер (Үшінші басылым). Аддисон-Уэсли. 75-79 бет. ISBN  978-0-201-89683-1.
• Эд Сэндифер, Эйлер мұны қалай жасады - Базель проблемасын бағалау (2003)
• Паул, Петр; Шнайдер, Карстен (2003). «Гармоникалық санның жаңа отбасының компьютерлік дәлелдері» (PDF). Adv. Қолдану. Математика. 31 (2): 359–378. дои:10.1016 / s0196-8858 (03) 00016-2.
• Венчан Чу (2004). «Апери сандарына Бьюкерс болжамымен байланысты биномдық коэффициенттің сәйкестігі» (PDF). Комбинаториканың электронды журналы. 11: N15.
• Айхан Диль; Иштван Мезо (2008). «Гипергармония және фибоначчи сандарының симметриялық алгоритмі». Қолданбалы математика және есептеу. 206 (2): 942–951. arXiv:0803.4388. дои:10.1016 / j.amc.2008.10.013.

Сыртқы сілтемелер

• Вайсштейн, Эрик В. «Гармоникалық нөмір». MathWorld.

Бұл мақалада Гармоникалық нөмірден бастап материал енгізілген PlanetMath бойынша лицензияланған Creative Commons Attribution / Share-Alike лицензиясы.