Гармоникалық таралу - Harmonic distribution

Гармоникалық
	Ықтималдық тығыздығы функциясы
	Кумулятивтік үлестіру функциясы
Ескерту
Параметрлер	м ≥ 0, а ≥ 0
Қолдау	х > 0
PDF
Орташа
Медиана	м
Режим
Ауытқу
Қиындық
Мыс. куртоз	(мәтінді қараңыз)

Жылы ықтималдықтар теориясы және статистика, гармоникалық таралуы Бұл ықтималдықтың үздіксіз таралуы. Ол арқылы ашылды Этьен Гальфен табиғи оқиғаларды статистикалық модельдеуге қызығушылық танытқан. Оның деректерді талдаудағы тәжірибесі оны әртүрлі мәліметтер жиынтығына сай икемділікті қамтамасыз ететін тарату жүйесінің жаңа жүйесін бастауға итермеледі. Гэлфен өзінің іздеуін жай статистикалық тәсілдерді қолдану арқылы параметрлерін бағалауға болатын үлестірулермен шектеді. Содан кейін, Гальфен алғаш рет гармоникалық таралу немесе гармоникалық заң деп атады. Гармоникалық заң - бұл ерекше жағдай жалпыланған кері Гаусс таралуы отбасы қашан ${ displaystyle gamma = 0}$ .

Тарих

Гальфеннің міндеттерінің бірі - Франциядағы Electricité де статист болып жұмыс істей отырып, гидроэлектростанциялардағы ай сайынғы су ағынын модельдеу. Гэлфен Пирсон ықтималдықтарды үлестіру жүйесін шешуге болмайтынын түсінді; бұл оның керемет қасиеттеріне қарамастан жеткіліксіз болды. Сондықтан, Гальфеннің мақсаты үлкен және кіші ағындар үшін экспоненциалды ыдырауға ұшыраған екі параметрлі ықтималдықтар үлестірімін алу болды.

1941 жылы Гальфен сәйкес масштабталған бірліктерде тығыздық деп шешті X 1-мен бірдей болуы керекX.^[1] Осы мәселені қарастырған Гальфен гармоникалық тығыздық функциясын тапты. Қазіргі уақытта а гиперболалық таралу, Рухин (1974) және Барндорф-Нильсен (1978) зерттеген.^[2]

Гармоникалық заң - бұл масштабтың өзгеруі кезінде және өзара қарама-қайшылықта жабылатын жалғыз екі параметрлі таралу тобы, сондықтан популяцияның орташа ықтималдығын бағалаушы таңдалған мән болып табылады (Гаусс принципі).^[3]

1946 жылы Гэлфен қосымша параметр енгізу арқылы икемділікті жақсартуға болатынын түсінді. Оның күш-жігері оны алу үшін гармоникалық заңды жалпылауға мәжбүр етті жалпыланған кері Гаусс таралуы тығыздық.^[1]

Анықтама

Ескерту

Гармоникалық үлестіру арқылы белгіленеді ${ displaystyle theta (m, a)}$ . Нәтижесінде, а кездейсоқ шама X масштаб параметрі бойынша гармоникалық заң бойынша бөлінеді м халықтың медианасы және а - пішіннің параметрі.

{ displaystyle X sim operatorname {Harm} (m, a) ,}

Ықтималдық тығыздығы функциясы

The тығыздық функциясы екі параметрге тәуелді болатын гармоникалық заңның,^[3] нысаны бар,

{ displaystyle f (x; m, a) = { frac {1} {2xK_ {0} (a)}} exp left (- { frac {a} {2}} left ({ frac) {x} {m}} + { frac {m} {x}} right) right)}

қайда

${ displaystyle K_ {0} (a)}$ модификацияланған үшінші түрін білдіреді Бессель функциясы 0 индексімен,
${ displaystyle m geq 0,}$
${ displaystyle a geq 0.}$

Қасиеттері

Моменттер

Реттік емес моменттің өрнегін шығару р, интегралды көрінісі Бессель функциясы пайдалануға болады.^[4]

{ displaystyle mu '_ {r} = int _ {0} ^ { infty} x ^ {r} f (x; m, a) , dx = m ^ {r} { frac {K_ { r} (a)} {K_ {0} (a)}}}

қайда:

р ретін білдіреді сәт.

Демек білдіреді және кейінгі үшеуі сәттер бұл туралы

Тапсырыс	Сәт	Кумулант
1	${ displaystyle mu _ {1} = m { frac {K_ {1} (a)} {K_ {0} (a)}}}$	${ displaystyle mu}$
2	${ displaystyle mu _ {2} = m ^ {2} сол жақта ({ frac {K_ {2} (a)} {K_ {0} (a)}} - { frac {K_ {1} ^ {2} (а)} {К_ {0} ^ {2} (а)}} оң)}$	${ displaystyle sigma ^ {2}}$
3	${ displaystyle mu _ {3} = m ^ {3} сол жақта ({ frac {K_ {3} (a)} {K_ {0} (a)}} - 3 { frac {K_ {1} (a) K_ {2} (a)} {K_ {0} ^ {2} (a)}} + 2 + { frac {K_ {1} ^ {2} (a)} {K_ {0} ^ {3} (а)}} оң)}$	${ displaystyle k_ {3}}$
4	${ displaystyle mu _ {4} = m ^ {4} сол жақта ({ frac {K_ {4} (a)} {K_ {0} (a)}} - 4 { frac {K_ {1} (a) K_ {3} (a)} {K_ {0} ^ {2} (a)}} + 6 { frac {K_ {1} ^ {2} (a) K_ {2} (a)} {K_ {0} ^ {3} (a)}} - 3 { frac {K_ {1} ^ {4} (a)} {K_ {0} ^ {4} (a)}} right)}$	${ displaystyle k_ {4}}$

Қиындық

Қиындық - шаманың 3/2 қуатына бөлінген орташа айналасындағы үшінші стандартталған сәт стандартты ауытқу, біз жұмыс жасаймыз,^[4]

{ displaystyle gamma _ {1} = { frac { mu _ {3}} { mu _ {2} ^ {3/2}}} = { frac {K_ {0} ^ {2} ( a) K_ {3} (a) -3K_ {0} (a) K_ {1} (a) K_ {2} (a) + 2K_ {1} ^ {3} (a)} {(K_ {0}) (a) K_ {2} (a) -K_ {1} ^ {2} (a)) ^ {3/2}}}}

Әрқашан ${ displaystyle gamma _ {1}> 0}$ , сондықтан үлестіру массасы сол жақта шоғырланған.

Куртоз

Коэффициенті куртоз - дисперсия квадратына бөлінген төртінші стандартталған момент. Гармоникалық таралуы үшін ол^[4]

{ displaystyle gamma _ {2} = { frac { mu _ {4}} { mu _ {2} ^ {2}}} = { frac {K_ {0} ^ {3} (a) K_ {4} (a) -4K_ {0} ^ {2} (a) K_ {1} (a) K_ {3} (a) + 6K_ {0} (a) K_ {1} ^ {2} ( a) K_ {2} (a) -3K_ {1} ^ {4} (a)} {(K_ {0} (a) K_ {2} (a) -K_ {1} ^ {2} (a) ) {{2}}}}

Әрқашан ${ displaystyle gamma _ {2}> 0}$ таралу орташа және май құйрықтарының айналасында жоғары өткір шыңға ие.

Параметрді бағалау

Ықтималдықтың максималды бағасы

The ықтималдылық функциясы болып табылады

{ displaystyle L (a, m) = prod _ {i = 1} ^ {n} f (x_ {i} mid a, m) = prod _ {i = 1} ^ {n} { frac {1} {2x_ {i} K_ {0} (a)}} exp left [- { frac {a} {2}} left ({ frac {x_ {i}} {m}} + { frac {m} {x_ {i}}} right) right].}

Осыдан кейін журналдың ықтималдығы функциясы болып табылады

{ displaystyle ell (a, m) = ln L (a, m) = - n ln (2K_ {0} (a)) - sum _ {i = 1} ^ {n} ln x_ { i} + { frac {a} {2m}} sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} + { frac {am} {2}} sum _ {i = 1} ^ { n} { frac {1} {x_ {i}}}.}

Журналға ықтималдылық функциясынан ықтималдық теңдеулері болып табылады

{ displaystyle { frac { жарым-жартылай ell} { жартылай а}} = - n { frac {K_ {0} '(a)} {K_ {0} (a)}} + { frac {1 } {2m}} sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} + { frac {m} {2}} sum _ {i = 1} ^ {n} { frac {1} {x_ {i}}} = 0,}

{ displaystyle { frac { жарым-жартылай ell} { жартылай m}} = { frac {1} {2m ^ {2}}} sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} + { frac {a} {2}} sum _ {i = 1} ^ {n} { frac {1} {x_ {i}}} = 0.}

Бұл теңдеулер үшін тек сандық шешім қабылданады а, бірақ бізде бар

{ displaystyle { hat {m}} = { sqrt { frac { bar {H}} {{ bar {H}} _ {- 1}}}}; qquad { sqrt {{ bar {H}} { бар {H}} _ {- 1}}} = { frac {K_ {1} ({ hat {a}})} {K_ {0} ({ hat {a}} )}}.}

Моменттер әдісі

The білдіреді және дисперсия гармоникалық таралуы үшін,^[3]^[4]

{ displaystyle { begin {case} mu = m { frac {K_ {1} (a)} {K_ {0} (a)}} sigma ^ {2} = m ^ {2} солға (1 + { frac {2K_ {1} (a)} {K_ {0} (a) a}} - { frac {K_ {1} ^ {2} (a)} {K_ {0} ^ {2} (a)}} right) end {case}}}

Ескертіп қой

{ displaystyle sigma ^ {2} = mu ^ {2} сол жақ ({ frac {2K_ {0} (a)} {K_ {1} (a)}} оңға) ^ {2} + { frac {2K_ {0} (a) mu ^ {2}} {K_ {1} (a) a}} - mu ^ {2}}

The сәттер әдісі келесі теңдеулерді шешуге арналған:

{ displaystyle { begin {case} { bar {H}} = m { frac {K_ {1} (a)} {K_ {0} (a)}} s ^ {2} = { {H}} ^ {2} сол жақ ({ frac {2K_ {0} (a)} {K_ {1} (a)}} оңға) ^ {2} + { frac {2K_ {0} (a) { bar {H}} ^ {2}} {K_ {1} (a) a}} - { bar {H}} ^ {2} end {case}}}

қайда ${ displaystyle s ^ {2}}$ - бұл дисперсияның үлгісі және ${ displaystyle { bar {H}}}$ орташа үлгі болып табылады. Екінші теңдеуді шешеміз ${ displaystyle { hat {a}}}$ , содан кейін біз есептейміз ${ displaystyle { hat {m}}}$ қолдану

{ displaystyle { hat {m}} = { frac {{ bar {H}} K_ {0} ({ hat {a}})} {K_ {1} ({ hat {a}}) }}.}

Байланысты таратылымдар

Гармоникалық заң - бұл кіші отбасы жалпыланған кері Гаусс таралуы. Тығыздығы GIG отбасы формасы бар

{ displaystyle f (x mid m, gamma) = { frac {x ^ { gamma -1}} {2m ^ { gamma} K _ { gamma} (a)}} exp left [- { frac {a} {2}} сол жақ ({ frac {x} {m}} + { frac {m} {x}} right) right]}

Жалпыланған кері Гаусс үлестірімінің тығыздығы гармоникалық заңға сәйкес келеді ${ displaystyle gamma = 0}$ .^[3]

Қашан ${ displaystyle a}$ шексіздікке ұмтылады, гармоникалық заңдылықты a жуықтауы мүмкін қалыпты таралу. Бұл егер екенін көрсету арқылы көрсетіледі ${ displaystyle a}$ сонда шексіздікке ұмтылады ${ displaystyle U = { sqrt {a}} сол ({ frac {X} {m}} - 1 оң)}$ , бұл сызықтық түрлендіру болып табылады X, а-ға ұмтылады қалыпты таралу ( ${ displaystyle N (0,1)}$ ).

Мұның себебін түсіндіреді қалыпты таралу белгілі бір коэффициенттер жиынтығы үшін сәтті қолданыла алады.^[4]

Тағы бір байланысты үлестіру лог-гармоникалық заң болып табылады, ол ықтималдықтың таралуы а кездейсоқ шама оның логарифмі гармоникалық заңға сәйкес келеді.

Бұл отбасында қызықты қасиет бар, орналасу параметрінің Pitman бағалаушысы жоғалту функциясын таңдауға байланысты емес. Бұл қасиетті тек екі статистикалық модель қанағаттандырады: бірі - қалыпты таралу отбасы, ал екіншісі - лог-гармоникалық заңдылықты қамтитын үш параметрлі статистикалық модель.^[2]

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

^ ^а ^б Котс, Сэмюэл Л. (1982–1989). Статистика ғылымдарының энциклопедиясы. 5. 3059–3061 б. 3069–3072.
^ ^а ^б Рухин, А.Л. (1978). «Күшті симметриялы отбасылар және олардың параметрлерін статистикалық талдау». Кеңестік математика журналы. 9: 886–910.
^ ^а ^б ^в ^г. Пуиг, Пере (2008). «Гармоникалық заң туралы ескертпе: қатынастардың үлестірімінің екі параметрлі отбасы». Статистика және ықтималдық хаттары. 78: 320–326.
^ ^а ^б ^в ^г. ^e Перро, Л .; Боби, Б .; Расмуссен, П.Ф. (1999). «Галфенді тарату жүйесі. I: Математикалық және статистикалық қасиеттер». Дж. Гидрол. Eng. 4 (3): 189–199.

[kots-1] а ^б Котс, Сэмюэл Л. (1982–1989). Статистика ғылымдарының энциклопедиясы. 5. 3059–3061 б. 3069–3072.

[rukhin-2] а ^б Рухин, А.Л. (1978). «Күшті симметриялы отбасылар және олардың параметрлерін статистикалық талдау». Кеңестік математика журналы. 9: 886–910.

[puig-3] а ^б ^в ^г. Пуиг, Пере (2008). «Гармоникалық заң туралы ескертпе: қатынастардың үлестірімінің екі параметрлі отбасы». Статистика және ықтималдық хаттары. 78: 320–326.

[per1-4] а ^б ^в ^г. ^e Перро, Л .; Боби, Б .; Расмуссен, П.Ф. (1999). «Галфенді тарату жүйесі. I: Математикалық және статистикалық қасиеттер». Дж. Гидрол. Eng. 4 (3): 189–199.

[1]

[2]

[3]

[4]