Хадамар үш жолды теорема - Hadamard three-lines theorem

Жылы кешенді талдау, математика бөлімі Хадамар үш жолды теорема мінез-құлқы туралы нәтиже болып табылады голоморфты функциялар параллель түзулермен шектелген аймақтарда анықталады күрделі жазықтық. Теорема француз математигінің есімімен аталады Жак Хадамар.

Мәлімдеме

Келіңіздер f(з) функциясының шектелген функциясы болуы керек z = x + iy жолақта анықталған

жолақтың ішкі бөлігінде голоморфты және бүкіл жолақта үздіксіз. Егер

содан кейін журналға кіріңізМ(х) - [бойынша дөңес функцияаб].

Басқаша айтқанда, егер бірге , содан кейін

Дәлел

Анықтаңыз арқылы

Осылайша |F(з) ≤ жолақтың шеттерінде 1. Нәтиже жолақтың ішкі бөлігінде теңсіздік орын алатыны көрсетілгеннен кейін шығады.

Кейін аффиналық трансформация координатада з, деп болжауға болады а = 0 және б = 1. Функция

0 деп ұмтылады |з| шексіздікке ұмтылады және | қанағаттандырадыFn| ≤ жолақтың шекарасында 1. The максималды модульдік принцип сондықтан қолдануға болады Fn жолақта. Сонымен |Fn(з) ≤ 1. бастап Fn(з) ұмтылады F(з) сияқты n шексіздікке ұмтылады. Бұдан шығатыны |F(з)| ≤ 1.

Қолданбалар

Үш жолды теореманы дәлелдеуге болады Хадамард үш шеңберлі теоремасы шектелген үздіксіз функция үшін бойыншаannulus , интерьердегі голоморфты. Теореманы

көрсетеді, егер

содан кейін -ның дөңес функциясы болып табылады с.

Үш жолды теорема а-да мәні бар функциялар үшін де орындалады Банах кеңістігі және маңызды рөл атқарады күрделі интерполяция теориясы. Мұны дәлелдеу үшін қолдануға болады Хёлдер теңсіздігі өлшенетін функциялар үшін

қайда , функцияны қарастыру арқылы

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

  • Хадамар, Жак (1896), «Sur les fonctions entières» (PDF), Өгіз. Soc. Математика. Фр., 24: 186–187 (теореманың алғашқы хабарламасы)
  • Рид, Майкл; Саймон, Барри (1975), Қазіргі математикалық физиканың әдістері, 2 том: Фурье анализі, өзін-өзі біріктіру, Elsevier, 33-34 бет, ISBN  0-12-585002-6
  • Ульрих, Дэвид С. (2008), Кешен қарапайым, Математика бойынша магистратура, 97, Американдық математикалық қоғам, 386-387 бет, ISBN  0-8218-4479-2