H шаршы - H square

Жылы математика және басқару теориясы, H², немесе H-шаршы Бұл Таза кеңістік шаршы нормамен. Бұл кіші кеңістік L² ғарыш, және осылайша а Гильберт кеңістігі. Атап айтқанда, бұл Гильберт кеңістігін көбейту.

Бірлік шеңберінде

Жалпы, элементтері L² бірлік шеңберінде берілген

${displaystyle sum _ {n = -infty} ^ {infty} a_ {n} e ^ {invarphi}}$

ал элементтері H² арқылы беріледі

${displaystyle sum _ {n = 0} ^ {infty} a_ {n} e ^ {invarphi}.}$

Бастап проекциясы L² дейін H² (орнату арқылы а_n = 0 кезде n <0) ортогоналды.

Жартылай жазықтықта

The Лапластың өзгеруі ${displaystyle {mathcal {L}}}$ берілген

${displaystyle [{mathcal {L}} f] (s) = int _ {0} ^ {infty} e ^ {- st} f (t) dt}$

сызықтық оператор деп түсінуге болады

${displaystyle {mathcal {L}}: L ^ {2} (0, infty) o H ^ {2} left (mathbb {C} ^ {+} ight)}$

қайда ${displaystyle L ^ {2} (0, қатал)}$ жиынтығы шаршы-интегралды оң нақты сан сызығындағы функциялар және ${displaystyle mathbb {C} ^ {+}}$ - бұл күрделі жазықтықтың оң жартысы. Бұл көп; бұл изоморфизм, бұл қайтымды және бұл изометриялық, бұл оны қанағаттандырады

${displaystyle | {mathcal {L}} f | _ {H ^ {2}} = {sqrt {2pi}} | f | _ {L ^ {2}}.}$

Лаплас түрлендіруі - Фурье түрлендіруінің «жартысы»; ыдырауынан

${displaystyle L ^ {2} (mathbb {R}) = L ^ {2} (- жарамсыз, 0) қосымша L ^ {2} (0, жөнсіз)}$

біреуін алады ортогональды ыдырау туралы ${displaystyle L ^ {2} (mathbb {R})}$ екі Харди кеңістігінде

${displaystyle L ^ {2} (mathbb {R}) = H ^ {2} сол (mathbb {C} ^ {-} ight) қосымша H ^ {2} сол жақ (mathbb {C} ^ {+} ight). }$

Бұл негізінен Пейли-Винер теоремасы.

Сондай-ақ қараңыз

• H_∞

Әдебиеттер тізімі

• Джонатан Р. Партингтон, «Сызықтық операторлар және сызықтық жүйелер, басқару теориясына аналитикалық тәсіл», Лондон математикалық қоғамының студенттерге арналған мәтіндері 60, (2004) Кембридж университетінің баспасы, ISBN  0-521-54619-2.