Гудерманниялық функция - Gudermannian function
Дөңгелек функциялар мен гиперболалық функцияларды күрделі сандарды қолданбай байланыстыратын функция
График Гудерманния функциясының
The Гудерманниялық функция , атындағы Кристоф Гудерманн (1798–1852), байланысты дөңгелек функциялар және гиперболалық функциялар нақты пайдаланбай күрделі сандар .
Бұл барлығы үшін анықталған х арқылы[1] [2] [3]
gd х = ∫ 0 х 1 қош т г. т . { displaystyle operatorname {gd} x = int _ {0} ^ {x} { frac {1} { cosh t}} , dt.} Қасиеттері
Балама анықтамалар gd х = арксин ( танх х ) = арктана ( синх х ) = arccsc ( шыт х ) = сгн ( х ) ⋅ арккос ( sech х ) = сгн ( х ) ⋅ арцек ( қош х ) = 2 арктана [ танх ( 1 2 х ) ] = 2 арктана ( e х ) − 1 2 π . { displaystyle { begin {aligned} operatorname {gd} x & = arcsin left ( tanh x right) = arctan ( sinh x) = operatorname {arccsc} ( coth x) & = operatorname {sgn} (x) cdot arccos left ( operatorname {sech} x right) = operatorname {sgn} (x) cdot operatorname {arcsec} ( cosh x) & = 2 arctan left [ tanh left ({ tfrac {1} {2}} x right) right] & = 2 arctan (e ^ {x}) - { tfrac {1} {2 }} pi. end {тураланған}}} Кейбір сәйкестіктер күнә ( gd х ) = танх х ; csc ( gd х ) = шыт х ; cos ( gd х ) = sech х ; сек ( gd х ) = қош х ; тотығу ( gd х ) = синх х ; төсек ( gd х ) = csch х ; тотығу ( 1 2 gd х ) = танх ( 1 2 х ) . { displaystyle { begin {aligned} sin ( operatorname {gd} x) = tanh x; quad & csc ( operatorname {gd} x) = coth x; cos ( operatorname { gd} x) = оператордың аты {sech} x; quad & sec ( operatorname {gd} x) = cosh x; tan ( operatorname {gd} x) = sinh x; quad & cot ( operatorname {gd} x) = operatorname {csch} x; tan left ({ tfrac {1} {2}} operatorname {gd} x right) = tanh left ( { tfrac {1} {2}} x right). end {aligned}}} Кері График кері Гудерманния функциясының
gd − 1 х = ∫ 0 х 1 cos т г. т − π / 2 < х < π / 2 = лн | 1 + күнә х cos х | = 1 2 лн | 1 + күнә х 1 − күнә х | = лн | 1 + тотығу х 2 1 − тотығу х 2 | = лн | тотығу х + сек х | = лн | тотығу ( х 2 + π 4 ) | = артанх ( күнә х ) = арсинх ( тотығу х ) = 2 аркант ( тотығу х 2 ) = аркот ( csc х ) = доғ ( төсек х ) = сгн ( х ) аркош ( сек х ) = сгн ( х ) арсех ( cos х ) = − мен gd ( мен х ) { displaystyle { begin {aligned} operatorname {gd} ^ {- 1} x & = int _ {0} ^ {x} { frac {1} { cos t}} , dt qquad - pi / 2 (Қараңыз кері гиперболалық функциялар .)
Кейбір сәйкестіктер синх ( gd − 1 х ) = тотығу х ; csch ( gd − 1 х ) = төсек х ; қош ( gd − 1 х ) = сек х ; sech ( gd − 1 х ) = cos х ; танх ( gd − 1 х ) = күнә х ; шыт ( gd − 1 х ) = csc х . { displaystyle { begin {aligned} sinh ( operatorname {gd} ^ {- 1} x) = tan x; quad & operatorname {csch} ( operatorname {gd} ^ {- 1} x) = cot x; cosh ( operatorname {gd} ^ {- 1} x) = sec x; quad & operatorname {sech} ( operatorname {gd} ^ {- 1} x) = cos x; tanh ( operatorname {gd} ^ {- 1} x) = sin x; quad & coth ( operatorname {gd} ^ {- 1} x) = csc x. end {тураланған}}} Туынды г. г. х gd х = sech х ; г. г. х gd − 1 х = сек х . { displaystyle { frac {d} {dx}} operatorname {gd} x = operatorname {sech} x; quad { frac {d} {dx}} ; operatorname {gd} ^ {- 1 } x = sec x.} Тарих
Функциясы енгізілді Иоганн Генрих Ламберт 1760 жылдары бір мезгілде гиперболалық функциялар . Ол оны «трансценденттік бұрыш» деп атады және ол 1862 жылға дейін әртүрлі атаулармен жүрді Артур Кэйли оған қазіргі атауын 1830 жылдардағы Гудерманның арнайы функциялар теориясына арналған еңбегіне құрмет ретінде беруді ұсынды.[4] Crelle's Journal Theorkie der potenzial-oder cyklisch-hyperbolischen Functionen (1833), түсіндірілген кітап синх және қош кең аудиторияға (деген атпен) S мен n { displaystyle { mathfrak {Sin}}} C o с { displaystyle { mathfrak {Cos}}}
Белгі gd Кэйли енгізген[5] gd. сен қарама-қарсы секанттық функцияның интегралы :
сен = ∫ 0 ϕ сек т г. т = лн ( тотығу ( 1 4 π + 1 2 ϕ ) ) { displaystyle u = int _ {0} ^ { phi} sec t , dt = ln left ( tan left ({ tfrac {1} {4}} pi + { tfrac { 1} {2}} phi right) right)} содан кейін трансценденттің «анықтамасын» шығарады:
gd сен = мен − 1 лн ( тотығу ( 1 4 π + 1 2 сен мен ) ) { displaystyle operatorname {gd} u = i ^ {- 1} ln left ( tan left ({ tfrac {1} {4}} pi + { tfrac {1} {2}} ui оң) оң)} оның нақты функциясы екендігін бірден байқай отырып сен .
Қолданбалар
1 2 π − gd х { displaystyle { tfrac {1} {2}} pi - operatorname {gd} x} Үстінде Меркатор проекциясы тұрақты ендік сызығы экваторға параллель (проекция бойынша) және ендіктің кері Гудерманниясына пропорционал шамамен ығыстырылған. Анықтамасында Гудерманниан (күрделі аргументпен) қолданылуы мүмкін көлденең Меркатор проекциясы .[6] Гудерманниан сонымен қатар динамиканың қозғалмалы айна шешімінде көрінеді Казимир әсері .[8] Сондай-ақ қараңыз
Әдебиеттер тізімі
^ Олвер, Ф.В.Дж .; Лозье, Д.В .; Бойсверт, Р.Ф .; Кларк, Калифорния штаты, редакция. (2010), NIST математикалық функциялар туралы анықтамалық 4.23-бөлім (viii) . ^ CRC Математика ғылымдарының анықтамалығы 5-ші басылым 323–325 бб ^ Вайсштейн, Эрик В. «Гудерманниан» . MathWorld ^ Джордж Ф.Беккер, C. Ван Орстранд. Гиперболалық функциялар. Кітаптарды оқыңыз, 1931. xlix бет. Сканерленген көшірме мына жерде қол жетімді archive.org ^ Кейли, А. (1862). «Трансценденттік гд. У туралы» . Философиялық журнал . 4 серия. 24 (158): 19–21. дои :10.1080/14786446208643307 .^ Осборн, П (2013), Меркатордың болжамдары ^ Джон С.Робертсон (1997). «Гудерманн және қарапайым маятник». Колледждің математика журналы . 28 (4): 271–276. дои :10.2307/2687148 . JSTOR 2687148 . Шолу . ^ Жақсы, Майкл Р. Андерсон, Пол Р .; Эванс, Чарльз Р. (2013). «Бөлшектердің жылдамдатқыш айналардан уақытқа тәуелділігі». Физикалық шолу D . 88 (2): 025023. arXiv :1303.6756 Бибкод :2013PhRvD..88b5023G . дои :10.1103 / PhysRevD.88.025023 .
![{ displaystyle { begin {aligned} operatorname {gd} x & = arcsin left ( tanh x right) = arctan ( sinh x) = operatorname {arccsc} ( coth x) & = operatorname {sgn} (x) cdot arccos left ( operatorname {sech} x right) = operatorname {sgn} (x) cdot operatorname {arcsec} ( cosh x) & = 2 arctan left [ tanh left ({ tfrac {1} {2}} x right) right] & = 2 arctan (e ^ {x}) - { tfrac {1} {2 }} pi. end {тураланған}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e51b402e5963f69e15fe843d5bc8580d42ac07c)
![{ displaystyle { begin {aligned} operatorname {gd} ^ {- 1} x & = int _ {0} ^ {x} { frac {1} { cos t}} , dt qquad - pi / 2 <x < pi / 2 [8pt] & = ln left | { frac {1+ sin x} { cos x}} right | = { frac {1} {2 }} ln left | { frac {1+ sin x} {1- sin x}} right | = ln left | { frac {1+ tan { frac {x} {2 }}} {1- tan { frac {x} {2}}}} right | [8pt] & = ln left | tan x + sec x right | = ln left | tan left ({ frac {x} {2}} + { frac { pi} {4}} right) right | [8pt] & = operatorname {artanh} ( sin x) = operatorname {arsinh} ( tan x) & = 2 operatorname {arctanh} left ( tan { frac {x} {2}} right) & = operatorname {arcoth} ( csc x) = оператор аты {arcsch} ( cot x) & = оператор аты {sgn} (x) оператор аты {arcosh} ( sec x) = оператор аты {sgn} (x) оператор аты {arsech} ( cos x) & = - i operatorname {gd} (ix) end {aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b6216db85ce2fb98126b9dac4815e627c00069b)
