Град-Шафранов теңдеуі - Grad–Shafranov equation

The Град-Шафранов теңдеуі (Х. Град және Х.Рубин (1958); Виталий Дмитриевич Шафранов (1966)) - бұл идеалдағы тепе-теңдік теңдеуі магнетогидродинамика (MHD) екі өлшемді плазма, мысалы, а-дағы аксиметриялық тороидтық плазма токамак. Бұл теңдеу бірдей форманы алады Хикс теңдеуі сұйықтық динамикасынан.[1] Бұл теңдеу a екі өлшемді, бейсызықтық, эллиптикалық дербес дифференциалдық теңдеу идеал MHD теңдеулерін екі жағдайға келтіруден алынған, көбінесе жағдайда тороидты аксиметрия (жағдай токамакта маңызды). Қабылдау цилиндрлік координаттар ретінде, ағын функциясы теңдеумен басқарылады,

қайда болып табылады магниттік өткізгіштік, болып табылады қысым, және магнит өрісі мен ток сәйкесінше берілген

Тепе-теңдіктің табиғаты, ол а токамак, қалпына келтірілген өрістің қысылуы және т.с.с. көбіне екі функцияның таңдауымен анықталады және сонымен қатар шекаралық шарттар.

Шығарылым (тақта координаттарында)

Келесіде, жүйесі 2-өлшемді болып саналады өзгермейтін ось ретінде, яғни. барлық шамалар үшін. Сонда магнит өрісін декартиялық координаталарда қалай жазуға болады

немесе ықшам,

қайда болып табылады векторлық потенциал жазықтықтағы (х және у компоненттері) магнит өрісі үшін. Осы формаға негізделгенін ескеріңіз B біз мұны көре аламыз A кез келген берілген магнит өрісі сызығы бойынша тұрақты, өйткені барлық жерде перпендикуляр орналасқан B. (Сондай-ақ, бұл ағынның функциясы жоғарыда айтылған.)

Екі өлшемді, стационарлық, магниттік құрылымдар қысым күштері мен магниттік күштердің тепе-теңдігімен сипатталады, яғни:

қайда б бұл плазма қысымы және j бұл электр тогы. Бұл белгілі б кез келген өріс сызығының бойында тұрақты болып табылады, (қайтадан бастап барлық жерде перпендикуляр орналасқан B). Сонымен қатар, екі өлшемді болжам () сол жақтың z- компоненті нөлге тең болуы керек дегенді білдіреді, сондықтан оң жақтағы магниттік күштің z-компоненті де нөлге тең болуы керек. Бұл дегеніміз , яғни параллель .

Алдыңғы теңдеудің оң жағын екі бөліктен қарастыруға болады:

қайда подкрипт жазықтықтағы компонентті перпендикулярға білдіреді -аксис. The Жоғарыда келтірілген теңдеудегі токтың құрамын бір өлшемді векторлық потенциал түрінде жазуға болады.

Жазықтық өрісі болып табылады

,

және Максвелл-Ампер теңдеуін пайдаланып, жазықтықтағы ток берілген

.

Бұл вектор параллель болу үшін қажет болған жағдайда вектор перпендикуляр болуы керек , және сондықтан, ұнайды , өріс сызығының инвариантты болуы.

Жоғарыдағы крест өнімдерін қайта құру әкеледі

,

және

Бұл нәтижелерді келесі өрнектің орнына қоюға болады өнім беру:

Бастап және өріс сызығының бойындағы тұрақтылар және тек функциялары , демек және . Осылайша, факторинг және шарттарды қайта құру нәтиже береді Град-Шафранов теңдеуі:

Пайдаланылған әдебиеттер

  1. ^ Smith, S. G. L., & Hattori, Y. (2012). Айналуы бар аксимметриялық магниттік құйындар. Сызықтық емес ғылымдағы байланыс және сандық модельдеу, 17 (5), 2101-2107.