Голдстин теоремасы - Goldstine theorem - Wikipedia

Жылы функционалдық талдау, математика бөлімі Голдстин теоремасы, атындағы Герман Голдстайн, келесідей:

Голдстин теоремасы. Келіңіздер X болуы а Банах кеңістігі, содан кейін жабық блок шарының бейнесі B ⊂ X жабық блоктың шарына канондық кірістіру астында B′′ туралы қос кеңістік X ′′ болып табылады әлсіз * -тығыз.

Теореманың қорытындысы норма топологиясына сәйкес келмейді, оны нөлге ауысатын Банач нақты тізбектік кеңістікті қарастыру арқылы көруге болады, c₀ және оның қосарланған кеңістігі ℓ_∞.

Дәлел

Лемма

Барлығына ${ displaystyle x '' in B ''}$, ${ displaystyle varphi _ {1}, ldots, varphi _ {n} in X '}$ және ${ displaystyle delta> 0}$бар, бар ${ displaystyle x in (1+ delta) B}$ осындай ${ displaystyle varphi _ {i} (x) = x '' ( varphi _ {i})}$ барлығына ${ displaystyle 1 leq i leq n}$.

Лемманың дәлелі

Сурьютивтілігі бойынша

${ displaystyle { begin {case} Phi: X to mathbf {C} ^ {n}, x mapsto left ( varphi _ {1} (x), cdots, varphi _ { n} (x) right) end {case}}}$

біз таба аламыз ${ displaystyle x in X}$ бірге ${ displaystyle varphi _ {i} (x) = x '' ( varphi _ {i})}$ үшін ${ displaystyle 1 leq i leq n}$.

Енді рұқсат етіңіз

${ displaystyle Y: = bigcap _ {i} ker varphi _ {i} = ker Phi.}$

-Ның әрбір элементі з ∈ (х + Y) ∩ (1 + δ)B қанағаттандырады ${ displaystyle z in (1+ delta) B}$ және ${ displaystyle varphi _ {i} (z) = z '' ( varphi _ {i})}$, сондықтан қиылыстың бос еместігін көрсету жеткілікті.

Қарама-қайшылық үшін оны бос деп санаңыз. Содан кейін дист (х, Y) ≥ 1 + δ және Хан-Банах теоремасы сызықтық форма бар φ ∈ X ′ осындай φ|_Y = 0, φ(х) ≥ 1 + δ және ||φ||_X ′ = 1. Содан кейін φ An аралық {φ₁, ..., φ_n} ^[1] сондықтан

${ displaystyle 1+ delta leq varphi (x) = x '' ( varphi) leq | varphi | _ {X '} left | x' ' right | _ {X' '} leq 1,}$

бұл қайшылық.

Теореманың дәлелі

Түзету ${ displaystyle x '' in B ''}$, ${ displaystyle varphi _ {1}, ldots, varphi _ {n} in X '}$ және ${ displaystyle epsilon> 0}$. Жинақты қарап шығыңыз

${ displaystyle U: = {y '' in X '': | (x '' - y '') ( varphi _ {i}) | < epsilon, 1 leq i leq n }. }$

Келіңіздер ${ displaystyle J: X rightarrow X ''}$ арқылы анықталған ендіру болуы керек ${ displaystyle J (x) = { text {Ev}} _ {x}}$, қайда ${ displaystyle { text {Ev}} _ {x} ( varphi) = varphi (x)}$ бойынша бағалау болып табылады ${ displaystyle x}$ карта. Пішін жиынтығы ${ displaystyle U}$ әлсіз * топологияның негізін құрайды,^[2] сондықтан біз көрсете алсақ, тығыздық пайда болады ${ displaystyle J (B) cap U neq varnothing}$ барлық осы үшін ${ displaystyle U}$. Жоғарыдағы лемма бәріне бірдей дейді ${ displaystyle delta> 0}$ бар an ${ displaystyle x in (1+ delta) B}$ осындай ${ displaystyle { text {Ev}} _ {x} in U}$. Бастап ${ displaystyle J (B) B жиын ''}$, Бізде бар ${ displaystyle { text {Ev}} _ {x} in (1+ delta) J (B) cap U}$. Біз алу үшін масштабтай аламыз ${(displaystyle { frac {1} {1+ delta}} { text {Ev}} _ {x} in J (B)}$. Мақсат - мұны жеткілікті кішігірімге көрсету ${ displaystyle delta> 0}$, Бізде бар ${ displaystyle { frac {1} {1+ delta}} { text {Ev}} _ {x} in J (B) cap U}$.

Тікелей тексеру, бізде бар

${ displaystyle left | left [x '' - { frac {1} {1+ delta}} { text {Ev}} _ {x} right] ( varphi _ {i}) right | = сол | varphi _ {i} (x) - { frac {1} {1+ delta}} varphi _ {i} (x) right | = { frac { delta} {1 + delta}} | varphi _ {i} (x) |}$.

Біз таңдай алатындығымызға назар аударыңыз ${ displaystyle M}$ жеткілікті үлкен ${ displaystyle | varphi _ {i} | _ {X '} leq M}$ үшін ${ displaystyle 1 leq i leq n}$.^[3] Бұған назар аударыңыз ${ displaystyle | x | _ {X} leq (1+ delta)}$. Егер біз таңдасақ ${ displaystyle delta}$ сондай-ақ ${ displaystyle delta M < epsilon}$, онда бізде сол бар

${ displaystyle { frac { delta} {1+ delta}} | varphi _ {i} (x) | leq { frac { delta} {1+ delta}} | varphi _ { i} | _ {X '} | x | _ {X} leq delta | varphi _ {i} | _ {X'} leq delta M < epsilon.}$

Демек, біз аламыз ${ displaystyle { frac {1} {1+ delta}} { text {Ev}} _ {x} in J (B) cap U}$ қалағандай.

Сондай-ақ қараңыз

• Банач - Алаоглу теоремасы
• Епископ-Фелпс теоремасы
• Эберлейн –Шмулия теоремасы
• Джеймс теоремасы
• Мазур леммасы

Әдебиеттер тізімі

• Рудин, Вальтер (1991). Функционалдық талдау. Таза және қолданбалы математиканың халықаралық сериясы. 8 (Екінші басылым). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill ғылым / инженерия / математика. ISBN  978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.