Жоғары көтерілу және төмен түсу - Going up and going down

Жылы ауыстырмалы алгебра, филиалы математика, көтерілу және төмен түсу белгілі бір қасиеттеріне сілтеме жасайтын терминдер болып табылады тізбектер туралы басты идеалдар жылы интегралды кеңейтулер.

Сөз тіркесі көтерілу тізбекті «жоғарыға» ұзартуға болатын жағдайға қатысты қосу «, ал төмен түсу тізбекті «төмен қосу» арқылы ұзартуға болатын жағдайға қатысты.

Негізгі нәтижелер: Коэн-Зейденберг теоремаларыдәлелденген Ирвин С.Коэн және Авраам Сейденберг. Бұлар шығу және төмендеу теоремалары.

Жоғары көтерілу және төмен түсу

Келіңіздер A ⊆ B болуы коммутативті сақиналардың кеңеюі.

Өсу және төмендеу теоремалары негізгі идеалдар тізбегі үшін жеткілікті жағдай жасайды B, олардың әрқайсысы ұзынырақ идеалдар тізбегінің мүшелерінде жатыр A, ішіндегі негізгі идеалдар тізбегінің ұзындығына дейін кеңейту мүмкіндігі A.

Жату және салыстыру мүмкін емес

Біріншіден, біз кейбір терминологияны жөндейміз. Егер және болып табылады басты идеалдар туралы A және Bсәйкесінше, солай

(ескертіп қой автоматты түрде идеал болып табылады A) содан кейін біз мұны айтамыз астында жатыр және сол жатыр . Жалпы, сақинаны кеңейту A ⊆ B ауыстыратын сақиналардың қанағаттандыратыны айтылады мүлікке жату егер әрбір идеал болса туралы A негізгі идеалдың астында жатыр туралыB.

Кеңейту A ⊆ B қанағаттандырады дейді салыстыруға болмайтын қасиет егер болса да және болып табылады B праймер үстінде жату жылы A, содан кейін  ⊈  және  ⊈ .

Бару

Сақинаның ұзартылуы A ⊆ B қанағаттандырады дейді жылжымайтын мүлік егер болса да

тізбегі болып табылады басты идеалдар туралы A және

(м < n) - бұл негізгі идеалдар тізбегі B әрбір 1 ≤ үшінмен ≤ м, жатыр , содан кейін соңғы тізбекті тізбекке дейін ұзартуға болады

әрбір 1 ≤ үшінмен ≤ n, жатыр .

Ішінде (Капланский 1970 ж ) егер бұл кеңейтім болса A ⊆ B жұмыс істеп тұрған қасиетті қанағаттандырады, содан кейін ол жатып қалған қасиетті де қанағаттандырады.

Төмен түсу

Сақинаның ұзартылуы A ⊆ B қанағаттандырады дейді құлдырайтын мүлік егер болса да

негізгі идеалдар тізбегі болып табылады A және

(м < n) - бұл негізгі идеалдар тізбегі B әрбір 1 ≤ үшінмен ≤ м, жатыр , онда соңғы тізбекті тізбекке дейін ұзартуға болады

әрбір 1 ≤ үшінмен ≤ n, жатыр .

Сақиналық морфизмдермен сақинаны кеңейту жағдайын жалпылау бар. Келіңіздер f : A → B болу (біртұтас) сақиналы гомоморфизм сондай-ақ B сақиналық жалғасы болып табылады f(A). Содан кейін f қанағаттандырады дейді жылжымайтын мүлік егер жылжымайтын мүлікке ие болса f(A)B.

Сол сияқты, егер B сақиналық жалғасы болып табылады f(A), содан кейін f қанағаттандырады дейді құлдырайтын мүлік егер төмендеу қасиеті болса f(A) B.

Сияқты қарапайым сақиналық ұзартулар жағдайында A ⊆ B, қосу картасы тиісті карта.

Өсу және төмендеу теоремалары

Көтерілу және төмендеу теоремаларының әдеттегі тұжырымдары сақиналық кеңейтуге қатысты A ⊆ B:

  1. (Жоғары көтерілу) Егер B болып табылады интегралды кеңейту туралы A, содан кейін кеңейту жалғасу қасиетін (демек, меншіктің үстінен өтірікті) және салыстыруға болмайтын қасиетті қанағаттандырады.
  2. (Төмен түсу) Егер B -ның ажырамас жалғасы болып табылады A, және B домен болып табылады және A өзінің фракциялар өрісінде тұтас тұйықталған, содан кейін кеңейту (тоқтаумен, жатып қалумен және салыстыруға келмейтіндігімен қатар) төмендеу қасиетін қанағаттандырады.

Қозғалмайтын мүлік үшін тағы бір жеткілікті шарт бар:

  • Егер AB Бұл жалпақ кеңейту коммутативті сақиналардың, содан кейін төмендеу қасиеті болады.[1]

Дәлел:[2] Келіңіздер б1 ⊆ б2 басты идеалдары болу A және рұқсат етіңіз q2 бас идеалы болуы B осындай q2 ∩ A = б2. Басты идеал бар екенін дәлелдегіміз келеді q1 туралы B құрамында q2 осындай q1 ∩ A = б1. Бастап A ⊆ B сақиналардың жалпақ жалғасы, бұдан шығатыны Aб2 ⊆ Bq2 сақиналардың жалпақ жалғасы болып табылады. Шынында, Aб2 ⊆ Bq2 қосу картасынан бастап сақиналардың сенімді жалпақ жалғасы Aб2 → Bq2 жергілікті гомоморфизм болып табылады. Сондықтан спектрлер бойынша индукцияланған карта Spec (Bq2) → Spec (Aб2) сурьективті болып табылады және оның идеалы бар Bq2 басты идеалмен келісім жасасады б1Aб2 туралы Aб2. Осы негізгі идеалдың жиырылуы Bq2 дейін B басты идеал q1 туралы B құрамында q2 келісім-шарт жасасады б1. Дәлел толық.Q.E.D.

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ Бұл 415 беттегі Брунс-Герцог, Лемма А.9-дағы әлдеқайда жалпы леммадан туындайды.
  2. ^ Мацумура, 33 бет, (5.D), 4-теорема
  • Атия, М. Ф., және Макдональд, Коммутативті алгебраға кіріспе, Perseus Books, 1969, ISBN  0-201-00361-9 МЫРЗА242802
  • Винфрид Брунс; Юрген Герцог, Коэн-Маколей сақиналары. Жетілдірілген математикадағы Cambridge Studies, 39. Cambridge University Press, Cambridge, 1993. xii + 403 бб. ISBN  0-521-41068-1
  • Коэн, И.С.; Сейденберг, А. (1946). «Басты идеалдар және ажырамас тәуелділік». Өгіз. Amer. Математика. Soc. 52 (4): 252–261. дои:10.1090 / s0002-9904-1946-08552-3. МЫРЗА  0015379.
  • Капланский, Ирвинг, Коммутативті сақиналар, Эллин мен Бекон, 1970 ж.
  • Мацумура, Хидеюки (1970). Коммутативті алгебра. Бенджамин. ISBN  978-0-8053-7025-6.
  • Sharp, R. Y. (2000). «13 ішкі тізбектерге интегралды тәуелділік (13.38 Өсу теоремасы, 258–259 б.; 13.41 Төмендеу теоремасы, 261–262 б.)». Коммутативті алгебрадағы қадамдар. Лондон математикалық қоғамының студенттерге арналған мәтіндері. 51 (Екінші басылым). Кембридж: Кембридж университетінің баспасы. xii + 355 бет. ISBN  0-521-64623-5. МЫРЗА  1817605.