Жалпыланған Whitehead өнімі - Generalised Whitehead product

The Whitehead өнімі енгізілген математикалық құрылыс болып табылады Уайтхед (1941). Бұл кеңістіктердің қасиеттерін анықтауда пайдалы құрал болды. Кеңістіктің математикалық ұғымына қисықтар, беттер және қатты фигуралар сияқты 3 өлшемді әлемде болатын барлық формалар кіреді. Бос орындар көбінесе формулалармен ұсынылатындықтан, олардың геометриялық қасиеттерін көзбен анықтау мүмкін емес. Осы қасиеттердің кейбіреулері қосылыс (бұл бір немесе бірнеше бөліктердегі бос орын), кеңістіктің қанша тесік саны, кеңістіктің түйінділігі және т.б. Содан кейін кеңістіктер оларға алгебралық конструкциялар беру арқылы зерттеледі. Бұл орта мектепте жасалатынға ұқсас аналитикалық геометрия осы арқылы жазықтықтағы белгілі бір қисықтарға (геометриялық объектілерге) теңдеулер (алгебралық конструкциялар) беріледі. Ең көп таралған алгебралық конструкциялар болып табылады топтар. Бұл жиынның кез-келген екі мүшесін біріктіріп, жиынтықтың үшінші мүшесін алуға мүмкіндік беретін жиындар (белгілі бір шектеулерге байланысты). Жылы гомотопия теориясы, біреу әрбір X кеңістігіне және pth деп аталатын оң бүтін санға топ тағайындайды гомотопия тобы X. топтары кең зерттелген және X кеңістігінің қасиеттері туралы ақпарат береді, содан кейін осы топтар арасында кеңістіктер туралы қосымша ақпарат беретін операциялар (Whitehead өнімі) бар. Бұл гомотопиялық топтарды зерттеуде өте маңызды болды.

Whitehead өнімінің бірнеше жалпылауы (Блейкерс, Масси және (1953) ) және басқа жерлерде, бірақ ең ауқымдысы гомотопия жиынтығымен, яғни карталардың бір кеңістіктен екінші кеңістікке гомотопия кластарымен айналысады. Жалпыланған Whitehead өнімі гомотопия жиынтығындағы α элементіне [ΣA, X] және гомотопия жиынтығындағы β элементіне [ΣB, X], гомотопия жиынтығындағы [α, β] элементіне [Σ (A ∧ B) , X], мұндағы A, B және X кеңістіктер, Σ - суспензия (топология), және ∧ бұл шайқалған өнім. Бұл енгізілді Коэн (1957) және Хилтон (1965) кейінірек егжей-тегжейлі зерттеді Арковиц (1962), (қараңыз Бауес (1989), б. 157) Бұл Whitehead өнімін жалпылау болып табылады және гомотопия жиынтығын зерттеудің пайдалы әдісін ұсынады.

Тиісті MSC коды: 55Q15, Whitehead өнімі және жалпылау.

Анықтама

Келіңіздер және және элементтерді қарастыру және , қайда және проекциялық карталардың гомотопиялық кластары болып табылады. Коммутатор

топта шектелген кезде тривиальды болып табылады , қайда білдіреді сына сомасы. The жалпылама Whitehead өнімі содан кейін бірегей элемент ретінде анықталады

осындай , қайда квоталық карта болып табылады.

Қасиеттері

Табиғи: f[α, β] = [f(α), f(β)], егер f: X → Y карта болса.

Барлығы [α, β] = 0, егер Х ан болса H кеңістігі.

E [α, β] = 0, мұндағы E: [Σ (A ∧ B), X] → [Σ2 (A ∧ B), ΣX] - бұл суспензия гомоморфизмі.

Екі аддитивтілік, егер А және В суспензия болса.

Коммутативтілікке қарсы формасы.

Жоғарыдағыдай α және β және γ ∈ [ΣC, X] үшін сәйкес Жакоби сәйкестігі, егер A, B және C суспензия болса.

Қараңыз Арковиц (1962) осы нәтижелер мен дәлелдердің толық мәлімдемесі үшін.

Қолданбалар

×A × ΣB өнімінде -ның гомотопиялық түрі бар конусты бейнелеу туралы [ιΣА, ιΣB] ∈ [Σ (A ∧ B), ΣA ∨ ΣB] (Арковиц (1962) ).

Гомотопиялық топтарға арналған ақ нүкте өнімдері коэффициенттері A және B-ді Мур кеңістігі арқылы қабылдайды (Хилтон (1965), 110–114 б.)

Милнор-Хилтон теоремасына сәйкес, шексіз көп кеңістіктің сына және кеңістіктің әртүрлі бөлшектерінің суспензияларының шексіз көбейтіндісі арасында әлсіз гомотопиялық эквиваленттілік бар. Карта жалпыланған Whitehead өнімдерімен анықталады (Baues, Quintero & (2001) ).

Ұқсас нәтижелер

Егер Y топқа ұқсас H кеңістігі болса, онда [A, Y] × [B, Y] → [A ∧ B, Y] көбейтіндісі жалпыланған Уайтхед өнімімен ұқсастықта анықталады. Бұл σ ∈ [A, Y] және τ ∈ [B, Y] үшін <σ, τ> деп белгіленген жалпыланған Самельсон өнімі (Арковитц 1963 ж ). Егер λU, V : [U, ΩV] → [ΣU, V] - бұл ілеспе изоморфизм, мұндағы Ω - цикл кеңістігі функциясы, содан кейін λA∧B, X<σ, τ> = [λA, X (σ), λB, X (τ)] үшін Y = ΩX.

Ан Экман - Хилтон қосарланған жалпылама Whitehead өнімін келесідей анықтауға болады. A ♭ B қосудың гомотоптық талшығы болсын: A ∨ B → A × B, яғни A B B-ден басталып, базалық нүктеде аяқталатын A × B жолдарының кеңістігі және γ ∈ [X , ΩA] және δ ∈ [X, ΩB]. Үшін (.ιA) және (ιB) [X, Ω (A ∨ B)] ішіндегі δ, d (γ, δ) ∈ [X, Ω (A ∨ B)] олардың коммутаторы болсын. (Ωj) d (γ, δ) тривиальды болғандықтан, (Ωp) {γ, δ} = d (γ, δ) болатын ерекше элемент {γ, δ} ∈ [X, Ω (A ♭ B)] бар. ), мұндағы p: A ♭ B → A ∨ B жолды бастапқы нүктесіне шығарады. Мұны қолдану үшін K (π, n) анды белгілейік Эйленберг – МакЛейн кеңістігі және [X, K (π, n)] H когомологиялық тобымен сәйкестендіріңізn(X; π). Егер A = K (G, p) және B = K (G ′, q) болса, онда a картасы бар: A ♭ B → K (G ⊗ G ', p + q + 1) (Ωθ) { γ, δ} = γ ∪ δ, H ішіндегі кесе өніміp + q(X; G ⊗ G ′). Толығырақ ақпаратты ((Арковиц 1962 ж ), 19-22 б.) және (Арковитц 1964 ж ).

Әдебиеттер тізімі

  • Arkowitz, M. (1962), «жалпыланған Whitehead өнімі», Тынық мұхиты Дж., 12: 7–23, дои:10.2140 / pjm.1962.12.7.