Гаусс леммасы (сандар теориясы) - Gausss lemma (number theory) - Wikipedia

Гаусс леммасы жылы сандар теориясы бүтін санның а болу шартын береді квадраттық қалдық. Есептеу жағынан пайдалы болмаса да, оның кейбіреулеріне қатыса отырып, теориялық маңызы бар квадраттық өзара қарым-қатынастың дәлелдері.

Ол өзінің алғашқы көрінісін жасады Карл Фридрих Гаусс үшінші дәлел (1808)[1]:458–462 туралы квадраттық өзара қатынас және ол мұны өзінің бесінші дәлелінде тағы да дәлелдеді (1818).[1]:496–501

Лемма туралы мәлімдеме

Кез келген тақ премьер үшін б рұқсат етіңіз а бүтін сан болуы керек коприм дейін б.

Бүтін сандарды қарастырайық

және олардың модуль бойынша ең аз оң қалдықтары б. (Бұл қалдықтардың барлығы бөлек, сондықтан (б − 1)/2 олардың.)

Келіңіздер n осыдан көп болатын қалдықтардың саны болуы керек б/2. Содан кейін

қайда болып табылады Legendre символы.

Мысал

Қабылдау б = 11 және а = 7, сәйкес сандар тізбегі

7, 14, 21, 28, 35.

11 модулін азайтқаннан кейін бұл реттілік болады

7, 3, 10, 6, 2.

Осы үш бүтін сан 11/2-ден үлкен (яғни 6, 7 және 10), сондықтан n = 3. Сәйкесінше Гаусс леммасы бұны болжайды

Бұл шынымен де дұрыс, өйткені 7 модуль бойынша квадраттық қалдық емес.

Жоғарыда аталған қалдықтар тізбегі

7, 3, 10, 6, 2

жазылуы да мүмкін

−4, 3, −1, −5, 2.

Бұл формада 11/2-ден үлкен бүтін сандар теріс сандар түрінде шығады. Сондай-ақ қалдықтардың абсолюттік мәндері қалдықтардың орнын ауыстыратыны анық

1, 2, 3, 4, 5.

Дәлел

Қарапайым дәлел,[1]:458–462 ең қарапайымдарының бірін еске түсіреді Ферманың кішкентай теоремасының дәлелі, өнімді бағалау арқылы алуға болады

модуль б екі түрлі жолмен. Бір жағынан бұл тең

Екінші бағалау көп жұмыс жасауды қажет етеді. Егер х нөлдік емес қалдық модулі б, -ның «абсолютті мәнін» анықтайық х болу

Бастап n сол еселіктерді санайды ка олар соңғы диапазонда, және сол еселіктер үшін ка бірінші диапазонда, бізде бар

Енді мәндерге назар аударыңыз |ра| болып табылады айқын үшін р = 1, 2, …, (б − 1)/2. Шынында да, бізде бар

өйткені а коприм болып табылады б.

Бұл береді р = с, бері р және с ең аз қалдықтар болып табылады. Бірақ дәл бар (б − 1)/2 олардың мәні, сондықтан олардың мәндері бүтін сандарды қайта құру болып табылады 1, 2, …, (б − 1)/2. Сондықтан,

Алғашқы бағалаумен салыстырғанда нөлдік факторды жоққа шығаруға болады

және біз қалды

Бұл қалаған нәтиже, өйткені Эйлер критерийі сол жақ - бұл Ландендр символының балама өрнегі .

Қолданбалар

Гаусс леммасы көптеген адамдарда қолданылады,[2]:Ч. 1[2]:9 бірақ квадраттық өзара қарым-қатынастың белгілі дәлелдемелері де емес.

Мысалға, Готхольд Эйзенштейн[2]:236 егер екенін дәлелдеу үшін Гаусс леммасын қолданды б онда тақ қарапайым

және осы формуланы квадраттық өзара байланысты дәлелдеу үшін қолданды. Пайдалану арқылы эллиптикалық гөрі дөңгелек функциялар, ол дәлелдеді текше және кварталық өзара байланыс заңдар.[2]:Ч. 8

Леопольд Кронеккер[2]:Мыс. 1.34 мұны көрсету үшін лемманы қолданды

Ауыстыру б және q дереу квадраттық өзара қатынасты береді.

Ол сонымен қатар «екінші қосымша заңның» қарапайым дәлелдемелерінде қолданылады.

Жоғары күштер

Гаусс леммасын жалпылауды қуаттылықтың жоғары белгілерін есептеу үшін қолдануға болады. Биквадраттық өзара қатынас туралы екінші монографиясында,[3]:§§69–71 Гаусс төртінші дәрежелі лемманы пайдаланды 1 + мен жылы З[мен], сақинасы Гаусс бүтін сандары. Кейіннен Эйзенштейн дәлелдеу үшін үшінші және төртінші қуат нұсқаларын қолданды текше және кварталық өзара байланыс.[2]:Ч. 8

nқуат қалдықтарының белгісі

Келіңіздер к болуы алгебралық сан өрісі бірге бүтін сандар сақинасы және рұқсат етіңіз болуы а негізгі идеал. The идеалды норма туралы қалдық сақинасының кардиналдығы ретінде анықталады. Бастап бұл қарапайым ақырлы өріс , демек, мінсіз норма .

Примитивті деп есептейік nмың бірліктің тамыры және сол n және болып табылады коприм (яғни ). Содан кейін екі бөлек болмайды nБірліктің тамырлары үйлесімді модуль болуы мүмкін .

Мұны ойға ала отырып, қарама-қайшылықпен дәлелдеуге болады мод , 0 < р < сn. Келіңіздер т = ср осындай мод , және 0 < т < n. Бірліктің тамыры анықтамасынан,

және бөлу х − 1 береді

Рұқсат ету х = 1 қалдықтарды қабылдау ,

Бастап n және копримдік, мод бірақ болжам бойынша оң жақтағы факторлардың бірі нөлге тең болуы керек. Демек, екі түрлі тамырлар сәйкес келеді деген болжам жалған.

Осылайша қалдықтардың кластары өкілеттіктерін қамтитын ζn бұйрықтың кіші тобы болып табылады n оның (мультипликативті) бірліктер тобына, Сондықтан, тәртібі -ның еселігі n, және

Ферма теоремасының аналогы бар . Егер үшін , содан кейін[2]:Ч. 4.1

және содан бері мод n,

жақсы анықталған және бірегейге сәйкес келеді nбірліктің root тамырыnс.

Бірліктің бұл түбірі деп аталады nқуаттың қалдық белгісі және деп белгіленеді

Мұны дәлелдеуге болады[2]:Проп.4.1

егер бар болса ғана осындай αηn мод .

1/n жүйелер

Келіңіздер көбейтінді тобы болуы керек nбірліктің тамырлары, және болсын ғарышкерлерінің өкілдері болыңыз Содан кейін A а деп аталады 1/n жүйе мод [2]:Ч. 4.2

Басқаша айтқанда, бар жиынтықтағы сандар және бұл жиын үшін өкілдік жиынтығын құрайды

Сандар 1, 2, … (б − 1)/2, лемманың бастапқы нұсқасында қолданылған, 1/2 жүйе (мод б).

А салу 1/n жүйе қарапайым: рұқсат етіңіз М белгіленген өкіл болу Кез келгенін таңдаңыз және сәйкес сандарды алып тастаңыз бастап М. Таңдау а2 бастап М және сәйкес сандарды алып тастаңыз Дейін қайталаңыз М таусылған Содан кейін {а1, а2, … ам} Бұл 1/n жүйелік режим

Үшін лемма nкүштер

Гаусс леммасы келесіге дейін таралуы мүмкін nқуат қалдықтарының белгісі келесідей.[2]:4.3 Келіңіздер қарабайыр болу nбірліктің тамыры, басты идеал, (яғни екеуіне тең γ және n) және рұқсат етіңіз A = {а1, а2, …, ам} болуы а 1/n жүйелік режим

Содан кейін әрқайсысы үшін мен, 1 ≤ менм, бүтін сандар бар π(мен), бірегей (мод м), және б(мен), бірегей (мод n), солай

және nth-қуаттың қалдық символы формуламен берілген

Легендрдің квадраттық символына арналған классикалық лемма ерекше жағдай болып табылады n = 2, ζ2 = −1, A = {1, 2, …, (б − 1)/2}, б(к) = 1 егер ақ > б/2, б(к) = 0 егер ақ < б/2.

Дәлел

Дәлелі nth-power lemma квадраттық лемманы дәлелдеу кезінде қолданылған идеяларды қолданады.

Бүтін сандардың болуы π(мен) және б(мен)және олардың бірегейлігі (мод м) және (мод n) сәйкесінше, бұл фактіні туғызады өкілдік жиынтық.

Мұны ойлаңыз π(мен) = π(j) = б, яғни

және

Содан кейін

Себебі γ және екі жағын да бөлуге болады γ, беру

ол, бері A Бұл 1/n жүйені білдіреді с = р және мен = j, деп көрсетіп π жиынтықтың орнын ауыстыру болып табылады {1, 2, …, м}.

Содан кейін, бір жағынан, қуат қалдықтарының белгісінің анықтамасы бойынша,

екінші жағынан, бері қарай π бұл ауыстыру,

сондықтан

және бәрі үшін 1 ≤ менм, амен және копримдік, а1а2ам келісімнің екі жағынан да жойылуы мүмкін,

және теорема екі нақты емес екендігінде туындайды nбірліктің тамырлары үйлесімді болуы мүмкін (мод ).

Топтық теориядағы трансфертпен байланыс

Келіңіздер G нөлдік емес қалдық кластарының мультипликативті тобы болыңыз З/бЗжәне рұқсат етіңіз H {+1, −1} кіші тобы болыңыз. Келесі косет өкілдерін қарастырайық H жылы G,

Механизмдерін қолдану аудару косет өкілдерінің осы жинағына біз гомоморфизм трансферін аламыз

жіберетін карта болып шығады а дейін (−1)n, қайда а және n лемманың мәлімдемесіндей. Содан кейін Гаусс леммасы осы гомоморфизмді квадраттық қалдық таңбасы ретінде анықтайтын есептеу ретінде қарастырылуы мүмкін.

Сондай-ақ қараңыз

Бастапқы модуль бойынша квадраттардың тағы екі сипаттамасы Эйлер критерийі және Золотарев леммасы.

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ а б в Гаусс, Карл Фридрих (1965), Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithmeticae және сандар теориясына арналған басқа мақалалар) (неміс тілінде), аударған Х.Масер (2-ші басылым), Нью-Йорк: Челси, ISBN  0-8284-0191-8
  2. ^ а б в г. e f ж сағ мен j Леммермейер, Франц (2000), Өзара заңдар: Эйлерден Эйзенштейнге дейін, Берлин: Спрингер, ISBN  3-540-66957-4
  3. ^ Гаусс, Карл Фридрих (1832), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio secunda, 7, Геттинген: Түсініктеме. Soc. regiae sci