Схемамен ұсынылған функция - Functor represented by a scheme - Wikipedia

Алгебралық геометрияда а схема арқылы ұсынылған функция X жиынтық болып табылады қарама-қайшы функция санаты бойынша схемалар әрбір схемадағы функцияның мәні болатындай S барлығының жиынтығы (табиғи биекцияларға дейін) морфизмдер . Схема X содан кейін айтылады ұсыну функция және сол жіктеу геометриялық нысандар S берілген F.[1]

Ең жақсы белгілі мысал Гильберт схемасы схеманың X (кейбір бекітілген базалық схема бойынша), ол болған кезде схеманы жіберетін функционалды білдіреді S жабық подкладкалардың тегіс отбасына .[2]

Кейбір қосымшаларда берілген функцияны білдіретін схеманы табу мүмкін болмауы мүмкін. Бұл а деген ұғымға әкелді стек, қайсысы функция емес бірақ оны геометриялық кеңістік сияқты қарастыруға болады. (Гильберт схемасы - бұл схема емес, өйткені жабық схемалар үшін деформация теориясы қарапайым).

Кейбір модульдік есептер беру арқылы шешіледі ресми шешімдер (полиномдық алгебралық шешімдерден айырмашылығы) және бұл жағдайда алынған функцияны а түрінде бейнелейді ресми схема. Мұндай формальды схема содан кейін айтылады алгебраланатын егер кейбір изоморфизмдерге дейін бірдей функцияны көрсете алатын басқа схема болса.

Мотивация

Бұл ұғым а кеңістікті жіктеу жылы алгебралық топология. Алгебралық топологияда негізгі факт мынада: әрбір директор G- бос орынға орау S әмбебап байламның кері тартылуы (табиғи изоморфизмге дейін) кейбір карта бойымен S дейін . Басқаша айтқанда, директорға беру G- бос орынға орау S кеңістіктен картаны (жіктеу картасы деп атайды) бергенмен бірдей S жіктеу кеңістігіне туралы G.

Алгебралық геометриядағы ұқсас құбылысты а береді сызықтық жүйе: проективті әртүрліктен проективті кеңістікке морфизм беру (базалық локусқа дейін) проективті әртүрлілікке сызықтық жүйені беру болып табылады.

Йонеданың леммасы бұл схема дейді X анықтайды және оның нүктелерімен анықталады.[3]

Ұпай функциясы

Келіңіздер X болуы а схема. Оның нүктелер функциясы функциясы болып табылады

Үй (-,X): (Аффиндік схемалар)оп Ets жиынтықтар

аффиндік схеманы жіберу A схемалық карталар жиынтығына A → X.[4]

Схема изоморфизмге дейін оның функционалдық нүктелерімен анықталады. Бұл. Нұсқасының мықты нұсқасы Yoneda lemma, бұл а X Хом картасы бойынша анықталады (-,X): Схемалароп → жиынтықтар.

Керісінше, функция F: (Аффин схемалары)оп → Sets - бұл кейбір схемалардың нүктелерінің функциясы, егер олар болса F қатысты шоқ болып табылады Зариски топологиясы on (аффин схемалары) және F аффиндік схемалар бойынша ашық мұқабаны мойындайды.[5]

Мысалдар

Таңбалар ретінде сілтемелер

Келіңіздер X негізгі сақинаның үстіндегі схема болыңыз B. Егер х -ның теориялық нүктесі болып табылады X, содан кейін қалдық өрісі туралы х қалдық өрісі болып табылады жергілікті сақина (яғни максималды идеалға сәйкес келетін бөлік). Мысалы, егер X бұл аффиндік схема Spec (A) және х басты идеал , содан кейін қалдық өрісі х болып табылады функция өрісі жабық қосымшаның .

Қарапайымдылық үшін делік . Содан кейін теоретикалық нүктені қосу х ішіне X сақиналы гомоморфизмге сәйкес келеді:

(қайсысы егер .)

Бөлімдер ретінде ұпайлар

Әмбебап қасиеті бойынша талшық өнімі, әрқайсысы R-схеманың нүктесі X морфизмін анықтайды R-схемалар

;

яғни проекция бөлімі . Егер S ішкі бөлігі болып табылады X(R), содан кейін біреу жазады элементтерімен анықталған бөлімдер кескіндерінің жиынтығы үшін S.[6]

Қос сандардың сақинасы

Келіңіздер , сипаттамалары қос сандардың сақинасы өріс үстінде к және X схема аяқталды к. Содан кейін әрқайсысы жанама векторға тең X картаның жабық нүктесінің кескіні болып табылатын нүктеде.[1] Басқа сөздермен айтқанда, - жанама векторларының жиынтығы X.

Әмбебап нысан

Келіңіздер F схемамен ұсынылған функция болуы X. Изоморфизмнің астында , бірегей элементі бар жеке куәлікке сәйкес келеді . Ол әмбебап объект немесе әмбебап отбасы деп аталады (жіктелетін объектілер отбасы болған кезде).[1]

Сондай-ақ қараңыз

Ескертулер

  1. ^ а б в Шафаревич, Ч. VI § 4.1.
  2. ^ Шафаревич, Ч. VI § 4.4.
  3. ^ Шынында, X оның көмегімен анықталады R-әр түрлі сақиналары бар нүктелер R: нақты схемаларда, берілген схемаларда X, Y, функционалдан кез-келген табиғи түрлену функцияға схемалардың морфизмін анықтайды XY табиғи жолмен.
  4. ^ Стектер жобасы, 01J5
  5. ^ Нүктелердің функциясы, Йонеданың лемммасы, модуль кеңістігі және әмбебап қасиеттері (Брайан Оссерман), Кор. 3.6
  6. ^ Бұл стандартты белгі сияқты көрінеді; мысалы қараңыз http://www.math.harvard.edu/~lurie/282ynotes/LectureIX-NPD.pdf

Әдебиеттер тізімі

  • Дэвид Мумфорд (1999). Сорттар мен сызбалардың қызыл кітабы: Мичигандағы қисықтар және олардың якобиялықтары туралы дәрістерді (1974) қамтиды. (2-ші басылым). Шпрингер-Верлаг. дои:10.1007 / b62130. ISBN  3-540-63293-X.
  • http://www.math.harvard.edu/~lurie/282ynotes/LectureXIV-Borel.pdf
  • Шафаревич, Игорь (1994). Негізгі алгебралық геометрия, екінші, қайта қаралған және кеңейтілген басылым, т. 2018-04-21 121 2. Шпрингер-Верлаг.

Сыртқы сілтемелер