Фюрман үшбұрышы - Fuhrmann triangle

Фюрман үшбұрышы (қызыл): ${ displaystyle үшбұрыш M_ {c} ^ { prime} M_ {b} ^ { prime} M_ {a} ^ { prime}}$
ортаңғы доға нүктелері: ${ displaystyle M_ {a}, M_ {b}, M_ {c}}$

Фюрман үшбұрышы (қызыл): ${ displaystyle үшбұрыш M_ {c} ^ { prime} M_ {b} ^ { prime} M_ {a} ^ { prime}}$
${ displaystyle үшбұрыш M_ {c} ^ { prime} M_ {b} ^ { prime} M_ {a} ^ { prime} sim үшбұрыш M_ {a} M_ {b} M_ {c}}$

The Фюрман үшбұрышы, атындағы Вильгельм Фюрман (1833–1904), берілген ерікті үшбұрышқа негізделген арнайы үшбұрыш.

Берілген үшбұрыш үшін ${ displaystyle ABC үшбұрышы}$ және оның шеңбер доғалардың үшбұрыш қабырғаларының ортаңғы нүктелері арқылы белгіленеді ${ displaystyle M_ {a}, M_ {b}, M_ {c}}$. Бұл ортаңғы нүктелер нүктелер беретін үшбұрыштың қабырғаларына шағылысады ${ displaystyle M_ {a} ^ { prime}, M_ {b} ^ { prime}, M_ {c} ^ { prime}}$, қалыптастыратын Фюрман үшбұрышы.^[1][2]

Фюрман үшбұрышының шеңбері болып табылады Фюрман шеңбері. Сонымен қатар, Фурман үшбұрышы ортаңғы доға нүктелерінен құрылған үшбұрышқа ұқсас, яғни ${ displaystyle үшбұрыш M_ {c} ^ { prime} M_ {b} ^ { prime} M_ {a} ^ { prime} sim үшбұрыш M_ {a} M_ {b} M_ {c}}$.^[1] Фюрман үшбұрышының ауданы үшін келесі формула орындалады:^[3]

${ displaystyle | үшбұрышы M_ {c} ^ { prime} M_ {b} ^ { prime} M_ {a} ^ { prime} | = { frac {(a + b + c) | OI | ^ {2}} {4R}} = { frac {(a + b + c) (R-2r)} {4}}}$

Қайда ${ displaystyle O}$ берілген үшбұрыштың айналма дөңгелегін белгілейді ${ displaystyle ABC үшбұрышы}$ және ${ displaystyle R}$ оның радиусы, сондай-ақ ${ displaystyle I}$ ынталандыруды білдіретін және ${ displaystyle r}$ оның радиусы. Байланысты Эйлер теоремасы біреуі де бар ${ displaystyle | OI | ^ {2} = R (R-2r)}$. Фюрман үшбұрышының қабырғалары үшін келесі теңдеулер орындалады:^[3]

${ displaystyle a ^ { prime} = { sqrt { frac {(-a + b + c) (a + b + c)} {bc}}} | OI |}$

${ displaystyle b ^ { prime} = { sqrt { frac {(a-b + c) (a + b + c)} {ac}}} | OI |}$

${ displaystyle c ^ { prime} = { sqrt { frac {(a + b-c) (a + b + c)} {ab}}} | OI |}$

Қайда ${ displaystyle a, b, c}$ берілген үшбұрыштың қабырғаларын белгілеңіз ${ displaystyle ABC үшбұрышы}$ және ${ displaystyle a ^ { prime}, b ^ { prime}, c ^ { prime}}$ Фюрман үшбұрышының қабырғалары (суретті қараңыз).

Әдебиеттер тізімі