Фуглед теоремасы - Fugledes theorem - Wikipedia

Жылы математика, Фугледе теоремасы нәтижесі болып табылады оператор теориясы, атындағы Бент Фугледе.

Нәтиже

Теорема (Фугледе) Келіңіздер Т және N бар күрделі Гильберт кеңістігінде байланысқан операторлар N болу қалыпты. Егер TN = NT, содан кейін TN * = N * T, қайда N * дегенді білдіреді бірлескен туралы N.

Қалыпты N қабылдау қажет болғандықтан қажет Т=N. Қашан Т өзін-өзі біріктіреді, талапқа қарамастан маңызды емес N қалыпты:

Шамамен дәлелдеу: Егер Гильберттің кеңістігі ақырлы өлшемді болса, онда спектрлік теорема дейді N формада болады

қайда Pмен ортогональды проекциялар. Біреуі мұны күтеді TN = NT егер және егер болса TPмен = PменТ.Шынында да, оның дәлелділігін қарапайым дәлелдермен дәлелдеуге болады (мысалы, бәрін де көрсетуге болады) Pмен көпмүшелері ретінде ұсынылады N және осы себепті, егер Т барады N, оны ауыстыру керек Pмен...). Сондықтан Т бірге жүру керек

Жалпы, Гильберт кеңістігі ақырлы өлшемді болмаған кезде, қалыпты оператор N а тудырады проекциялайтын өлшем P оның спектрі бойынша, σ(N), ол проекцияны тағайындайды PΩ әрбір Borel ішкі жиынына σ(N). N ретінде көрсетілуі мүмкін

Ақырлы өлшемді жағдайдан өзгеше, бұл мүлдем айқын емес TN = NT білдіреді TPΩ = PΩТ. Осылайша, бұл соншалықты айқын емес Т сонымен қатар форманың кез-келген қарапайым функциясымен жүреді

Шынында да, спектралды ыдыраудың құрылуы бойынша шектелген, қалыпты, өздігінен байланыспайтын операторға арналған Т, мұны тексеру үшін біреу көреді Тбарады , ең тура жол - бұл болжау Т екеуімен де жүреді N және N *, тұйық шеңбер туғызады!

Фугледе теоремасының өзектілігі осында: соңғы гипотеза қажет емес.

Путнамды жалпылау

Төменде ерекше жағдай ретінде Фугледтің нәтижесі келтірілген. Төменде суреттелген Розенблумның дәлелі - Фугледе өзінің теоремасы үшін болжау кезінде ұсынған дәлелі N = M.

Теорема (Калвин Ричард Путнам) Келіңіздер Т, М, N болуы сызықтық операторлар кешенде Гильберт кеңістігі, және солай делік М және N болып табылады қалыпты, M шектелген және MT = TN. Содан кейін М*Т = TN*.

Бірінші дәлел (Марвин Розенблум): Индукция бойынша гипотеза мұны білдіреді МкТ = TNк барлығы үшін k. Осылайша кез келген λ дюйм үшін ,

Функцияны қарастырыңыз

Бұл тең

,

қайда өйткені қалыпты және сол сияқты . Алайда бізде бар

сондықтан U - унитарлы, демек, барлығына 1 нормасы бар; дәл сол үшін қолданылады V(λ), сондықтан

Сонымен F - бұл шектелген аналитикалық векторлық функция, сондықтан тұрақты және тең болады F(0) = Т. Шағын кеңейту үшін бірінші ретті шарттарды ескере отырып, бізде болуы керек M * T = TN *.

Фуглденің түпнұсқасы 1950 жылы пайда болды; ол жоғарыда 1951 жылы Путнам берген формаға дейін кеңейтілген. Жоғарыда келтірілген қысқа дәлелді Розенблум 1958 жылы алғаш рет жариялады; ол өте талғампаз, бірақ шектеусіз операторлардың жағдайын қарастырған түпнұсқа дәлелден гөрі жалпы емес. Путнам теоремасының тағы бір қарапайым дәлелі:

Екінші дәлел: Матрицаларды қарастырайық

Оператор N ' қалыпты және болжам бойынша, T 'N' = N 'T' . Фугледе теоремасы бойынша бар

Содан кейін жазбаларды салыстыру қажетті нәтиже береді.

Путнамның жалпылауынан мынаны шығаруға болады:

Қорытынды Егер екі қалыпты оператор болса М және N ұқсас, содан кейін олар бірлікті эквивалентті болады.

Дәлел: Айталық MS = SN қайда S дегеніміз - шегі бар инвертирленген оператор. Путнамның нәтижесі ХАНЫМ = SN *, яғни

Жоғарыдағы теңдеудің қосымшасын алып, бізде бар

Сонымен


Келіңіздер S * = VR, бірге V унитарлы (бастап S аударылатын) және R оң квадрат түбірі SS *. Қалай R - көпмүшелердің шегі SS *, жоғарыдағылар мұны білдіреді R барады М. Ол сондай-ақ аударылады. Содан кейін

Қорытынды Егер М және N қалыпты операторлар, және MN = NM, содан кейін MN бұл да қалыпты жағдай.

Дәлел: Дәлел тек Фугледе теоремасын ғана айтады. Тікелей есептеуге болады

Фугледе жоғарыда айтылғандар болады

Бірақ М және N қалыпты, сондықтан

C *-алгебралар

Теореманы элементтер туралы мәлімдеме ретінде қайта келтіруге болады C * -алгебралар.

Теорема (Фугледе-Путнам-Розенблум) Келіңіздер х, у а-ның екі қалыпты элементі болуы керек C *-алгебра A жәнез осындай xz = zy. Сонда осыдан шығады x * z = z y *.

Әдебиеттер тізімі

  • Фугле, Бент. Қалыпты операторларға арналған коммутативтілік теоремасы - PNAS
  • Берберян, Стерлинг К. (1974), Функционалды анализ және операторлар теориясындағы дәрістер, Математика бойынша магистратура мәтіндері, 15, Нью-Йорк-Гейдельберг-Берлин: Спрингер-Верлаг, б. 274, ISBN  0-387-90080-2, МЫРЗА  0417727.
  • Рудин, Вальтер (1973). Функционалдық талдау. Таза және қолданбалы математиканың халықаралық сериясы. 25 (Бірінші басылым). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill ғылым / инженерия / математика. ISBN  9780070542259.