Фруллани интеграл - Frullani integral
Жылы математика, Фруллани интегралдары болып табылады дұрыс емес интеграл итальяндық математиктің атымен аталған Джулиано Фруллани. Интегралдар формада болады
![{ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {f (ax) -f (bx)} {x}} , { rm {d}} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1990c93a26b6a1c3f068af6623d6af1f6e15da5)
қайда
Бұл функциясы барлық теріс емес үшін анықталған нақты сандар ол бар шектеу кезінде
, біз оны белгілейміз
.
Олардың жалпы шешімінің келесі формуласы белгілі бір жағдайларда орындалады:[түсіндіру қажет ]
![{ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {f (ax) -f (bx)} {x}} , { rm {d}} x = { Big (} f ( infty) -f (0) { Big)} ln { frac {a} {b}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7c6350bdb6036ee225fc0868117ae5cc4ef5e08)
Дәлел
Кеңейту арқылы формуланың қарапайым дәлелі болады интегралдау интегралға, содан кейін пайдалану Фубини теоремасы екі интегралды ауыстыру үшін:
![{ displaystyle { begin {aligned} int _ {0} ^ { infty} { frac {f (ax) -f (bx)} {x}} , dx & = int _ {0} ^ { infty} сол жақта [{ frac {f (xt)} {x}} оң] _ {t = b} ^ {t = a} , dx & = int _ {0} ^ { infty} int _ {b} ^ {a} f '(xt) , dt , dx & = int _ {b} ^ {a} int _ {0} ^ { infty} f' (xt) , dx , dt & = int _ {b} ^ {a} left [{ frac {f (xt)} {t}} right] _ {x = 0} ^ { x to infty} , dt & = int _ {b} ^ {a} { frac {f ( infty) -f (0)} {t}} , dt & = { Big (} f ( infty) -f (0) { Big)} { Big (} ln (a) - ln (b) { Big)} & = { Big (} f) ( infty) -f (0) { Big)} ln { Big (} { frac {a} {b}} { Big)} end {aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9015c19c7de14a8071b3a75c6343af4c4fc31bf)
Жоғарыдағы екінші жолдағы интегралдың қабылданғанын ескеріңіз аралық
, емес
.
Қолданбалар
Формуланы үшін интегралдық көріністі алу үшін пайдалануға болады табиғи логарифм
жіберу арқылы
және
:
![{ displaystyle { int _ {0} ^ { infty} { frac {e ^ {- x} -e ^ {- bx}} {x}} , { rm {d}} x = { Үлкен (} lim _ {n to infty} { frac {1} {e ^ {n}}} - e ^ {0} { Big)} ln { Big (} { frac {1) } {b}}} { Үлкен)} = ln (b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ce9930254c9571dc3e65dac3fe625115c8aace8)
Сондай-ақ формуланы бірнеше түрлі тәсілдермен қорытуға болады.[1]
Пайдаланылған әдебиеттер