Фримингтер симметриясының аксиомасы - Freilings axiom of symmetry - Wikipedia

Фрайлингтің симметрия аксиомасы (${ displaystyle { texttt {AX}}}$) Бұл теориялық ұсынған аксиома Крис Фрайлинг. Ол Стюарт Дэвидсонның интуициясына негізделген, бірақ оның артында математика жатыр Wacław Sierpiński.

Келіңіздер ${ displaystyle A subseteq wp ([0,1]) ^ {[0,1]}}$ бастап барлық функциялар жиынын белгілеңіз ${ displaystyle [0,1]}$ есептелетін ішкі жиындарға дейін ${ displaystyle [0,1]}$. Аксиома ${ displaystyle { texttt {AX}}}$ айтады:

Әрқайсысы үшін ${ displaystyle f in A}$, бар ${ displaystyle x, y in [0,1]}$ осындай ${ displaystyle x not in f (y)}$ және ${ displaystyle y not in f (x)}$.

Sierpikiski теоремасы ZFC жиынтық теориясы бойынша ${ displaystyle { texttt {AX}}}$ дегенді теріске шығаруға тең үздіксіз гипотеза (CH). Деген сұраққа Серьянский теоремасы жауап берді Уго Штайнгауз және CH тәуелсіздік орнатқаннан әлдеқайда бұрын дәлелдендіКурт Годель және Пол Коэн.

Фрайлингтік ықтимал интуиция бұл ұсынысты қатты қолдайды, ал басқалары келіспейді. Аксиоманың бірнеше нұсқалары бар, олардың кейбіреулері төменде талқыланады.

Фрайлингтің дәлелі

Функцияны түзету f жылы A. Біз екі аралықты бірлік аралыққа лақтыруды көздейтін экспериментті қарастырамыз. Біз физикалық тұрғыдан сандардың нақты мәндерін анықтай алмаймыз х және ж соғылған. Сол сияқты, «немесеж ішінде f(х) «физикалық түрде есептеу мүмкін емес. Дегенмен, егер f шынымен болып табылады функциясы, онда бұл сұрақ мағыналы және нақты «иә» немесе «жоқ» жауабы болады.

Енді бірінші дарттан кейін күтіңіз, х, лақтырылады, содан кейін екінші дарттың болу мүмкіндігін бағалайды ж болады f(х). Бастап х енді бекітілген, f(х) тіркелген есептік жиын болып табылады және бар Лебег шарасы нөл. Сондықтан, бұл шара х тұрақты, нөлге тең. Фрайлинг қазір екі жалпылау жасайды:

• Себебі біз виртуалды сенімділікпен болжай аламыз »ж жоқ f(х) «бірінші дарт лақтырылғаннан кейін, және бұл болжам бірінші дарт қандай әрекет жасаса да жарамды болғандықтан, біз бұл драйсты лақтырғанға дейін айта аламыз. Бұл бізде әлі өлшенетін оқиға бар деп айтуға болмайды. , керісінше, бұл болжау мүмкіндігі туралы интуиция.
• Бастап »ж жоқ f(х) «болжамды түрде шындық, дартсты лақтырудың реті бойынша симметрия бойынша (» симметрия аксиомасы «осыдан шыққан) біз де виртуалды сенімділікпен болжай білуіміз керек»х жоқ f(ж)".

Аксиома ${ displaystyle { texttt {AX}}}$ енді бұл эксперимент әр орындалған сайын мүмкін болатын жағдай ең болмағанда мүмкін болуы керек деген қағидаға негізделген. Демек, екі нақты сан болуы керек х, ж осындай х жоқ f(ж) және ж жоқ f(х).

(Жалпыланған) үздіксіз гипотезаға қатысты

Түзету ${ displaystyle kappa ,}$ шексіз кардинал (мысалы ${ displaystyle aleph _ {0} ,}$). Келіңіздер ${ displaystyle { texttt {AX}} _ { kappa}. ,}$ мәлімдеме болыңыз: карта жоқ ${ displaystyle f: wp ( kappa) to wp ( wp ( kappa)) ,}$ жиынтықтардан өлшем жиынтығына дейін ${ displaystyle leq kappa}$ ол үшін ${ displaystyle ( forall {x, y in wp ( kappa)}) ,}$ немесе ${ displaystyle x in f (y) ,}$ немесе ${ displaystyle y in f (x) ,}$.

Талап: ${ displaystyle { texttt {ZFC}} vdash 2 ^ { kappa} = kappa ^ {+} leftrightarrow neg { texttt {AX}} _ { kappa}. ,}$.

Дәлел:I бөлім (${ displaystyle Rightarrow ,}$):

Айталық ${ displaystyle 2 ^ { kappa} = kappa ^ {+} ,}$. Содан кейін биекция бар ${ displaystyle sigma: kappa ^ {+} to wp ( kappa) ,}$. Параметр ${ displaystyle f: wp ( kappa) to wp ( wp ( kappa)) ,}$ арқылы анықталды ${ displaystyle sigma ( alpha) mapsto { sigma ( beta): beta preceq alpha } ,}$, бұл Фрайлинг аксиомасының сәтсіздігін көрсететінін байқау қиын емес.

II бөлім (${ displaystyle Leftarrow ,}$):

Фрейлингтің аксиомасы сәтсіздікке ұшырады делік. Содан кейін кейбірін жөндеңіз ${ displaystyle f ,}$ осы фактіні тексеру үшін. Бойынша реттік қатынасты анықтаңыз ${ displaystyle wp ( kappa) ,}$ арқылы ${ displaystyle A leq _ {f} B}$ iff ${ displaystyle A in f (B)}$. Бұл қатынас тотальды және әр тармақтың мәні бар ${ displaystyle leq kappa}$ көптеген предшественниктер. Енді қатаң өсетін тізбекті анықтаңыз ${ displaystyle (A _ { alpha} in wp ( kappa)) _ { alpha < kappa ^ {+}}}$ келесідей: әр кезеңде таңдаңыз ${ displaystyle A _ { alpha} in wp ( kappa) setminus bigcup _ { xi < alpha} f (A _ { xi})}$. Бұл процесті кез-келген тәртіп бойынша жүргізуге болады ${ displaystyle alpha < kappa ^ {+} ,}$, ${ displaystyle bigcup _ { xi < alpha} f (A _ { xi}) ,}$ бірігу болып табылады ${ displaystyle leq kappa ,}$ көптеген жиынтықтар ${ displaystyle leq kappa ,}$; осылайша өлшемі бар ${ displaystyle leq kappa <2 ^ { kappa} ,}$ және де қатаң ішкі жиынтығы бар ${ displaystyle wp ( kappa) ,}$. Бізде бұл дәйектілік бар кофиналды анықталған ретпен, яғни әрбір мүшесі ${ displaystyle wp ( kappa) ,}$ болып табылады ${ displaystyle leq _ {f} ,}$ кейбіреулері ${ displaystyle A _ { alpha} ,}$. (Басқа жағдайда, егер ${ displaystyle B in wp ( kappa) ,}$ емес ${ displaystyle leq _ {f} ,}$ кейбіреулері ${ displaystyle A _ { alpha}}$, содан кейін тапсырыс жалпы болғандықтан ${ displaystyle ( forall { alpha < kappa ^ {+}}) A _ { alpha} leq _ {f} B ,}$; көздейтін ${ displaystyle B ,}$ бар ${ displaystyle geq kappa ^ {+}> kappa ,}$ көптеген предшественников; қайшылық.) Осылайша біз картаны жақсы анықтай аламыз ${ displaystyle g: wp ( kappa) to kappa ^ {+} ,}$ арқылы ${ displaystyle B mapsto operatorname {min} { alpha < kappa ^ {+}: B in f (A _ { alpha}) }}$.Сонымен ${ displaystyle wp ( kappa) = bigcup _ { alpha < kappa ^ {+}} g ^ {- 1} { alpha } = bigcup _ { alpha < kappa ^ {+} } f (A _ { альфа}) ,}$ бұл одақ ${ displaystyle kappa ^ {+} ,}$ әр өлшемнің көптеген жиынтығы ${ displaystyle leq kappa ,}$. Демек ${ displaystyle 2 ^ { kappa} leq kappa ^ {+} cdot kappa = kappa ^ {+} ,}$ және біз аяқтадық.

${ displaystyle blacksquare}$ (Талап)

Ескертіп қой ${ displaystyle | [0,1] | = | wp ( aleph _ {0}) | ,}$ біз бұған қол жеткізу үшін заттарды оңай өзгерте аламыз ${ displaystyle neg { texttt {CH}} Leftrightarrow ,}$ жоғарыда аталған Фрайлинг аксиомасының формасы.

Жоғарыда айтылғандарды нақтырақ жасауға болады: ${ displaystyle { texttt {ZF}} vdash ({ texttt {AC}} _ ​​{ wp ( kappa)} + neg { texttt {AX}} _ { kappa}) leftrightarrow { texttt {CH}} _ { kappa} ,}$. Бұл (континуумды гипотезаның таңдауға тәуелді емес екендігімен бірге) (жалпыланған) үздіксіз гипотеза таңдау аксиомасының жалғасы болатын дәл әдісін көрсетеді.

Фрайлингтің дәлеліне қарсылық

Фрайлингтің дәлелі онымен байланысты келесі екі проблемаға байланысты кеңінен қабылданбайды (оны Фрайлинг өз жұмысында жақсы білетін және талқылаған).

• Фрайлинг қолданған аңғалдық ықтимал интуиция үнсіз қабылдайды ықтималдықты кез-келген ішкі жиынға байланыстырудың дұрыс жасалған тәсілі бар. Бірақ деген ұғымның математикалық формалдануы ықтималдық ұғымын қолданады өлшеу, дегенмен таңдау аксиомасы өлшем бірлігі жоқ жиынтықтардың, тіпті бірлік аралықтың болуын білдіреді. Мұның кейбір мысалдары Банач-Тарский парадоксы және бар Виталий жиынтығы.
• Оның аргументінің шамалы өзгеруі континуум гипотезасын біреу қабылдай ма, жоқ па, таңдау аксиомасына қарама-қайшылық тудырады, егер ықтималдықтың есептелетін аддитивтілігін континумнан аз кардиналдарға аддитивтілікпен алмастырса. (Фрайлинг осыған ұқсас дәлел келтірді Мартин аксиомасы жалған.) Фрайлингтің интуициясы бұл жағдайда неғұрлым аз болуы керек, егер ол мүлдем қолданылса, түсініксіз. (Мадди 1988, б. 500) Сонымен Фрайлингтің дәйегі үздіксіз гипотезадан гөрі шындыққа тапсырыс беру мүмкіндігіне қарсы аргумент сияқты көрінеді.

Графтар теориясымен байланыс

ZFC-де бізде бар ${ displaystyle 2 ^ { kappa} = kappa ^ {+} Leftrightarrow neg { texttt {AX}} _ { kappa} ,}$ (қараңыз жоғарыда ) екенін байқау қиын емес сәтсіздік симметрия аксиомасы - және, осылайша, сәттілік ${ displaystyle 2 ^ { kappa} = kappa ^ {+} ,}$ - графиктер үшін келесі комбинаторлық принципке тең:

• The толық граф қосулы ${ displaystyle wp ( kappa) ,}$ әр түйіннің максимумға жетуіне әкелетін етіп бағытталуы мүмкін ${ displaystyle kappa ,}$- көптеген түйіндер.

Жағдайда ${ displaystyle kappa = aleph _ {0} ,}$, бұл аударылады:

• Бірлік шеңберіндегі толық графиктің бағытталуы мүмкін, сондықтан әрбір түйін ең көп дегенде көптеген түйіндерге әкеледі.

Осылайша, ZFC контекстінде Фрайлинг аксиомасының сәтсіздігі таңдау функциясының нақты түрінің болуымен пара-пар.

Әдебиеттер тізімі

• Фрайлинг, Крис (1986), «Симметрия аксиомалары: дарттарды нақты сан сызығына лақтыру», Символикалық логика журналы, 51 (1): 190–200, дои:10.2307/2273955, ISSN  0022-4812, МЫРЗА  0830085
• Мадди, Пенелопа (1988). «Аксиомаларға сену, мен». Символикалық логика журналы. 53 (2): 481–511. дои:10.2307/2274520.
• Дэвид Мумфорд, «Стохастика дәуірінің таңы», in Математика: шекаралар мен перспективалар 2000 ж, Американдық математикалық қоғам, 1999, 197–218.
• Sierpiński, Wacław (1956) [1934], Hypothèse du жалғасы, Chelsea Publishing Company, Нью-Йорк, N. Y., МЫРЗА  0090558
• Джон Симмс, «Заманауи түсінікке қолданылатын дәстүрлі кавальери қағидалары», J. Философиялық логика 18 (1989), 275–314.