Төрт төбелік теорема - Four-vertex theorem

Эллипс (қызыл) және оның эволюциялық (көк), қисықтың төрт төбесін, әрбір шыңы эволютиядағы шыңға сәйкес келеді.

Классикалық төрт шыңды теорема деп мәлімдейді қисықтық қарапайым, жабық, тегіс функция жазықтық қисығы кем дегенде төрт жергілікті экстрема (атап айтқанда, кем дегенде екі жергілікті максимум және кем дегенде екі жергілікті минимум). Теореманың атауы а қисықтық функциясының шеткі нүктесін шақыру конвенциясынан туындайды шың. Бұл теоремада көптеген жалпылау бар, оның ішінде а шың жоғалу нүктесі ретінде анықталады бұралу.

Мысалдар

Ан эллипс дәл төрт шыңы бар: қисықтықтың екі жергілікті максимумы, оны эллипстің үлкен осі қиып өтеді, ал қисықтықтың екі жергілікті минимумын кіші осі қиып өтеді. Ішінде шеңбер, әрбір нүкте - бұл ең үлкен және қисықтықтың жергілікті минимумы, сондықтан шыңдар өте көп.

Әрқайсысы тұрақты ені қисығы кем дегенде алты шыңы бар.[1]

Тарих

Төрт шыңды теорема алдымен дәлелденді дөңес қисықтар (яғни қисық сызықтар), 1909 ж Syamadas Mukhopadhyaya.[2] Оның дәлелі қисықтағы нүкте қисықтық функциясының экстремумы екендігін қолданады егер және егер болса The тербеліс шеңбері сол кезде 4-ші ретті болады байланыс қисықпен (тұтастай алғанда, тербеліс шеңбері қисықпен тек 3-ретті байланысқа ие). Төрт шыңды теорема негізінен дәлелденді Адольф Кнесер 1912 жылы проективті аргументті қолдана отырып.[3]

Дәлел

Төрт шыңды теореманың дәлелдеуі көптеген жылдар бойы қиын болып келді, бірақ қарапайым және тұжырымдамалық дәлелдемелер келтірілді Оссерман (1985) идеясының негізінде минималды қоршау шеңбері.[4] Бұл берілген қисықты қамтитын және радиусы ең кіші шеңбер. Егер қисық шеңбердің доғасын қамтыса, онда оның шыңдары өте көп. Әйтпесе, қисық пен шеңбер болуы керек тангенс кем дегенде екі ұпай. Әрбір тангенсте қисықтың қисықтығы шеңберге қарағанда көбірек болады (әйтпесе қисық іштен емес, шеңберден тыс тангенстен жалғасады). Алайда, әрбір жанасу жұбы арасында қисықтық шеңберден кемдеуі керек, мысалы, шеңберді айналдыру нәтижесінде алынған нүктеде, егер ол енді екі жанасу нүктесінің арасындағы қисықтың ешқандай бөлігі болмайынша және соңғы нүктені ескергенде аударылған шеңбер мен қисық арасындағы байланыс. Демек, әрбір жанамалық жұптың арасында төрт шыңның екеуін беретін қисықтықтың жергілікті минимумы болады. Әрбір жергілікті минимум жұбы арасында қалған екі шыңды бере отырып, ең үлкен қисықтық болуы керек.[4][5]

Керісінше

Төрт шыңды теореманың керісінше кез келген екенін айтады үздіксіз, кем дегенде екі жергілікті максимум мен екі жергілікті минимумға ие болатын шеңбердің нақты мәні функциясы - қарапайым, жабық жазықтық қисығының қисықтық функциясы. Күрес оң функциялар үшін дәлелдеді 1971 ж Герман Глюк қисықтығын алдын-ала тағайындау туралы жалпы теореманың ерекше жағдайы ретінде n-сфералар.[6] Төрт шыңды теореманың толық керісінше дәлелдеді Бьерн Дальберг 1998 жылдың қаңтарында қайтыс болғанға дейін және қайтыс болғаннан кейін жарияланды.[7] Дальбергтің дәлелі а орам нөмірі кейбір жағдайларда стандартты еске түсіретін аргумент алгебраның негізгі теоремасының топологиялық дәлелі.[8]

Механикаға қолдану

Теореманың бір қорытындысы - ауырлық күші әсерінен горизонталь беттің біркелкі, жазық дискілі ролингі, кем дегенде 4 тепе-теңдік нүктесіне ие. Мұның дискретті нұсқасы - а болуы мүмкін емес моностатикалық көпбұрыш.Алайда, үш өлшемде моностатикалық полиэдра бар, сонымен қатар дәл 2 тепе-теңдік нүктесі бар (біреуі тұрақты, екіншісі тұрақсыз) дөңес, біртектес объект бар, Gömböc.

эллипстегі төрт шыңды теореманың иллюстрациясы

Дискретті вариациялар

Төрт шыңды теореманың дөңес және дөңес емес көпбұрыштарға арналған бірнеше дискретті нұсқалары бар.[9] Міне, олардың кейбіреулері:

  • (Билинский) Дөңес бұрыштардың реттілігі тең бүйірлі көпбұрыш кем дегенде төрт төбесінде кем дегенде төртеуі болады экстрема.
  • Дөңестің бүйірлік ұзындықтарының реттілігі теңбұрышты көпбұрыш кем дегенде төрт жағы кем дегенде төрт болады экстрема.
  • (Мусин) А шеңбер жазба кем дегенде төрт төбесі бар көпбұрыштың қатарынан үш төбесі деп аталады экстремалды егер онда көпбұрыштың қалған барлық шыңдары болса немесе оның ішкі бөлігінде жоқ болса. Мұндай дөңес көпбұрыш болып табылады жалпы егер оның бір шеңберде төрт төбесі болмаса. Онда кем дегенде төрт шыңы бар кез келген жалпы дөңес көпбұрыштың кем дегенде төрт экстремалды шеңбері болады.
  • (ЛегендаКоши ) Екі дөңес n-қабырғасының сәйкес ұзындығына тең гондардың сәйкес бұрыштық айырмашылықтарының циклдік реттілігінде нөл немесе кем дегенде 4 таңба өзгерісі болады.
  • (Александров А.Д. ) Екі дөңес n- параллельді гондар сәйкес жақтары және тең аумақтың сәйкес ұзындықтардың айырымдарының циклдік реттілігінде нөлдік немесе кем дегенде 4 белгінің өзгеруі болады.

Осы вариациялардың кейбіреулері екіншісіне қарағанда күшті және олардың барлығы (әдеттегі) төрт шекті теореманы шектік аргументпен білдіреді.

Кеңістіктің қисық сызығына жалпылау

The стереографиялық проекция сферадан жазықтыққа дейін критикалық нүктелерін сақтайды геодезиялық қисықтық. Осылайша қарапайым жабық сфералық қисықтардың төрт шыңы болады. Сонымен қатар, қисықтың сфералық төбелері оның нүктелеріне сәйкес келеді бұралу жоғалады. Сонымен, кеңістік қисықтары үшін шың жоғалып кететін бұралу нүктесі ретінде анықталады. 1994 жылы В.Седих [10] а шекарасында орналасқан әрбір қарапайым тұйық кеңістіктің қисық сызығын көрсетті дөңес дене төрт төбесі бар. 2017 жылы Мұхаммед Гоми [11] Седих теоремасын жергілікті дөңес дискіні байланыстыратын барлық қисықтарға жалпылау.

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ Мартинес-Мауре, Ив (1996). «Теннис допының теоремасы туралы жазба». Американдық математикалық айлық. 103 (4): 338–340. дои:10.2307/2975192. JSTOR  2975192. МЫРЗА  1383672.; Крейзер, Маркос; Тейшейра, Ральф; Balestro, Vitor (2018). «Нормаланған жазықтықтағы тұйықталған циклоидтар». Monatshefte für Mathematik. 185 (1): 43–60. дои:10.1007 / s00605-017-1030-5. МЫРЗА  3745700.
  2. ^ Мухопадхая, С. (1909). «Жазық доға геометриясындағы жаңа әдістер». Өгіз. Калькутта математикасы. Soc. 1: 21–27.
  3. ^ Кнесер, Адольф (1912). «Bemerkungen über die Anzahl der Extrema der Krümmung auf geschlossenen Kurven und über verwandte Fragen in einer nicht euklidischen Geometrie». Festschrift Генрих Вебер. Тубнер. 170-180 бет.
  4. ^ а б Бергер, Марсель (2010). «V.8. Төрт шыңның теоремасы және оның керісінше; физикаға қосымшасы». Геометрия анықталды. Гейдельберг: Шпрингер. 271–278 беттер. дои:10.1007/978-3-540-70997-8. ISBN  978-3-540-70996-1. МЫРЗА  2724440..
  5. ^ Оссерман, Роберт (1985). «Төрт немесе одан да көп шыңдар теоремасы». Американдық математикалық айлық. 92 (5): 332–337. дои:10.2307/2323126. МЫРЗА  0790188..
  6. ^ Глюк, Герман (1971). «Төрт шыңды теоремаға кері байланыс». L'Enseignement Mathématique. 17: 295–309.
  7. ^ Дальберг, Бьорн (2005). «Төрт төбе теоремасының кері нұсқасы». Proc. Amer. Математика. Soc. 133 (7): 2131–2135. дои:10.1090 / S0002-9939-05-07788-9.
  8. ^ ДэТюрк, Д .; Глюк, Х .; Pomerleano, D. & Vick, DS (2007). «Төрт төбе теоремасы және оның керісінше мәні» (PDF). Американдық математикалық қоғамның хабарламалары. 54 (2): 9268. arXiv:математика / 0609268. Бибкод:2006ж. ...... 9268D.
  9. ^ Пак, И. Дискретті және полиэдрлік геометриядан дәрістер Мұрағатталды 2009-01-29 сағ Wayback Machine, 21 бөлім.
  10. ^ Седых, В.Д. (1994). «Дөңес кеңістік қисығының төрт шыңы». Өгіз. Лондон математикасы. Soc. 26 (2): 177–180. дои:10.1112 / blms / 26.2.177.
  11. ^ Гоми, Мұхаммед (2017). «Жергілікті дөңес беттердің шекаралық бұралуы және дөңес қақпақтары». Дифференциалдық геометрия журналы. 105 (3): 427–486. дои:10.4310 / jdg / 1488503004. ISSN  0022-040X.

Сыртқы сілтемелер