Фату-Лебег теоремасы - Fatou–Lebesgue theorem

Жылы математика, Фату-Лебег теоремасы тізбегін орнатады теңсіздіктер қатысты интегралдар (мағынасында Лебег ) шегі төмен және шектеу жоғары а жүйелі туралы функциялары Осы функциялардың төменгі шегі мен интегралдарының шегі жоғары. Теорема атымен аталған Пьер Фату және Анри Леон Лебег.

Егер функциялар тізбегі жақындаса бағытта, теңсіздіктер айналады теңдіктер және теорема Лебесгке дейін азаяды конвергенция теоремасы.

Теореманың тұжырымы

Келіңіздер f1, f2, ... ретін белгілейді нақты - бағаланады өлшенетін а-да анықталған функциялар кеңістікті өлшеу (S,Σ,μ). Егер Lebesgue интегралданатын функциясы болса ж қосулы S бұл абсолюттік мәнде дәйектілікке үстемдік ететін, яғни |fn| ≤ ж барлығына натурал сандар n, содан кейін бәрі fn сонымен қатар төменгі шегі және жоғары шегі fn интегралды және

Мұнда шегі төмен және жоғарғы шегі fn бағытта алынады. Осы шекті функциялардың абсолюттік мәнінің интегралы жоғарыда-ның интегралымен шектелген ж.

Орташа теңсіздік (нақты сандар тізбегі үшін) әрдайым ақиқат болғандықтан, қалған теңсіздіктердің бағыттарын есте сақтау оңай.

Дәлел

Барлық fn сонымен қатар төменгі шегі және жоғары шегі fn абсолютті шамада өлшенетін және басым ж, демек, интегралды.

Бірінші теңсіздік қолдану арқылы жүреді Фату леммасы теріс емес функцияларға fn + ж және Лебег интегралының сызықтығы. Соңғы теңсіздік мынада кері Фату леммасы.

Бастап ж сонымен қатар | жоғарғы шегі үстемдік етедіfn|,

бойынша Лебег интегралының монотондылығы. Дәл осындай бағалар шекті деңгейге сәйкес келеді fn.

Әдебиеттер тізімі

Сыртқы сілтемелер

  • «Фату-Лебег теоремасы». PlanetMath.