Фаннес-Аденаэрт теңсіздігі - Fannes–Audenaert inequality

The Фаннес-Аденаэрт теңсіздігі арасындағы айырмашылықтың математикалық байланысы болып табылады фон Нейман энтропиясы екеуінің тығыздық матрицалары олардың функциясы ретінде қашықтық. 2007 жылы Koenraad M. R. Audenaert дәлелдеді[1] 1973 жылы жарияланған Марк Фаннестің бастапқы теңсіздігін оңтайлы нақтылау ретінде.[2] Марк Фаннес - математикалық кванттық механикаға маманданған бельгиялық физик. Ол жұмыс істейді Лювен К.У.. Koenraad M. R. Audenaert - бельгиялық физик және құрылыс инженері. Қазіргі уақытта ол жұмыс істейді Royal Holloway, Лондон университеті.

Теңсіздік туралы мәлімдеме

Кез-келген екі тығыздық матрицасы үшін және өлшемдер ,

қайда

бұл (Шеннон ) ықтималдық үлестірімінің энтропиясы ,

бұл матрицаның (фон Нейман) энтропиясы меншікті құндылықтармен , және

бұл екі матрицаның арасындағы қашықтық. Назар аударыңыз логарифм ерікті, тек теңдіктің екі жағында бірдей негіз қолданылғанша.

Аденаэрт мұны тек қашықтықты ескере отырып дәлелдеді Т және өлшемг.-Бұл оңтайлы байланған. Ол мұны кез-келген мәндердің шекарасын қанықтыратын матрицалар жұбын тікелей көрсету арқылы жасады Т жәнег.. Матрицалар (бірдей негізде диагональды, яғни олар жүреді)

Фаннестің теңсіздігі және Аденаэрттің нақтылануы

Фаннес дәлелдеген алғашқы теңсіздік болды

қашан . Ол теңсіздіктің әлсіздігін дәлелдеді

үлкенірек қолдануға боладыТ.

Фаннес бұл теңсіздікті дәлелдеу құралы ретінде дәлелдеді сабақтастық туралы фон Нейман энтропиясы, бұл оңтайлы шектеуді қажет етпеді. Дәлел өте ықшам, оны Нильсен мен Чуанг оқулықтан табуға болады.[3] Оденаэрттің оңтайлы теңсіздікті дәлелдеуі, керісінше, едәуір күрделі.

Пайдаланылған әдебиеттер

  1. ^ Koenraad M. R. Audenaert, «Фон Нейман энтропиясының үзіліссіз сабақтастығы», J. физ. Ж: математика. Теория. 40 8127 (2007). Алдын ала басып шығару: arXiv: quant-ph / 0610146.
  2. ^ М.Фаннес, «Спиндік торлы жүйелер үшін энтропия тығыздығының үздіксіздік қасиеті», Математикалық физикадағы байланыс 31 291–294 (1973).
  3. ^ Нильсен, Майкл А; Чуанг, Исаак Л (2000). Кванттық есептеу және кванттық ақпарат. Кембридж; Нью Йорк: Кембридж университетінің баспасы. ISBN  978-0-521-63235-5. OCLC  43641333.