Конверт (санаттар теориясы) - Envelope (category theory)

Жылы Санаттар теориясы және онымен байланысты математика салалары, ан конверт - бұл жергілікті дөңес кеңістікті аяқтау сияқты «сыртқы аяқтау» операцияларын жалпылайтын немесе Тас-ехальды тығыздау топологиялық кеңістіктің. Қосарланған құрылыс деп аталады нақтылау.

Анықтама

Айталық санат, объект , және және морфизмдердің екі класы . Анықтама[1] конверттің сыныпта сыныпқа қатысты екі қадамнан тұрады.

Кеңейту.
  • Морфизм жылы деп аталады объектінің кеңеюі морфизмдер класында морфизмдер класына қатысты , егер және кез-келген морфизм үшін сыныптан бірегей морфизм бар жылы осындай .
Конверт.
  • Кеңейту объектінің морфизмдер класында морфизмдер класына қатысты деп аталады конверті жылы құрметпен , егер басқа кеңейту болса (of жылы құрметпен ) ерекше морфизм бар жылы осындай . Нысан деп аталады конверті жылы құрметпен .

Ескертпелер:

Ерекше жағдайда - бұл объектілердің берілген класына жататын барлық морфизмдер класы жылы ауыстыру ыңғайлы бірге жазбаларда (және шарттарда):

Сол сияқты, егер - бұл объектілердің берілген класына жататын барлық морфизмдер класы жылы ауыстыру ыңғайлы бірге жазбаларда (және шарттарда):

Мысалы, туралы айтуға болады конверті объектілер класында объектілер класына қатысты :

Эпиморфизмдер мен функционалдылықтың торлары

Әр объектіге солай делік санатта оған ішкі жиын тағайындалады сыныпта санаттағы барлық эпиморфизмдердің , бастап және келесі үш талап орындалды:

  • әр объект үшін жиынтық бос емес және мұраға қалған алдын-ала тапсырыс бойынша солға бағытталған
  • әр объект үшін жасаған морфизмдердің ковариантты жүйесі
колимит бар жылы , деп аталады жергілікті шек жылы ;
  • әрбір морфизм үшін және әрбір элемент үшін элемент бар және морфизм [2] осындай

Содан кейін жиынтықтар отбасы а деп аталады эпиморфизмдер торы санатта .

Мысалдар.

  1. Әрқайсысы үшін жергілікті дөңес топологиялық векторлық кеңістік және нөлге тең әрбір жабық дөңес теңдестірілген көршілік үшін оның ядросын қарастырайық және кеңістік бірлік доппен нормаланған топологиямен қамтамасыз етілген және рұқсат етіңіз аяқталуы (анық, Бұл Банах кеңістігі, және ол деп аталады Банах кеңістігі туралы арқылы ). Табиғи картаға түсіру жүйесі санаттағы эпиморфизмдердің торы болып табылады жергілікті дөңес топологиялық векторлық кеңістіктер.
  2. Әрбір жергілікті дөңес топологиялық алгебра үшін және әрқайсысы үшін субмультипликативті жабық дөңес теңдестірілген маңындағы нөл ,
,
тағы да оның ядросын қарастырайық және алгебра бірлік доппен нормаланған топологиямен қамтамасыз етілген және рұқсат етіңіз аяқталуы (анық, Бұл Банах алгебрасы, және ол деп аталады Банах алгебрасы туралы арқылы ). Табиғи картаға түсіру жүйесі санаттағы эпиморфизмдер торы болып табылады жергілікті дөңес топологиялық алгебралар.

Теорема.[3] Келіңіздер санаттағы эпиморфизмдердің торы болу морфизмдер класын тудырады ішкі жағынан:

Содан кейін кез-келген эпиморфизм класы үшін жылы , онда барлық жергілікті шектеулер бар,

мыналар:

(i) әр объект үшін жылы жергілікті шек конверт жылы құрметпен :
(ii) конверт функциясы ретінде анықтауға болады.

Теорема.[4] Келіңіздер санаттағы эпиморфизмдердің торы болу морфизмдер класын тудырады ішкі жағынан:

Содан кейін эпиморфизмнің кез-келген мономорфтық жағынан толықтырылатын класы үшін жылы осындай бірге жұмыс істейді[5] жылы конверт функциясы ретінде анықтауға болады.

Теорема.[6]Айталық, санат және объектілер класы келесі қасиеттерге ие:

(i) болып табылады толық емес,
(ii) бар түйіндік ыдырау,
(iii) сыныпта жақсы жұмыс істейді ,[7]
(iv) бастап шығады :
,
(v) морфизмдердің сыртынан ерекшеленеді: кез-келген екі түрлі параллель морфизмдер үшін морфизм бар осындай ,
(vi) колиттерге өтуге байланысты жабық,
(vii) морфизмнің кодоменінен оған өтуіне қатысты жабық түйін кескіні: егер , содан кейін .

Содан кейін конверт функциясы ретінде анықтауға болады.

Мысалдар

Келесі тізімде барлық конверттерді функционал ретінде анықтауға болады.

1. The аяқтау а жергілікті дөңес топологиялық векторлық кеңістік конверті болып табылады санатта сыныпқа қатысты барлық жергілікті дөңес кеңістіктердің туралы Банах кеңістігі:[8] . Әрине, Банах кеңістігінің кері шегі (жоғарыда анықталған):
2. The Тас-ехальды тығыздау Тихоновтың топологиялық кеңістік конверті болып табылады санатта сыныптағы барлық Тихонов кеңістігінің туралы ықшам кеңістіктер сол сыныпқа қатысты :[8]
3. The Аренс-Майкл конверт[9][10][11][12] жергілікті дөңес топологиялық алгебраның жеке үздіксіз көбейту кезінде конверт болады санатта сыныптағы барлық (жергілікті дөңес) топологиялық алгебралар (бөлек үздіксіз көбейтулермен) сыныпқа қатысты Банах алгебралары: . Алгебра Банач алгебраларының кері шегі (жоғарыда анықталған):
4. The голоморфты конверт[13] а стереотип алгебрасы конверті болып табылады санатта сыныптағы барлық стереотиптік алгебралардың бәрінен де тығыз эпиморфизмдер[14] жылы сыныпқа қатысты барлық банах алгебралары:
5. The тегіс конверт[15] а стереотип алгебрасы конверті болып табылады санатта сыныптағы барлық алюбрийлі стереотиптер бәрінен де тығыз эпиморфизмдер[14] жылы сыныпқа қатысты барлық дифференциалды гомоморфизмдердің бір-бірімен байланысқан нильпотентті элементтері бар әртүрлі С * алгебраларына:
6. The үздіксіз конверт[16][17] а алгебра стереотипі конверті болып табылады санатта сыныптағы барлық алюбрийлі стереотиптер бәрінен де тығыз эпиморфизмдер[14] жылы сыныпқа қатысты барлық С * -алгебралар:

Қолданбалар

Хатқалталар математиканың әртүрлі салаларында стандартты функционерлер ретінде пайда болады. Жоғарыда келтірілген мысалдардан басқа,

Жылы абстрактілі гармоникалық талдау жалпылауда конверттің ұғымы шешуші рөл атқарады Понтрягиннің екіұштылығы теория[20] коммутативті емес топтардың кластарына: голоморфты, тегіс және үздіксіз конверттер стереотиптік алгебралар (жоғарыда келтірілген мысалдарда) сәйкесінше голоморфты, тегіс және үздіксіз қосарлықтардың құрылыстарына әкеледі үлкен геометриялық пәндеркүрделі геометрия, дифференциалды геометрия, және топология - осы пәндерде қарастырылатын топологиялық топтардың (міндетті түрде ауыстырылмайтын) белгілі бір сыныптары үшін (аффиндік алгебралық топтар, және кейбір сыныптары Өтірік топтар және Мур топтары).[21][18][20][22]

Сондай-ақ қараңыз

Ескертулер

  1. ^ Акбаров 2016 ж, б. 42.
  2. ^ морфизмнің кодоменін білдіреді .
  3. ^ Акбаров 2016 ж, Теорема 3.37.
  4. ^ Акбаров 2016 ж, 3.38 теоремасы.
  5. ^ Санат деп айтылады морфизмдер класында жақсы жұмыс істейді , егер әрбір объект үшін болса санат барлық морфизмдердің бастап шығу қаңқа жағынан ұсақ.
  6. ^ Акбаров 2016 ж, 3.60 теоремасы.
  7. ^ Санат деп айтылады эпиморфизмдер класында жақсы қуатталған , егер әрбір объект үшін болса санат барлық морфизмдердің бастап шығу қаңқа жағынан ұсақ.
  8. ^ а б Акбаров 2016 ж, б. 50.
  9. ^ Хелемский 1993 ж, б. 264.
  10. ^ Пирковский 2008 ж.
  11. ^ Акбаров 2009 ж, б. 542.
  12. ^ Акбаров 2010 ж, б. 275.
  13. ^ Акбаров 2016 ж, б. 170.
  14. ^ а б в Стереотип алгебраларының морфизмі (яғни үздіксіз унитальды гомоморфизм) егер оның мәндер жиынтығы тығыз деп аталады тығыз .
  15. ^ Акбаров 2017 ж, б. 741.
  16. ^ Акбаров 2016 ж, б. 179.
  17. ^ Акбаров 2017 ж, б. 673.
  18. ^ а б в Акбаров 2016 ж.
  19. ^ Акбаров 2013 ж.
  20. ^ а б Акбаров 2017 ж.
  21. ^ Акбаров 2009 ж.
  22. ^ Кузнецова 2013 ж.

Әдебиеттер тізімі

  • Гелемский, А.Я. (1993). Банах және жергілікті дөңес алгебралар. Оксфордтың ғылыми басылымдары. Clarendon Press.CS1 maint: ref = harv (сілтеме)
  • Пирковский, А.Ю. (2008). «Аренс-Майкл конверттері, гомологиялық эпиморфизмдер және салыстырмалы квази алгебралар» (PDF). Транс. Мәскеу математикасы. Soc. 69: 27–104.CS1 maint: ref = harv (сілтеме)
  • Акбаров, С.С. (2009). «Сәйкестіктің алгебралық байланысқан компоненті бар Штейн топтары үшін экспоненциалды типтегі және қосарланған гомоморфты функциялар» Математика ғылымдарының журналы. 162 (4): 459–586. arXiv:0806.3205. дои:10.1007 / s10958-009-9646-1.CS1 maint: ref = harv (сілтеме)
  • Акбаров, С.С. (2010). Стереотиптік алгебралар және Штейн топтарына арналған қосарлану (Тезис). Мәскеу мемлекеттік университеті.CS1 maint: ref = harv (сілтеме)
  • Акбаров, С.С. (2016). «Функционалдық талдауға қосымшалары бар санаттардағы конверттер мен нақтылау». Mathematicae диссертациялар. 513: 1–188. arXiv:1110.2013. дои:10.4064 / dm702-12-2015.CS1 maint: ref = harv (сілтеме)
  • Акбаров, С.С. (2017). «Топологиялық алгебралардың үздіксіз және тегіс конверттері. 1 бөлім». Математика ғылымдарының журналы. 227 (5): 531–668. arXiv:1303.2424. дои:10.1007 / s10958-017-3599-6.CS1 maint: ref = harv (сілтеме)
  • Акбаров, С.С. (2017). «Топологиялық алгебралардың үздіксіз және тегіс конверттері. 2 бөлім». Математика ғылымдарының журналы. 227 (6): 669–789. arXiv:1303.2424. дои:10.1007 / s10958-017-3600-4.CS1 maint: ref = harv (сілтеме)
  • Акбаров, С.С. (2013). «Гельфандтың C * конверт ретінде өзгеруі». Математикалық жазбалар. 94 (5–6): 814–815. дои:10.1134 / S000143461311014X.CS1 maint: ref = harv (сілтеме)
  • Кузнецова, Ю. (2013). «Мур топтарына арналған қосарлану». Операторлар теориясының журналы. 69 (2): 101–130. arXiv:0907.1409. Бибкод:2009arXiv0907.1409K. дои:10.7900 / jot.2011mar17.1920.CS1 maint: ref = harv (сілтеме)