Дифеология - Diffeology

Жылы математика, а дифеология жиында жиынтықтағы тегіс параметрлердің не болатынын жариялайды. Диффеология белгілі бір мағынада тегіс диаграммалар тұжырымдамасын а дифференциалданатын коллектор.

Тұжырымдаманы алғаш енгізген Жан-Мари Сурия 1980 ж. және оның шәкірттері бірінші болып дамытты Пол Донато (біртекті кеңістіктер мен жабындар) және Патрик Иглесиас (талшықтардың дифеологиялық пакеттері, жоғары гомотопия және т.б.), кейінірек басқа адамдар. Қатысты идея ұсынылды Куо-Цай Чен (陳 國 才, Чен Гуокай) 1970 жылдары учаскелер домендері үшін ашық жиынтықтардың орнына дөңес жиынтықтарды қолдану.

Анықтама

Егер X жиынтық, а дифеология қосулы X деп аталатын карталар жиынтығы учаскелер, бастап ашық ішкі жиындар туралы Rn (n ≥ 0) дейін X келесідей:

  • Әрбір тұрақты карта сюжет болып табылады.
  • Берілген карта үшін, егер доменнің әрбір нүктесінде а болса Көршілестік картаны осы маңға шектеу сюжет болатын болса, картаның өзі сюжет болады.
  • Егер б сюжет, және f Бұл тегіс функция нақты векторлық кеңістіктің ашық жиынтығынан б, содан кейін композиция б ∘ f сюжет.

Әр түрлі учаскелердің домендері ішкі жиындар болуы мүмкін екенін ескеріңіз Rn үшін әр түрлі мәндер n.

Жиынтық диффеологиямен бірге а деп аталады дифеологиялық кеңістік.

Дифеологиялық кеңістіктер арасындағы карта деп аталады ажыратылатын егер оны бірінші кеңістіктің әрбір сюжетімен құрастыру екінші кеңістіктің сюжеті болса ғана. Бұл диффеоморфизм егер ол ерекшеленетін болса, биективті және оның кері дифференциалды.

Диффеологиялық кеңістіктер, дифференциалданатын карталармен бірге морфизмдер, а санат. Бұл категориядағы изоморфизмдер - жоғарыда анықталған диффеоморфизмдер. The санат Дифеологиялық кеңістіктер көптеген категориялық операцияларда жабық.

Диффеологиялық кеңістікте D-топология: ең жақсы топология барлық учаскелер осындай үздіксіз.

Егер Y Бұл ішкі жиын дифеологиялық кеңістіктің X, содан кейін Y табиғи түрде диффеологиялық кеңістік болып табылады: сюжеттері Y бұл сюжеттер X суреттері ішкі жиындар болып табылады Y.

Егер X - бұл диффеологиялық кеңістік және ~ кейбір эквиваленттік қатынас қосулы X, содан кейін жиынтық жиынтығы X / ~ барлық сюжеттер композицияларымен құрылған дифеологияға ие X проекциясымен бірге X дейін X/ ~. Бұл деп аталады диффеология. The D-топологиясы бұл диффеологияның D-топологиясы және бұл топология диффеология тривиальды болмай, тривиальды болуы мүмкін.

Картан-де-Рам есебін диффеология шеңберінде жасауға болады, сонымен қатар талшық шоғыры, гомотопия және т.б.

Тегіс коллекторлар

Дифференциалданатын коллекторлар тегістікті жалпылау. Олар әдетте ретінде анықталады топологиялық коллекторлар дифференциалды құрылымды артқа тарту үшін қолданылатын өтпелі карталары тегіс атласпен.

Осылайша анықталған кез-келген тегіс коллектордың табиғи дифеологиясы бар, ол үшін учаскелер ашық ішкі жиынтықтардың тегіс карталарына сәйкес келеді Rn коллекторға. Осы дифеологиямен екі тегіс коллекторлар арасындағы карта диффеологиялық мағынада сараланатын болса ғана тегіс болады. Демек, тегіс карталары бар тегіс коллекторлар дифеологиялық кеңістіктің толық санатын құрайды.

Бұл өтпелі карталарға немесе белгілі бір атласқа сілтеме жасамайтын тегіс коллектордың альтернативті анықтамасын беруге мүмкіндік береді: тегіс коллектор - бұл жергілікті диффеоморфты болып табылатын дифеологиялық кеңістік. Rn.

Тегіс коллекторлар мен дифеологиялық кеңістіктер арасындағы байланыс топологиялық коллекторлар мен топологиялық кеңістіктер арасындағы қатынасқа ұқсас.

Бұл әдіс модельдеу Дифеологиялық кеңістікті басқа жергілікті модельдерге таратуға болады, мысалы: квоталық кеңістіктерде модельденген орбифолдтар Rn/ Γ, мұндағы Γ сызықты ішкі топ немесе шекарасы және бұрыштары бар коллекторлар, модельденген ортанттар және т.б.

Мысалдар

  • Кез келген ашық ақырлы өлшемді нақты, сондықтан күрделі векторлық кеңістіктің жиынтығы - бұл диффеологиялық кеңістік.
  • Кез-келген тегіс коллектор - бұл диффеологиялық кеңістік.
  • Диффеологиялық кеңістіктің кез-келген бөлігі - диффеологиялық кеңістік. Бұл әртүрлі емес дифеологияны құрудың қарапайым тәсілі. Мысалы, жиынтығы нақты сандар R тегіс коллектор болып табылады. Көрсеткіш R/(З + αЗ), кейбіреулер үшін қисынсыз α, болып табылады қисынсыз торус, диффеоморфты кәдімгі 2-торусқа дейін диффеоморфты кеңістік R2/З2 сызығы бойынша көлбеу α. Оның тривиальды емес дифеологиясы бар, бірақ оның D-топологиясы тривиальды топология.

Сыртқы сілтемелер