Дарбу теоремасы - Darbouxs theorem - Wikipedia

Дарбу теоремасы Бұл теорема ішінде математикалық өрісі дифференциалды геометрия және нақтырақ дифференциалды формалар, ішінара жалпылау Фробениустың интеграция теоремасы. Бұл бірнеше саладағы іргелі нәтиже, олардың ішінде бастысы симплектикалық геометрия. Теорема атымен аталған Жан Гастон Дарбу[1] оны кім шешті Pfaff проблема.[2]

Теореманың көптеген салдарының бірі - кез келген екі симплектикалық коллекторлар бірдей өлшемді жергілікті симплектоморфты бір-біріне. Яғни, әр 2-деn-өлшемді симплектикалық коллекторды жергілікті жердегідей етіп жасауға болады сызықтық симплектикалық кеңістік Cn өзінің канондық симплектикалық формасымен. Теореманың ұқсас салдары да қолданылады байланыс геометриясы.

Мәлімдеме және алғашқы салдары

Нақты мәлімдеме келесідей.[3] Айталық - бұл дифференциалдық 1-форма n өлшемді коллектор, мысалы тұрақтыға ие дәреже б. Егер

барлық жерде,

онда жергілікті координаттар жүйесі бар онда

.

Егер, екінші жағынан,

барлық жерде,

онда жергілікті координаттар жүйесі бар онда

.

Егер болса барлық жерде және содан кейін Бұл байланыс нысаны.

Атап айтқанда, солай делік бұл симплектикалық 2-форма n=2м өлшемді коллектор М. Әр нүктенің маңында б туралы М, бойынша Пуанкаре леммасы, 1 формасы бар бірге . Оның үстіне, Дарбу теоремасындағы бірінші гипотезалар жиынтығын қанағаттандырады, сондықтан жергілікті жерде а бар координаттар кестесі U жақын б онда

.

Қабылдау сыртқы туынды қазір көрсетеді

Диаграмма U деп аталады Дарбу диаграммасы айналасында б.[4] Коллектор М бола алады жабылған осындай диаграммалар бойынша.

Мұны басқаша айту үшін анықтаңыз бірге жіберу арқылы . Егер - бұл Darboux диаграммасы болып табылады кері тарту стандартты симплектикалық форма қосулы :

Риман геометриясымен салыстыру

Бұл нәтиже симплектикалық геометрияда жергілікті инварианттардың жоқтығын білдіреді: а Дарбу негізі әрқашан кез-келген нүктенің жанында жарамды болады. Бұл жағдайдан айтарлықтай айырмашылығы бар Риман геометриясы қайда қисықтық жергілікті инвариант, кедергі метрикалық жергілікті координаталар дифференциалдарының квадраттарының қосындысы.

Айырмашылық мынада: Дарбустың теоремасында an стандартты форманы ан түрінде алуға болады деген бүкіл аудан айналасында б. Риман геометриясында метриканы әрқашан стандартты формада алуға болады кезінде кез-келген нүкте, бірақ әрдайым сол нүктенің айналасында емес.

Сондай-ақ қараңыз

Ескертулер

  1. ^ Дарбу (1882).
  2. ^ Пфафф (1814–1815).
  3. ^ Штернберг (1964) б. 140–141.
  4. ^ Cf. McDuff және Salamon-мен бірге (1998) б. 96.

Әдебиеттер тізімі

  • Дарбу, Гастон (1882). «Sur le problème de Pfaff». Өгіз. Ғылыми. Математика. 6: 14–36, 49–68.
  • Пфафф, Иоганн Фридрих (1814–1815). «Methodus generalis, aequationes differentiarum partiumium nec non aequationes differentiales vulgates, ультрадыбыстық прими-ординис, интерактивті айнымалылар, толық интегралды». Abhandlungen der Königlichen Akademie der Wissenschaften Берлинде: 76–136.
  • Штернберг, Шломо (1964). Дифференциалды геометрия бойынша дәрістер. Prentice Hall.
  • МакДафф, Д .; Саламон, Д. (1998). Симплектикалық топологияға кіріспе. Оксфорд университетінің баспасы. ISBN  0-19-850451-9.

Сыртқы сілтемелер