Кросс-корреляциялық матрица - Cross-correlation matrix

Бұл мақалада бірнеше мәселе бар. Өтінемін көмектесіңіз оны жақсарту немесе осы мәселелерді талқылау талқылау беті. (Бұл шаблон хабарламаларын қалай және қашан жою керектігін біліп алыңыз) Бұл мақала нақты дәлдік даулы. Тиісті талқылауды табуға болады талқылау беті. Даулы мәлімдемелердің болуын қамтамасыз етуге көмектесіңіз сенімді көзден алынған. (Желтоқсан 2018) (Бұл шаблон хабарламасын қалай және қашан жою керектігін біліп алыңыз) Бұл мақала үшін қосымша дәйексөздер қажет тексеру. Өтінемін көмектесіңіз осы мақаланы жақсарту арқылы дәйексөздерді сенімді ақпарат көздеріне қосу. Ресурссыз материалға шағым жасалуы және алынып тасталуы мүмкін. Дереккөздерді табу: «Кросс-корреляциялық матрица»  – жаңалықтар  · газеттер  · кітаптар  · ғалым  · JSTOR (Желтоқсан 2009) (Бұл шаблон хабарламасын қалай және қашан жою керектігін біліп алыңыз) (Бұл шаблон хабарламасын қалай және қашан жою керектігін біліп алыңыз)

Серияның бір бөлігі Статистика
Корреляция және ковариация
Кездейсоқ векторлардың корреляциясы және ковариациясы Автокорреляция матрицасы Кросс-корреляциялық матрица Авто-ковариация матрицасы Айқас ковариация матрицасы
Стохастикалық процестердің корреляциясы және ковариациясы Автокорреляция функциясы Кросс-корреляциялық функция Автоковарианс функциясы Ковариациялық функция
Детерминирленген сигналдардың корреляциясы және ковариациясы Автокорреляция функциясы Кросс-корреляциялық функция Автоковарианс функциясы Ковариациялық функция

The кросс-корреляциялық матрица екеуінің кездейсоқ векторлар - бұл кездейсоқ векторлардың барлық жұп элементтерінің айқас корреляцияларын элементтер ретінде қамтитын матрица. Кросс-корреляциялық матрица әртүрлі сандық сигналдарды өңдеу алгоритмдерінде қолданылады.

Анықтама

Екіге кездейсоқ векторлар ${ displaystyle mathbf {X} = (X_ {1}, ldots, X_ {m}) ^ { rm {T}}}$ және ${ displaystyle mathbf {Y} = (Y_ {1}, ldots, Y_ {n}) ^ { rm {T}}}$, әрқайсысы бар кездейсоқ элементтер кімдікі күтілетін мән және дисперсия бар, кросс-корреляциялық матрица туралы ${ displaystyle mathbf {X}}$ және ${ displaystyle mathbf {Y}}$ арқылы анықталады^{[1]:337-бет}

және өлшемдері бар ${ displaystyle m times n}$. Компонент бойынша жазылған:

${ displaystyle operatorname {R} _ { mathbf {X} mathbf {Y}} = { begin {bmatrix} operatorname {E} [X_ {1} Y_ {1}] & operatorname {E} [ X_ {1} Y_ {2}] & cdots & operatorname {E} [X_ {1} Y_ {n}] \ оператордың аты {E} [X_ {2} Y_ {1}] & operatorname {E} [X_ {2} Y_ {2}] & cdots & operatorname {E} [X_ {2} Y_ {n}] \ vdots & vdots & ddots & vdots оператор атауы {E} [X_ {m} Y_ {1}] & оператор атауы {E} [X_ {m} Y_ {2}] & cdots & оператордың аты {E} [X_ {m} Y_ {n} ] \ соңы {bmatrix}}}$

Кездейсоқ векторлар ${ displaystyle mathbf {X}}$ және ${ displaystyle mathbf {Y}}$ бірдей өлшемге ие болмауы керек, сонымен қатар скаляр мәні болуы мүмкін.

Мысал

Мысалы, егер ${ displaystyle mathbf {X} = сол жақ (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3} оңға) ^ { rm {T}}}$ және ${ displaystyle mathbf {Y} = солға (Y_ {1}, Y_ {2} оңға) ^ { rm {T}}}$ кездейсоқ векторлар болып табылады${ displaystyle operatorname {R} _ { mathbf {X} mathbf {Y}}}$ Бұл ${ displaystyle 3 times 2}$ матрица кімнің ${ displaystyle (i, j)}$- кіру ${ displaystyle operatorname {E} [X_ {i} Y_ {j}]}$.

Күрделі кездейсоқ векторлардың кросс-корреляциялық матрицасы

Егер ${ displaystyle mathbf {Z} = (Z_ {1}, ldots, Z_ {m}) ^ { rm {T}}}$ және ${ displaystyle mathbf {W} = (W_ {1}, ldots, W_ {n}) ^ { rm {T}}}$ болып табылады күрделі кездейсоқ векторлар, әрқайсысында күтілетін мәні мен дисперсиясы бар кездейсоқ шамалар бар, кросс-корреляция матрицасы ${ displaystyle mathbf {Z}}$ және ${ displaystyle mathbf {W}}$ арқылы анықталады

${ displaystyle operatorname {R} _ { mathbf {Z} mathbf {W}} triangleq operatorname {E} [ mathbf {Z} mathbf {W} ^ { rm {H}}]}$

қайда ${ displaystyle {} ^ { rm {H}}}$ білдіреді Эрмициандық транспозиция.

Корреляциясыздық

Екі кездейсоқ вектор ${ displaystyle mathbf {X} = (X_ {1}, ldots, X_ {m}) ^ { rm {T}}}$ және ${ displaystyle mathbf {Y} = (Y_ {1}, ldots, Y_ {n}) ^ { rm {T}}}$ деп аталады байланысты емес егер

${ displaystyle operatorname {E} [ mathbf {X} mathbf {Y} ^ { rm {T}}] = operatorname {E} [ mathbf {X}] operatorname {E} [ mathbf { Y}] ^ { rm {T}}.}$

Олар өзара байланысты емес, егер олардың кросс-ковариациялық матрицасы болса ғана ${ displaystyle operatorname {K} _ { mathbf {X} mathbf {Y}}}$ матрица нөлге тең.

Екі жағдайда күрделі кездейсоқ векторлар ${ displaystyle mathbf {Z}}$ және ${ displaystyle mathbf {W}}$ егер олар байланыссыз деп аталады

${ displaystyle operatorname {E} [ mathbf {Z} mathbf {W} ^ { rm {H}}] = operatorname {E} [ mathbf {Z}] operatorname {E} [ mathbf { W}] ^ { rm {H}}}$

және

${ displaystyle operatorname {E} [ mathbf {Z} mathbf {W} ^ { rm {T}}] = operatorname {E} [ mathbf {Z}] operatorname {E} [ mathbf { W}] ^ { rm {T}}.}$

Қасиеттері

Айқас ковариация матрицасына қатысты

Айқас корреляция байланысты ковариациялық матрица келесідей:

${ displaystyle operatorname {K} _ { mathbf {X} mathbf {Y}} = operatorname {E} [( mathbf {X} - operatorname {E} [ mathbf {X}]) ( mathbf {Y} - operatorname {E} [ mathbf {Y}]) ^ { rm {T}}] = operatorname {R} _ { mathbf {X} mathbf {Y}} - operatorname { E} [ mathbf {X}] operatorname {E} [ mathbf {Y}] ^ { rm {T}}}$

Күрделі кездейсоқ векторларға сәйкесінше:

${ displaystyle operatorname {K} _ { mathbf {Z} mathbf {W}} = operatorname {E} [( mathbf {Z} - operatorname {E} [ mathbf {Z}]) ( mathbf {W} - operatorname {E} [ mathbf {W}]) ^ { rm {H}}] = operatorname {R} _ { mathbf {Z} mathbf {W}} - operatorname { E} [ mathbf {Z}] operatorname {E} [ mathbf {W}] ^ { rm {H}}}$

Сондай-ақ қараңыз

• Автокорреляция
• Корреляция себептілікті білдірмейді
• Коварианс функциясы
• Пирсон өнім-момент корреляция коэффициенті
• Корреляциялық функция (астрономия)
• Корреляциялық функция (статистикалық механика)
• Корреляциялық функция (өрістің кванттық теориясы)
• Өзара ақпарат
• Қарқындылықтың бұрмалану теориясы
• Радиалды үлестіру функциясы

Әдебиеттер тізімі

Әрі қарай оқу

• Хейз, Монсон Х., Статистикалық цифрлық сигналдарды өңдеу және модельдеу, Джон Вили және ұлдары, Инк., 1996 ж. ISBN  0-471-59431-8.
• Соломон В. Голомб және Гуанггонг. Жақсы корреляция үшін сигнал дизайны: сымсыз байланыс, криптография және радиолокациялық байланыс. Кембридж университетінің баспасы, 2005 ж.
• М.Солтаналиан. Белсенді сезіну және байланыс үшін сигнал дизайны. Ғылым және технологиялар факультетінің Уппсала диссертациясы (Elanders Sverige AB баспасы), 2014 ж.