Кластерді кеңейту тәсілі - Cluster-expansion approach

The кластерді кеңейту тәсілі ішіндегі техника кванттық механика жүйелі түрде қысқартатын BBGKY иерархиясы өзара әрекеттесетін жүйелердің кванттық динамикасы шешілген кезде туындайтын мәселе. Бұл әдіс жабық жиынтығын шығаруға өте ыңғайлы сандық әр түрлі талдау үшін қолдануға болатын есептелетін теңдеулер көп денелі және / немесе кванттық-оптикалық мәселелер. Мысалы, ол кеңінен қолданылады жартылай өткізгіш кванттық оптика[1] және оны жалпылау үшін қолдануға болады жартылай өткізгішті Блох теңдеулері және жартылай өткізгішті люминесценция теңдеулері.

Фон

Кванттық теория мәні бойынша классикалық дәл мәндерді а-ға ауыстырады ықтималдық мысалы, а толқындық функция, а тығыздық матрицасы немесе а фазалық кеңістіктің таралуы. Тұжырымдамалық тұрғыдан әрқайсысының артында әрқашан, ең болмағанда формальды түрде ықтималдық үлестірімі болады байқалатын бұл өлшенеді. 1889 жылы, кванттық физика тұжырымдамасынан әлдеқайда бұрын, Торвальд Н. Тиль ұсынды кумуляторлар мүмкіндігінше аз мөлшерде болатын ықтималдық үлестірулерді сипаттайтын; ол оларды шақырды жартылай инварианттар.[2]Кумуляторлар сияқты шамалар тізбегін құрайды білдіреді, дисперсия, қиғаштық, куртоз және т.с.с., бұл көбірек кумуляторларды қолданған сайын үлестіруді жоғарылатумен анықтайды.

Кумуляторлар идеясын Фриц Костер кванттық физикаға айналдырды[3]және Герман Кюммель[4]оқу ниетімен ядролық көп денелік құбылыстар. Кейінірек, Jiři Čížek және Йозеф Палдус тәсілін кеңейтті кванттық химия күрделі атомдар мен молекулалардағы көп денелі құбылыстарды сипаттау үшін. Бұл жұмыс негізін енгізді қосарланған кластерлік тәсіл негізінен көп денелі толқындық функциялармен жұмыс істейді. Кластерлік тәсіл - күрделі молекулалардың кванттық күйлерін шешудің ең сәтті әдістерінің бірі.

Жылы қатты заттар, көп денелі толқындық функция толығымен күрделі құрылымға ие, сондықтан тікелей толқындық-функционалды-шешудің әдістері шешілмейді. Кластердің кеңеюі - бұл біріктірілген кластерлер тәсілінің нұсқасы[1][5]және ол жуықталған толқындық функцияның немесе тығыздық матрицасының кванттық динамикасын шешудің орнына корреляцияның динамикалық теңдеулерін шешеді. Ол көптеген денелік жүйелердің қасиеттері мен кванттық-оптикалық корреляцияларды өңдеуге бірдей сәйкес келеді, бұл оны өте қолайлы тәсіл етті жартылай өткізгіш кванттық оптика.

Әрдайым сияқты көп дене физикасы немесе кванттық оптика, қолдану өте ыңғайлы екінші кванттау формализм қатысты физиканы сипаттау. Мысалы, жарық өрісі арқылы сипатталады Босон құру және жою операторлары және сәйкесінше, қайда а импульсін анықтайды фотон. «Бас киім» аяқталды дегенді білдіреді оператор мөлшердің табиғаты. Көп денелі күй материяның электронды қозуынан тұратын кезде, ол толығымен анықталады Фермион құру және жою операторлары және сәйкесінше, қайда бөлшектердің импульсіне жатады ішкі болып табылады еркіндік дәрежесі, сияқты айналдыру немесе жолақ индексі.

Жіктелуі N-бөлшектер

Көп денелі жүйені кванттық-оптикалық қасиеттерімен бірге зерттегенде, бәрі өлшенеді күту мәндері түрінде көрсетілуі мүмкін N-бөлшектің күту мәні

қайда және қысқа импульс индекстері қысқаша болу үшін басылады. Бұл шамалар әдетте реттелген, яғни барлық құру операторлары сол жақта, ал барлық жою операторлары күту мәнінде оң жақта болады. Фермионды құру және жою операторларының мөлшері тең болмаса, бұл күту мәні жоғалып кететіндігін көрсету үшін алға қарай бет бұру керек.[6][7]

Гамильтониан жүйесі белгілі болғаннан кейін оны қолдануға болады Гейзенберг теңдеуі берілген динамиканы құру үшін қозғалыс -бөлшек операторы. Алайда көп денелі, сондай-ақ кванттық-оптикалық өзара әрекеттесулер жұптасады -бөлшектердің шамалары -бөлшектің күту мәндері, ол ретінде белгілі Боголюбов – Борн – Грин – Кирквуд – Ивон (BBGKY) иерархиясының проблемасы. Математикалық тұрғыдан алғанда, барлық бөлшектер бір-бірімен әсерлесіп, теңдеу құрылымына әкеледі

қайда функционалды иерархия проблемасы жоқ жарналарды бейнелейді және иерархиялық (Hi) байланыстыру үшін функционалды . Күту мәндерінің барлық деңгейлері нөлге тең болуы мүмкін болғандықтан, бөлшектердің нақты санына дейін, бұл теңдеуді қосымша қарастырусыз тікелей кесуге болмайды.

Кластерлердің рекурсивті анықтамасы

Кластерге-кеңейтуге негізделген жіктеудің схемалық көрінісі. Толық корреляция синглеттерден, дублеттерден, үштіктерден және жоғары ретті корреляциялардан тұрады, олардың барлығы кластерді кеңейту тәсілімен анықталған. Әрбір көк сфера бір бөлшек операторына, ал сары шеңберлер / эллипс корреляцияға сәйкес келеді. Корреляциядағы сфералар саны кластер санын анықтайды.

Корреляцияланған кластерлерді анықтағаннан кейін иерархия мәселесін жүйелі түрде қысқартуға болады. Қарапайым анықтамалар кластерлерді рекурсивті түрде анықтағаннан кейін жүреді. Төменгі деңгейде белгісі бар бір бөлшекті күту мәндерінің класы (синглдер) табылады . Кез-келген екі бөлшекті күту мәні факторизация әдісімен жуықтауға болады бір бөлшекті күту мәндерінің барлық мүмкін өнімдерінің формальды қосындысынан тұрады. Жалпы, синглдерді және анның синглдік факторизациясы -бөлшектің күту мәні. Физикалық тұрғыдан сингл факторизациясы Фермиондар өндіреді Hartree – Fock жуықтауы ал үшін Бозондар ол өнімді береді классикалық жуықтау мұнда Boson операторлары ресми түрде когерентті амплитудамен ауыстырылады, яғни. . Синглдік факторизация кластердің кеңеюінің бірінші деңгейін құрайды.

-Ның өзара байланысты бөлігі бұл нақты айырмашылық және сингл факторизациясы . Математикалық тұрғыдан алғанда, біреу табады

қайда үлес корреляцияланған бөлікті білдіреді, яғни . Идентификацияның келесі деңгейлері рекурсивті түрде жүреді[1] қолдану арқылы

мұндағы әрбір өнім термині бір факторизацияны символикалық және жанама түрде білдіреді, анықталған терминдер класы ішіндегі барлық факторизациялардың жиынтығын қамтиды. Таза корреляцияланған бөлімді деп белгілейді . Осылардың ішінен екі бөлшектің корреляциясы үш бөлшек корреляция кезінде дублеттерді анықтаңыз үшемдер деп аталады.

Бұл идентификация рекурсивті түрде қолданылатындықтан, иерархия мәселесінде қандай корреляциялар пайда болатындығын тікелей анықтауға болады. Сонан соң өзара байланысты корреляцияның кванттық динамикасын анықтайды

мұндағы факторизациялар сызықты емес муфтаны тудырады кластерлер арасында. Кластерлерді енгізу тікелей тәсілдің иерархиялық проблемасын жоя алмайтыны анық, өйткені иерархиялық үлес динамикада қалады. Бұл қасиет және сызықтық емес терминдердің пайда болуы кластерді кеңейту тәсілін қолдану үшін қиындықтар туғызатын сияқты.

Алайда, тікелей күту-мәндік тәсілден үлкен айырмашылық ретінде, көп денелі және кванттық-оптикалық өзара әрекеттесулер бірізділікпен корреляция тудырады.[1][8]Бірнеше өзекті мәселелерде, ең төменгі деңгейдегі кластерлердің бастапқыда мырышталмайтын жағдайлары болады, ал жоғары ретті кластерлер баяу құрастырылады. Бұл жағдайда иерархиялық муфтаны алып тастауға болады, , асатын деңгейде -бөлшектер кластері. Нәтижесінде теңдеулер тұйықталып, тек динамиканы есептеу керек -жүйенің тиісті қасиеттерін түсіндіру мақсатында бөлшектердің корреляциясы. Бастап бөлшектердің жалпы санынан әлдеқайда аз, кластерді кеңейту тәсілі көптеген денелік және кванттық-оптикалық зерттеулерге арналған прагматикалық және жүйелік шешім схемасын береді.[1]

Кеңейтімдер

Кванттық динамиканы сипаттаудан басқа, кванттық үлестірімді ұсыну үшін кластерлік-кеңейту тәсілін қолдануға болады. Мүмкіндіктердің бірі - квантталған жарық режимінің кванттық ауытқуын ұсыну кластерді кеңейтуді ұсынатын кластерлер бойынша. Сонымен қатар, оларды күту-мәнді ұсыну тұрғысынан білдіруге болады . Бұл жағдайда тығыздық матрицасы бірегей, бірақ сандық алшақтыққа әкелуі мүмкін. Бұл мәселені а енгізу арқылы шешуге болады кеңейту трансформациясы (CET)[9]а бөлу бөлігін білдіреді Гаусс, жоғары реттік кластерлермен анықталған, көпмүшеге көбейтілген синглдік-дублеттік үлестермен анықталады. Бұл тұжырымдау ұсынудан-бейнелеуге түрлендірулерде шекті конвергенцияны қамтамасыз етеді екен.

Бұл толығымен математикалық есептің тікелей физикалық қосымшасы бар. Классикалық кеңейту түріндегі өзгерісті классикалық өлшеуді кванттық-оптикалық өлшемге берік жобалау үшін қолдануға болады.[10]Бұл қасиет көбінесе CET-тің кез-келген үлестірімді Гауссты полиномдық көбейткішке көбейтетін түрінде сипаттау қабілетіне негізделген. Бұл әдістеме қазірдің өзінде қол жеткізу және оны шығару үшін қолданылады кванттық-оптикалық спектроскопия классикалық спектроскопиялық өлшеулер жиынтығынан, оларды сапалы орындау арқылы жүзеге асыруға болады лазерлер.

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ а б в г. e Кира, М .; Koch, S. W. (2011). Жартылай өткізгіш кванттық оптика. Кембридж университетінің баспасы. ISBN  978-0521875097
  2. ^ Lauritzen, S. L. (2002). Thiele: Статистиканың пионері. Оксфорд Унив. Түймесін басыңыз. ISBN  978-0198509721
  3. ^ Coester, F. (1958). «Көп бөлшекті жүйенің байланысқан күйлері». Ядролық физика 7: 421–424. дой:10.1016/0029-5582(58)90280-3
  4. ^ Коэстер, Ф .; Kümmel, H. (1960). «Ядролық толқындар функцияларындағы қысқа арақашықтық». Ядролық физика 17: 477–485. дой:10.1016/0029-5582(60)90140-1
  5. ^ Кира, М .; Кох, С. (2006). «Жартылай өткізгіштердің кванттық-оптикалық спектроскопиясы». Физикалық шолу A 73 (1). дой:10.1103 / PhysRevA.73.013813
  6. ^ Haug, H. (2006). Statistische Physik: Gleichgewichtstheorie und Kinetik. Спрингер. ISBN  978-3540256298
  7. ^ Бартлетт, Дж. (2009). Химия мен физикадағы көп денелі әдістер: MBPT және қос кластерлік теория. Кембридж университетінің баспасы. ISBN  978-0521818322
  8. ^ Моц, М .; Кира, М .; Koch, S. W. (2012). «Кванттық-оптикалық корреляциялардың дәйекті жинақталуы». Американың оптикалық қоғамының журналы B 29 (2): A17. дой:10.1364 / JOSAB.29.000A17
  9. ^ Кира, М .; Koch, S. (2008). «Кванттық оптикадағы кластерлік-кеңею көрінісі». Физикалық шолу A 78 (2). дой:10.1103 / PhysRevA.78.022102
  10. ^ Кира, М .; Кох С.В .; Смит, Р.П .; Hunter, A. E .; Cundiff, S. T. (2011). «Шредингер-мысық күйлерімен кванттық спектроскопия». Табиғат физикасы 7 (10): 799-804. дой:10.1038 / nphys2091

Әрі қарай оқу

  • Кира, М .; Koch, S. W. (2011). Жартылай өткізгіш кванттық оптика. Кембридж университетінің баспасы. ISBN  978-0521875097.
  • Шавитт, Мен .; Бартлетт, Дж. (2009). Химия мен физикадағы көп денелі әдістер: MBPT және қос кластерлік теория. Кембридж университетінің баспасы. ISBN  978-0521818322.