CLs әдісі (бөлшектер физикасы) - CLs method (particle physics)

Жылы бөлшектер физикасы, CLs^[1] білдіреді статистикалық орнату әдісі жоғарғы шектер (деп те аталады алып тастау шектері^[2]) үлгі бойынша параметрлері, белгілі бір формасы аралық бағалау тек теріс емес мәндерді қабылдай алатын параметрлер үшін қолданылады. CL туралы айтылғанымен Сенімділік деңгейі, «Әдістің атауы ... адастырады, өйткені CL-ді алып тастау аймағы емес сенімділік аралығы."^[3] Оны алғаш жұмыс істейтін физиктер енгізді LEP бойынша эксперимент CERN және содан бері көптеген адамдар қолданды жоғары энергия физикасы тәжірибелер. Бұл жиі кездесетін шегі қасиеттері арқылы анықталатын мағынадағы әдіс қателік ықтималдығы дегенмен, оның стандартты сенім аралықтарынан айырмашылығы, көрсетілген аралықтың сенімділік деңгейі оның деңгейіне тең емес қамту мүмкіндігі. Бұл ауытқудың себебі - а-ға негізделген стандартты жоғарғы шектер ең қуатты тест параметр мәні нөлге тең болған кезде белгілі бір ықтималдықпен бос аралықтарды міндетті түрде шығарады, ал бұл қасиетті физиктер мен статистиктердің көпшілігі жағымсыз деп санайды.^[4]

CLs әдісімен алынған жоғарғы шектер әрқашан параметрдің нөлдік мәнін қамтиды, демек, осы кезде қамту ықтималдығы әрқашан 100% құрайды. CL-дің анықтамасы нақты теориялық шеңберден шықпайды статистикалық қорытынды және сондықтан кейде ретінде сипатталады осы жағдай үшін. Оның тұжырымдамаларымен жақын ұқсастығы бар статистикалық дәлелдемелер^[5]статист ұсынған Аллан Бирнбаум.

Анықтама

Келіңіздер X болуы а кездейсоқ іріктеме а ықтималдықтың таралуы нағыз теріс емес параметр ${ displaystyle theta in [0, infty)}$. A CLs параметрдің жоғарғы шегі θ, сенімділік деңгейімен ${ displaystyle 1- alpha '}$, бұл статистикалық (яғни, байқалатын) кездейсоқ шама ) ${ displaystyle theta _ {up} (X)}$ меншігі бар:

${ displaystyle { frac { mathbb {P} ( theta _ {up} (X) < theta | theta)} { mathbb {P} ( theta _ {up} (X) < theta | 0)}} leq alpha '{ text {барлығы үшін}} theta.}$

(1)

Теңсіздік анықтамада таралған жағдайларды есепке алу үшін қолданылады X дискретті және теңдікке дәл жету мүмкін емес. Егер таралу X болып табылады үздіксіз онда мұны теңдікпен ауыстыру керек. Анықтама «.» қамту мүмкіндігі ${ displaystyle mathbb {P} ( theta _ {up} (X) geq theta | theta)}$ әрқашан қарағанда үлкен ${ displaystyle 1- alpha '}$.

Баламалы анықтаманы a ескере отырып жасауға болады гипотезаны тексеру нөлдік гипотезаның ${ displaystyle H_ {0}: theta = theta _ {0}}$ баламаға қарсы ${ displaystyle H_ {1}: theta = 0}$. Содан кейін нөмірлеуіш (1), кезінде бағаланады ${ displaystyle theta _ {0}}$, сәйкес келеді I типті қате ықтималдығы (${ displaystyle alpha}$) тесттің (яғни, ${ displaystyle theta _ {0}}$ қашан қабылданбайды ${ displaystyle theta _ {up} (X) < theta _ {0}}$) және бөлгіш күш (${ displaystyle 1- beta}$). Қабылдамау критерийі ${ displaystyle H_ {0}}$ осылайша қатынас қажет ${ displaystyle alpha / (1- beta)}$ қарағанда кіші болады ${ displaystyle alpha '}$. Мұны интуитивті түрде осылай деп түсіндіруге болады ${ displaystyle theta _ {0}}$ алынып тасталды, өйткені ол ${ displaystyle alpha '}$ сияқты экстремалды нәтижені байқау ықтималдығы аз X қашан ${ displaystyle theta _ {0}}$ балама болғаннан гөрі шындық ${ displaystyle theta = 0}$ шындық

Жоғарғы шекті есептеу әдетте a құру арқылы жүзеге асырылады сынақ статистикасы ${ displaystyle q _ { theta} (X)}$ және мәнін табу ${ displaystyle theta}$ ол үшін

${ displaystyle { frac { mathbb {P} (q _ { theta} (X) geq q _ { theta} ^ {*} | theta)} { mathbb {P} (q _ { theta}) X) geq q _ { theta} ^ {*} | 0)}} = альфа '.}$

қайда ${ displaystyle q _ { theta} ^ {*}}$ - эксперименттің байқалған нәтижесі.

Жоғары энергия физикасында қолдану

Сияқты бөлшектерді үдеткіш тәжірибелерінде алынған тәжірибелік нәтижелердің көптеген жарияланымдарында CLs әдісіне негізделген жоғарғы шектер қолданылды LEP, Теватрон және LHC, жаңа бөлшектерді іздестіру кезінде ең танымал.

Шығу тегі

CL-дің түпнұсқа мотиві физик Г.Зек ұсынған ықтималдықтың шартты есебіне негізделген^[6] оқиғаларды санау эксперименті үшін. Тәжірибе өлшемнен тұрады делік ${ displaystyle n}$ сипатталатын сигналдық және фондық процестерден болатын оқиғалар Пуассонның таралуы сәйкес ставкалармен ${ displaystyle s}$ және ${ displaystyle b}$, атап айтқанда ${ displaystyle n sim { text {Poiss}} (s + b)}$. ${ displaystyle b}$ белгілі және деп болжануда ${ displaystyle s}$ - экспериментпен бағаланатын параметр. Жоғарғы шекті орнатудың стандартты процедурасы ${ displaystyle s}$ эксперименттік нәтиже берілді ${ displaystyle n ^ {*}}$ мәндерін қоспағанда тұрады ${ displaystyle s}$ ол үшін ${ displaystyle mathbb {P} (n leq n ^ {*} | s + b) leq alpha}$, бұл кем дегенде кепілдік береді ${ displaystyle 1- альфа}$ қамту. Мысалы, жағдайды қарастырайық ${ displaystyle b = 3}$ және ${ displaystyle n ^ {*} = 0}$ оқиғалар байқалады, содан кейін біреу табады ${ displaystyle s + b geq 3}$ 95% сенімділік деңгейінде алынып тасталды. Бірақ бұл мұны білдіреді ${ displaystyle s geq 0}$ алынып тасталды, атап айтқанда барлық мүмкін мәндері ${ displaystyle s}$. Мұндай нәтижені түсіндіру қиын, өйткені эксперимент мәні бойынша өте аз мәндерді ажырата алмайды ${ displaystyle s}$ тек фондық гипотезадан, және осылайша мұндай кіші мәндердің алынып тасталатынын жариялау (тек фондық гипотезаның пайдасына) орынсыз болып көрінеді. Осы қиындықты жеңу үшін Зех ықтималдықты шарттады ${ displaystyle n leq n ^ {*}}$ байқау бойынша ${ displaystyle n_ {b} leq n ^ {*}}$, қайда ${ displaystyle n_ {b}}$ - бұл фондық оқиғалардың (өлшенбейтін) саны. Мұның негізі - қашан ${ displaystyle n_ {b}}$ кішігірім болса, процедура қашаннан гөрі қате шығарады (яғни нақты мәнді қамтымайтын аралық) ${ displaystyle n_ {b}}$ үлкен, ал таралуы ${ displaystyle n_ {b}}$ өзі тәуелсіз ${ displaystyle s}$. Яғни, жалпы қателіктер туралы емес, іріктеудегі фондық оқиғалар саны туралы білімді ескере отырып, шартты ықтималдылық туралы хабарлау керек. Бұл шартты ықтималдық

${ displaystyle mathbb {P} (n leq n ^ {*} | n_ {b} leq n ^ {*}, s + b) = { frac { mathbb {P} (n leq n ^ {*}, n_ {b} leq n ^ {*} | s + b)} { mathbb {P} (n_ {b} leq n ^ {*} | s + b)}} = { frac { mathbb {P} (n leq n ^ {*} | s + b)} { mathbb {P} (n leq n ^ {*} | b)}}.}$

жоғарыда аталған CL-дің анықтамасына сәйкес келеді. Бірінші теңдік жай анықтамасын қолданады Шартты ықтималдылық, ал екінші теңдік мынада, егер болса ${ displaystyle n leq n ^ {*} Rightarrow n_ {b} leq n ^ {*}}$ және фондық оқиғалар саны сигнал күшіне тәуелді емес.

Шартты аргументті жалпылау

Zech-тің шартты аргументін жалпы жағдайда ресми түрде кеңейтуге болады. Айталық ${ displaystyle q (X)}$ Бұл сынақ статистикасы одан сенімділік аралығы алынады және рұқсат етіледі

${ displaystyle p _ { theta} = mathbb {P} (q (X)> q ^ {*} | theta)}$

қайда ${ displaystyle q *}$ - эксперименттің нәтижесі. Содан кейін ${ displaystyle p _ { theta}}$ өлшенбейтін деп санауға болады (өйткені ${ displaystyle theta}$ белгісіз) кездейсоқ шама, оның таралуы 0-ден 1-ге тәуелсіз біркелкі ${ displaystyle theta}$. Егер тест бейтарап болса, онда нәтиже шығады ${ displaystyle q *}$ білдіреді

${ displaystyle p _ { theta} leq mathbb {P} (q (X)> q ^ {*} | 0) equiv p_ {0} ^ {*}}$

одан, кондиционерге ұқсас ${ displaystyle n_ {b}}$ алдыңғы жағдайда біреу алады

${ displaystyle mathbb {P} (q (X) geq q ^ {*} | p _ { theta} leq p_ {0} ^ {*}, theta) = { frac { mathbb {P} (q (X) geq q ^ {*} | theta)} { mathbb {P} (p _ { theta} leq p_ {0} ^ {*} | theta)}} = { frac { mathbb {P} (q (X) geq q ^ {*} | theta)} {p_ {0} ^ {*}}} = { frac { mathbb {P} (q (X) geq q ^ {*} | theta)} { mathbb {P} (q (X)> q ^ {*} | 0)}}.}$

Іргетас принциптерімен байланысы

Бұл бөлім болуы мүмкін материалды синтездеу олай емес нақты түрде атап өтіңіз немесе байланыстыру негізгі тақырыпқа. Тиісті талқылауды табуға болады талқылау беті. (Сәуір 2016) (Бұл шаблон хабарламасын қалай және қашан жою керектігін біліп алыңыз)

Жоғарыда келтірілген аргументтерді рухқа сүйене отырып қарастыруға болады шарттылық принципі статистикалық қорытынды, дегенмен, олар ан-дың болуын қажет етпейтін шарттылықтың неғұрлым жалпыланған түсінігін білдіреді қосымша статистика. The шарттылық принципі дегенмен, әлдеқайда шектеулі нұсқасында ресми түрде ықтималдылық принципі, белгілі нәтиже Бирнбаум.^[7] CL-лар бұл ережеге бағынбайды ықтималдылық принципі және, осылайша, мұндай пайымдаулар негізділік тұрғысынан теориялық толықтығын емес, дәлелділікті ұсыну үшін ғана қолданылуы мүмкін. (Алайда, егер кез-келген редистист әдісі туралы айтуға болады шарттылық принципі қажет деп саналады).

Бирнбаумның өзі 1962 жылғы мақаласында CL-нің арақатынасын ұсынды ${ displaystyle alpha / (1- beta)}$ күшінің өлшемі ретінде қолдану керек статистикалық дәлелдемелер емес, маңыздылық сынақтарымен қамтамасыз етілген ${ displaystyle alpha}$ жалғыз. Бұл қарапайым қолданбадан кейін пайда болды ықтималдылық принципі егер эксперименттің нәтижесі туралы «қабылдау» / «қабылдамау» шешімі түрінде ғана хабарлау қажет болса, онда жалпы процедура ықтималдықтары бар екі ғана нәтиже беретін экспериментке баламалы болады ${ displaystyle alpha}$,${ displaystyle (1- бета)}$ және ${ displaystyle 1- альфа}$,${ displaystyle ( beta)}$ астында ${ displaystyle H_ {1}, (H_ {2})}$. The ықтималдылық коэффициенті нәтижесімен байланысты «қабылдамаңыз ${ displaystyle H_ {1}}$«сондықтан ${ displaystyle alpha / (1- beta)}$ және, демек, осы нәтиженің дәлелді түсіндірмесін анықтауы керек. (Екі қарапайым гипотезаны тексеру үшін ықтималдылық коэффициенті ықшам бейнесі болғандықтан ықтималдылық функциясы ). Екінші жағынан, егер ықтималдық принципі үнемі сақталатын болса, онда бастапқы нәтиженің ықтималдылық коэффициенті қолданылуы керек ${ displaystyle alpha / (1- beta)}$, мұндай түсіндірудің негізін күмәнді ете отырып. Кейін Бирнбаум мұны «дәлелді түсіндіру үшін ең көп эвристикалық, бірақ мәні жоқ» деп сипаттады.

Осыған ұқсас тұжырымға әкелетін тікелей әдісті Бирнбаум тұжырымдамасынан табуға болады Сенімділік принципі, бұл, кең таралған нұсқадан айырмашылығы, екі түрдегі қателік ықтималдығын білдіреді. Бұл келесідей:^[8]

«Статистикалық дәлелдер тұжырымдамасы, егер олар үшін нақты дәлелдер болмаса, сенімді болмайды ${ displaystyle H_ {2}}$ қарсы ${ displaystyle H_ {1}}$'ықтималдығы аз (${ displaystyle alpha}$) қашан ${ displaystyle H_ {1}}$ шындық және үлкен ықтималдықпен (1 -${ displaystyle beta}$) қашан ${ displaystyle H_ {2}}$ шындық «

Мұндай сенімділік анықтамасы, әрине, CL анықтамасымен қанағаттандырылатын сияқты. Бұл және неғұрлым кең тарағаны шындық болып қалады (байланысты Нейман -Пирсон теория) сенімділіктің нұсқалары ықтималдылық принципімен үйлеспейді, сондықтан ешқандай интервалисттік әдіс сенімділік интервалдарының шартты қасиеттерін ескере отырып қойылған мәселелердің шынымен толық шешімі ретінде қарастырыла алмайды.

Үлкен шекті мөлшерде есептеу

Егер белгілі бір заңдылық шарттары орындалса, онда жалпы ықтималдық функциясы а болады Гаусс функциясы үлкен үлгі шегінде. Мұндай жағдайда CL деңгейінің сенімділік деңгейінің жоғарғы шегі ${ displaystyle 1- alpha '}$ (алынған ең қуатты тест ) арқылы беріледі^[9]

${ displaystyle theta _ {up} = { hat { theta}} + sigma Phi ^ {- 1} (1- alpha ' Phi ({ hat { theta}} / sigma)) ,}$

қайда ${ displaystyle Phi}$ болып табылады стандартты жинақталған үлестіру, ${ displaystyle { hat { theta}}}$ болып табылады максималды ықтималдығы бағалаушы ${ displaystyle theta}$ және ${ displaystyle sigma}$ оның стандартты ауытқу; соңғысы кері санынан бағалануы мүмкін Фишер туралы ақпарат матрица немесе «Асимов» көмегімен^[9] деректер жиынтығы. Бұл нәтиже а-ға тең болады Байес сенімді аралық егер форма болса дейін үшін ${ displaystyle theta}$ қолданылады.

Әдебиеттер тізімі

Әрі қарай оқу

• Леон Джей Глезер (2002). «[Шектелген параметрлерге сенімділік аралықтарын орнату]: түсініктеме». Статистикалық ғылым. 17 (2): 161–163. дои:10.1214 / ss / 1030550859. JSTOR  3182818.
• Фрейзер, Д.А.С .; Рейд Н .; Wong, A. C. M. (2004). «Шектелген параметрлер туралы қорытынды». Физ. Аян Д.. 69 (3): 033002. arXiv:физика / 0303111. дои:10.1103 / PhysRevD.69.033002. S2CID  18947032.
• Роберт Д.Кузинс (2011). «Шектелген физикалық параметрге ең күшті біржақты жоғарғы сенімділік шектері шығарған сәйкес ішкі жиынтықтар теріс». arXiv:1109.2023 [физика.ата-ан ].

Сыртқы сілтемелер

• Particle Data Group (PDG) статистикалық әдістерін шолу