Бриллоуин және Ланжевин функциялары - Brillouin and Langevin functions - Wikipedia

The Бриллоуин және Ланжевин функциялары болып табылады арнайы функциялар идеализацияланған кезде пайда болатын парамагниттік материал статистикалық механика.

Бриллюин функциясы

The Бриллюин функциясы[1][2] келесі теңдеумен анықталған ерекше функция:

Функция әдетте контексте қолданылады (төменде қараңыз), онда х нақты айнымалы болып табылады және Дж оң бүтін немесе жарты бүтін сан болып табылады. Бұл жағдайда функция -1-ден 1-ге дейін өзгереді, +1 ретінде жақындайды және -1 ретінде .

Функция-ны есептеу кезінде пайда болуымен жақсы танымал магниттеу идеал парамагнет. Атап айтқанда, ол магниттелудің тәуелділігін сипаттайды қолданбалы магнит өрісі және жалпы бұрыштық импульс кванттық саны Микроскопиялық J магниттік моменттер материалдың. Магниттеу:[1]

қайда

  • көлем бірлігіне келетін атомдар саны,
  • The g-фактор,
  • The Бор магнетоны,
  • - қатынасы Зиман сыртқы өрістегі магниттік моменттің энергиясы жылу энергиясына дейін :[1]

SI бірліктер жүйесінде екенін ескеріңіз Теслада берілген магнит өрісі, , қайда - бұл қосалқы магнит өрісі А / м және болып табылады вакуумның өткізгіштігі.

Такактар[3] Brillouin функциясының кері мәніне келесі жуықтауды ұсынды:

мұндағы тұрақтылар және деп анықталды

Langevin функциясы

Лангевин функциясы (көк сызық), салыстырғанда (қызыл сызық).

Классикалық шектерде моменттерді өрісте үздіксіз туралауға болады барлық мәндерді қабылдай алады (). Brillouin функциясы кейін оңайлатылады Langevin функциясы, атындағы Пол Ланжевин:

Кіші мәндері үшін х, Langevin функциясын оның қысқартылуымен жуықтауға болады Тейлор сериясы:

Баламалы жақсырақ жақындастыруды келесіден алуға боладыЛамберттің жалғасы кеңейту tanh (х):

Кішкентай үшін х, екі жуықтау нақты аналитикалық өрнекті тікелей бағалауға қарағанда сан жағынан жақсы, өйткені соңғысы зардап шегеді маңыздылығын жоғалту.

Лангевиннің кері функциясы L−1(х) (−1, 1) ашық аралықта анықталады. Кіші мәндері үшін х, оны қысқарту арқылы жуықтауға болады Тейлор сериясы[4]

және Паде шамамен

Коэн мен Джединактың жуықтауы үшін x ∈ [0, 1) үшін салыстырмалы қателік графиктері

Бұл функцияның жабық формасы болмағандықтан, мәндерінің ерікті мәндеріне сәйкес жуықтаулардың пайдасы бар х. (−1, 1) диапазонында жарамды бір танымал жуықтаманы А.Коэн жариялады:[5]

Мұның жанында максималды салыстырмалы қателік 4,9% құрайды х = ±0.8. Р. Джединак ​​берген формуланы қолдану арқылы үлкен дәлдікке қол жеткізуге болады:[6]

жарамды х ≥ 0. Бұл жуықтаудың максималды салыстырмалы қателігі x = 0,85 маңында 1,5% құрайды. М.Крогер берген формуланы қолдану арқылы одан да үлкен дәлдікке қол жеткізуге болады:[7]

Осы жуықтаудың максималды салыстырмалы қателігі 0,28% -дан аз. Дәлірек жуықтау туралы Р.Петросян хабарлады:[8]

жарамды х ≥ 0. Жоғарыда келтірілген формула үшін максималды салыстырмалы қателік 0,18% -дан аз.[8]

Р. Джединак ​​берген жаңа жуықтау,[9] күрделілігі бойынша ең жақсы есепті шамамен 11 болып табылады:

үшін жарамды х ≥ 0. Оның максималды салыстырмалы қателігі 0,076% -дан аз.[9]

Лангевиннің кері функциясына жақындатқыштардың қазіргі заманғы диаграммасы төмендегі суретті ұсынады. Бұл рационалды / Padé жуықтаушылары үшін жарамды,[7][9]

Лангевин функциясына кері жуықтаудың қазіргі заманғы диаграммасы,[7][9]

Р. Джединактың жақында жарияланған мақаласы,[10] кері Лангевин функциясына оңтайлы жуықтамалар қатарын ұсынады. Төмендегі кестеде нәтижелер дұрыс асимптотикалық мінез-құлықпен көрсетілген,[7][9][10].


Шектеулермен есептелген әр түрлі оңтайлы рационалды жуықтамалардың салыстырмалы қателіктерін салыстыру (8-қосымша 1-кесте)[10]

КүрделілікОңтайлы жуықтауСалыстырмалы максималды қателік [%]
313
40.95
50.56
60.16
70.082


Жақында Бенитес пен Монтанс сплайн интерполяциясына негізделген тиімді машинаға жақын дәлдікті ұсынды,[11] мұнда Matlab коды сплайнға негізделген жуықтауды құру үшін және барлық функциялар аймағында бұрын ұсынылған жуықтаушылардың көбін салыстыру үшін беріледі.

Жоғары температура шегі

Қашан яғни қашан кіші, магниттелудің өрнегін Кюри заңы:

қайда тұрақты болып табылады. Мұны атап өтуге болады Бор магнетондарының тиімді саны.

Жоғары өріс шегі

Қашан , Brillouin функциясы 1-ге ауысады. Магниттеу магниттік моменттерге толығымен қолданылатын өріске сәйкес келеді:

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ а б c г. C. Киттел, Қатты дене физикасына кіріспе (8-ші басылым), 303-4 беттер ISBN  978-0-471-41526-8
  2. ^ Дарби, М.И. (1967). «Бриллуин функциясының және өздігінен магниттелуге қатысты функцияның кестелері». Br J. Appl. Физ. 18 (10): 1415–1417. Бибкод:1967BJAP ... 18.1415D. дои:10.1088/0508-3443/18/10/307.
  3. ^ Такакс, Джено (2016). «Brillouin және оның кері функциясы үшін жуықтамалар». КҮШТІ. 35 (6): 2095. дои:10.1108 / COMPEL-06-2016-0278.
  4. ^ Джохал, А.С .; Дунстан, Дж. (2007). «Микроскопиялық потенциалдардан жасалған каучуктың энергетикалық функциялары». Қолданбалы физика журналы. 101 (8): 084917. Бибкод:2007ЖАП ... 101h4917J. дои:10.1063/1.2723870.
  5. ^ Коэн, А. (1991). «Кері Лангевин функциясына жуық Паде». Rheologica Acta. 30 (3): 270–273. дои:10.1007 / BF00366640. S2CID  95818330.
  6. ^ Джединак, Р. (2015). «Лангевиннің кері функциясын жуықтау қайта қаралды». Rheologica Acta. 54 (1): 29–39. дои:10.1007 / s00397-014-0802-2.
  7. ^ а б c г. Крёгер, М. (2015). «Күшті полимерлі деформациялар мен ағындарға сәйкес келетін кері Лангевин және Бриллюин функцияларының қарапайым, рұқсат етілген және дәл жуықтамалары». J Ньютондық емес сұйықтық. 223: 77–87. дои:10.1016 / j.jnnfm.2015.05.007.
  8. ^ а б Петросян, Р. (2016). «Полимердің кеңеюінің кейбір модельдерінің жақсаруы». Rheologica Acta. 56: 21–26. arXiv:1606.02519. дои:10.1007 / s00397-016-0977-9. S2CID  100350117.
  9. ^ а б c г. e Джединак, Р. (2017). «Лангевиннің кері функциясын жуықтауға қатысты жаңа фактілер». Ньютондық емес сұйықтық механикасы журналы. 249: 8–25. дои:10.1016 / j.jnnfm.2017.09.003.
  10. ^ а б c Джединак, Р. (2018). «Лангевиннің кері функциясын жуықтау үшін қолданылатын математикалық әдістерді кешенді зерттеу». Қатты денелердің математикасы және механикасы. 24 (7): 1–25. дои:10.1177/1081286518811395. S2CID  125370646.
  11. ^ Бенитес, Дж .; Montáns, FJ (2018). «Лангевиннің кері функциясын жоғары дәлдікпен есептеудің қарапайым және тиімді сандық процедурасы». Ньютондық емес сұйықтық механикасы журналы. 261: 153–163. arXiv:1806.08068. дои:10.1016 / j.jnnfm.2018.08.011. S2CID  119029096.