Боусфилдті локализациялау - Bousfield localization

Жылы категория теориясы, математика бөлімі, а (сол жақта) Боусфилдті локализациялау а модель категориясы модель құрылымын сол кофибрацияларымен, бірақ әлсіз эквиваленттерімен басқа модель құрылымымен ауыстырады.

Боусфилдті локализациялау атымен аталған Олдриж Боусфилд, кім бұл техниканы локализация аясында алғаш енгізген топологиялық кеңістіктер және спектрлер.[1][2]

Боусфилд локализациясының модельдік категория құрылымы

Берілген сынып C а-дағы морфизмдер туралы модель категориясы М сол жақтағы Боусфилд локализациясы - бұрынғы санаттағы жаңа модель құрылымы. Оның баламалары, кофибрациялар және фибрациялар сәйкесінше болып табылады

  • The C-жергілікті эквиваленттер
  • түпнұсқа кофибрациясы М

және (міндетті түрде, өйткені кофибрациялар мен әлсіз эквиваленттер фибрацияны анықтайды)

  • бар карталар оңға көтеру мүлкі ішіндегі кофибрацияларға қатысты М олар да C-жергілікті эквиваленттер.

Бұл анықтамада а C-жергілікті эквиваленттілік - бұл карта бұл, егер шамамен айтқанда, a-ға кескін жасау кезінде өзгеріс жасамаса C-жергілікті объект. Дәлірек айтсақ, әлсіз эквиваленттігі қажет ( қарапайым жиындар ) кез келген үшін C-жергілікті объект W. Нысан W аталады C-жерлі, егер ол талшықты болса (in.) М) және

үшін әлсіз эквиваленттік болып табылады барлық карталар жылы C. Белгі жалпы модель санаты үшін (міндетті емес) байытылған қарапайым жиындар үстінен) белгілі бір қарапайым жиын, оның жиынтығы жол компоненттері морфизмдерімен келіседі гомотопия санаты туралы М:

Егер М - бұл қарапайым модель категориясы (мысалы, қарапайым жиынтықтар немесе топологиялық кеңістіктер), содан кейін жоғарыда келтірілген «карта» туындысын қарапайым алынған карталар кеңістігі ретінде қабылдауға болады М.

Бұл сипаттама осы модель құрылымының бар екендігі туралы ешқандай талап қоймайды, ол үшін төменде қараңыз.

Екі жақты, деген ұғым бар Боусфилдтің оң жақ локализациясы, оның анықтамасы кофибрацияны фибрациялармен ауыстыру арқылы алынады (және барлық көрсеткілердің бағыттарын кері бұру).

Бар болу

Жоғарыда сипатталғандай сол жақтағы Боусфилдтің локализация моделінің құрылымы әр түрлі жағдайда болатыны белгілі C жиын:

  • М дұрыс қалдырылған (яғни, әлсіз эквивалентті кофибрация бойынша итеру - қайтадан әлсіз эквиваленттік) және комбинаторлық
  • М дұрыс және ұялы қалдырылған.

Модельдік санаттың үйлесімділігі мен ұялығы, атап айтқанда, кофибрацияларына күшті бақылауды қамтамасыз етеді М.

Сол сияқты, Боусфилдтің оң локализациясы бар, егер М дұрыс, ұялы немесе комбинаторлы, ал C жиынтық.

Әмбебап меншік

The оқшаулау (жай) санаттағы C сыныпқа қатысты W морфизмдер келесі әмбебап қасиетті қанағаттандырады:

  • Бар функция барлық морфизмдерді жібереді W изоморфизмдерге дейін.
  • Кез-келген функция жібереді W изоморфизмге дейін Д. Бұрын аталған функцияға қарағанда факторлар.

Боусфилдтің локализациясы - қарапайым категориялар теориясындағы изоморфизмдер әлсіз эквиваленттермен ауыстырылатындығын ескере отырып, модельдік категорияларға сәйкес келетін ұқсас ұғым. Яғни, (сол жақта) Боусфилдті локализациялау осындай

  • Бар сол жақта Квиллен функция солдан шыққан функционер барлық морфизмдерді жібереді C әлсіз эквиваленттерге.
  • Кез-келген сол жақтағы Квиллен функциясы сол жақтан шыққан функциясы жібереді C арқылы әлсіз эквиваленттік факторларға дейін .

Мысалдар

Локализация және спектрдің аяқталуы

Локализация және жай сандағы спектрдің аяқталуы б екеуі де Боусфилдтің локализациясының мысалдары, нәтижесінде а жергілікті спектр. Мысалы, спектр спектрі S кезінде б, біреуін алады a жергілікті сала .

Спектрлер бойынша тұрақты модель құрылымы

The тұрақты гомотопия категориясы - тұрақты модель құрылымымен қамтамасыз етілген спектрлердің гомотопиялық категориясы (модельдік категориялар мағынасында). Тұрақты модель құрылымы әлсіз эквиваленттері (фибрациялар) барлық деңгейлердегі әлсіз эквиваленттер (сәйкесінше, фибрациялар) болып табылатын спектрлердегі деңгейлік (немесе проективті) модель құрылымын Бусфилдтің сол жақ оқшаулауы ретінде алынады.[3]

Dg санаттары бойынша Morita модель құрылымы

Кіші dg санаттары санатындағы Morita модель құрылымы стандартты модель құрылымын Bousfield оқшаулау болып табылады (ол үшін әлсіз эквиваленттер квази-эквиваленттер болып табылады).

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ Олдридж Боусфилд, Гомологияға қатысты спектрлерді локализациялау, Топология 18 том (1979)
  2. ^ Олдридж Боусфилд, Гомологияға қатысты кеңістікті локализациялау, Топология т. 14 (1975)
  3. ^ Хови, Марк (2001). «Жалпы модель категорияларындағы спектрлер мен симметриялық спектрлер». Таза және қолданбалы алгебра журналы. 3 бөлім. 165 (1): 63–127. arXiv:математика / 0004051. дои:10.1016 / s0022-4049 (00) 00172-9. МЫРЗА  1860878.CS1 maint: орналасқан жері (сілтеме)

Сыртқы сілтемелер