Биполярлық бағыт - Bipolar orientation

Жылы графтар теориясы, а биполярлық бағдар немесе ст-бағдарлау туралы бағытталмаған граф - бұл әр шетке бағытты тағайындау (an бағдар ) бұл графиктің а-ға айналуына әкеледі бағытталған ациклдік график бір көзбен с және бір раковина т, және ст- нөмірлеу графиктің а топологиялық тапсырыс нәтижесінде бағытталған ациклдік графиктің.[1][2]

Анықтамалар және болмыс

Келіңіздер G = (V,E) көмегімен бағытталмаған граф болуы керек n = |V| төбелер. Ан бағдар туралы G - бұл әр бағытқа бағыт тағайындау G, оны а бағытталған граф. Бұл ациклдік бағыт егер алынған бағытталған графта жоқ болса бағытталған циклдар. Әрбір ациклдік бағытталған графиктің кем дегенде біреуі болады қайнар көзі (кіретін шеттері жоқ шың) және кем дегенде біреуі батып кету (шығатын шеттері жоқ шың); бұл биполярлық бағдар, егер оның дәл бір көзі және дәл бір раковинасы болса. Кейбір жағдайларда, G белгіленген екі шыңмен бірге берілуі мүмкін с және т; бұл жағдайда үшін биполярлық бағдар с және т болуы керек с оның бірегей көзі ретінде және т оның бірегей раковинасы ретінде.[1][2]

Ан ст- нөмірлеу G (қайтадан, белгіленген екі шыңмен с және т) - бұл 1-ден -ге дейінгі бүтін сандардың тағайындалуы n шыңдарына дейін G, осылай

  • әр шыңға нақты сан беріледі,
  • с 1 нөмірі беріледі,
  • т нөмір беріледі n, және
  • егер шың болса v нөмір беріледі мен 1 <мен < n, онда кем дегенде бір көрші v қарағанда аз сан беріледі мен және ең болмағанда бір көршісі v қарағанда үлкен сан тағайындалады мен.[1][2][3]

Графиктің биполярлы бағыты бар, егер ол бар болса ғана ст- нөмірлеу. Егер оның биполярлық бағыты болса, онда ст- нөмірлеу а табу арқылы жасалуы мүмкін топологиялық тапсырыс бағдар бойынша берілген ациклдік графиктің және әр шыңның орналасу ретімен нөмірленуі. Басқа бағытта, әрқайсысы ст-нөмірлеу топологиялық реттілікті тудырады, онда әр шеті G төменгі нөмірленген соңғы нүктеден жоғары нөмірленген соңғы нүктеге бағытталған.[1][2] Жиегі бар графикте ст, бағдар биполярлы болады, егер ол ациклді болса және бағдар кері жиектен пайда болса ғана ст болып табылады толығымен циклдік.[2]

Байланыстырылған график G, белгіленген шыңдармен с және т, биполярлық бағыты бар және ан ст- егер графиктен құрылған болса ғана нөмірлеу G шетін қосу арқылы с дейін т болып табылады 2 шыңға байланысты.[3] Бір бағытта, егер бұл график 2-шыңмен байланысты болса, онда әр құлақты бір-біріне дәйекті бағыттау арқылы биполярлық бағдар алуға болады құлақтың ыдырауы график.[4] Басқа бағытта, егер график 2-төбеге байланысты болмаса, онда оның артикуляциялық шыңы болады v кейбір қосарланған компонентті бөлу G бастап с және т. Егер бұл компоненттен төмен санмен шың болса v, онда компоненттегі ең төменгі нөмірлі шыңның төменгі нөмірлі көршісіне ие бола алмайды және егер оның құрамында жоғары шегі бар болса, симметриялы түрде v онда компоненттегі ең жоғары нөмірлі шыңның жоғары санды көршісі бола алмайды.

Жоспарлылыққа қосымшалар

Lempel, тіпті & Седербаум (1967) тұжырымдалған ст-бөліміндегі нөмірлеу жоспарлы тестілеу алгоритм,[3] және Розенстиль және Таржан (1986) құрастыру алгоритмінің бөлігі ретінде тұжырымдалған биполярлық бағдарлар tessellation өкілдіктері туралы жазықтық графиктер.[1]

Планарлы графиктің биполярлы бағыты нәтижесінде ст-жоспарлы график, бір көзі және бір раковинасы бар бағытталған ациклдік планарлы график. Бұл графиктердің маңыздылығы өте зор тор теориясы сияқты графикалық сурет: Диаграмма а екі өлшемді тор міндетті түрде болуы керек ст-жоспар, және әрқайсысы өтпелі түрде азаяды ст-пландық график осылайша екі өлшемді торды бейнелейді.[5] Бағытталған ациклдік график G бар жоғары жазықтықта сурет салу егер және егер болса G -ның субографиясы ст-жоспарлы график.[6]

Алгоритмдер

Ан табуға болады ст- берілген шыңдармен берілген графиктің нөмірленуі және биполярлы бағыты с және т, жылы сызықтық уақыт қолдану бірінші тереңдік.[7][8][9] Алгоритмі Таржан (1986) шыңнан басталатын тереңдіктегі іздеуді қолданады с және бірінші шетінен өтеді ст. Графиктің қосарланғандығын тексеруге арналған тереңдік-іздеу негізінде алгоритмдегі сияқты, бұл алгоритм алдын-ала анықтайды (v), шың үшін v, болу үшін алдын ала берілетін тапсырыс саны v тереңдікте бірінші траверста және төмен (v) ұрпағының бір шетінен өтуге болатын ең кіші алдын-ала тапсырыс нөмірі болу керек v Іздеу ағашында. Бұл екі сан да есептелуі мүмкін сызықтық уақыт тереңдікті іздеу шеңберінде. Берілген график екі жағдайда қосылады (және биполярлы бағытқа ие болады), егер ол қажет болса т -дың жалғыз баласы с тереңдіктегі іздеу ағашында және төмен (v) <алдын ала (v) барлық төбелер үшін v басқас. Осы сандар есептелгеннен кейін, Тарджанның алгоритмі сандық белгіні сақтай отырып, тереңдік-бірінші іздеу ағашының екінші жүруін орындайды (v) әр төбе үшін v және а байланыстырылған тізім соңында графиктің барлық төбелерін an ретімен келтіретін шыңдар ст- нөмірлеу. Бастапқыда тізімде бар с және т, және (с) = −1. Әрбір шың болған кезде v Алдымен осы екінші траверсаль кездеседі, v тізімге ата-анасының алдында немесе кейін енгізілген p (v) бірінші іздеу ағашында белгісіне қарай (төмен (v)) сәйкесінше теріс немесе оң; содан кейін қол қойыңыз (p (v)) белгісіне (төмен (v)). Тарджан көрсеткендей, осы процедураның нәтижесі болып табылатын шыңға тапсырыс беру ст-берілген графиктің нөмірленуі.[9]

Сонымен қатар, тиімді дәйекті және параллель алгоритмдер негізделуі мүмкін құлақтың ыдырауы.[4][10][11] DFS негізделген алгоритмдер жоғарыда көрсетілгенге байланысты ашық құлақтың ыдырауы негізгі DFS ағашынан туындаған, бұл жерде ашық құлақтың ыдырауы ерікті болуы мүмкін. Бұл жалпы тәсілді іс жүзінде бірнеше қосымшалар қолданады, мысалы. дербес ағаштарды есептеу үшін (шеткі). Ашық құлақтың ыдырауы, егер берілген графиктен шетін қосу арқылы құрылған болса ғана болады ст қосарланған (биполярлық бағыттың болуымен бірдей шарт) және оны сызықтық уақытта табуға болады. Ан ст-бағдарлау (және, осылайша, an ст-нөмірлеу) әр құлақты дәйекті бағытқа бағыттау арқылы оңай алынуы мүмкін, егер алдыңғы құлақтардың шеттері арасында бірдей екі соңғы нүктені жалғайтын бағыт болса, жаңа құлақ сол бағытта бағытталуы керек. Алайда, осы фольклорлық тәсілдің қарапайымдылығына қарамастан, сызықтық жұмыс уақытын алу көбірек қатысады. Құлақ қосылған сайын, бұл құлақтың ұштық нүктелері қол жетімділікке тексерілуі керек, немесе, барабар ст- нөмірлеу, қай шың алдын ала келеді ст- бұрын нөмірлеу. Бұл кедергіні ең қиын жағдайда үнемі шешуге болады (белгілі бір қатысы бар) мәліметтер құрылымына тапсырыс беру,[11] немесе тікелей әдістермен. Маон, Шибер және Вишкин (1986) параллельді есептеу үшін қолайлы (әрине, тереңдіктен іздеу тәсілінен айырмашылығы) әр құлаққа сәйкес бағдарды анықтауға арналған күрделі, бірақ локализацияланған іздеу процедурасын ұсыныңыз.[4]

Есептейтін заманауи және қарапайым алгоритм ст-сызықтық уақыттағы нөмірлер мен бағдарлар берілген.[11] Бұл алгоритмнің идеясы тапсырыс құрылымын оңай нөмірлеу схемасымен алмастыру болып табылады, онда шыңдар орнына интервалдар тасымалдайды ст-сандар.

Папамантоу және Толлис (2006) берілген графиктің биполярлы бағдарындағы бағытталған жолдардың ұзындығын басқарудың алгоритмдері туралы есеп, бұл өз кезегінде кейбір типтердің ені мен биіктігін бақылауға әкеледі графикалық сурет.[12]

Барлық бағыттардың кеңістігі

Белгіленген шыңдармен бірге 3 шыңға байланысты графиктер үшін с және т, кез-келген екі биполярлы бағдар бір-бірімен биполярлы бағдар сақтай отырып, әр қадамда бір жиекті кері айналдыратын әрекеттер тізбегімен байланысты болуы мүмкін.[2] Неғұрлым күшті, үшін жазықтық 3 байланысты графиктер, биполярлық бағдарлар жиынтығына a құрылымын беруге болады ақырғы үлестіргіш тор, сәйкес келетін жиек-қалпына келтіру операциясымен қатынасты қамтиды тордың.[2] Белгіленген көзі мен раковинасы бар кез-келген график үшін барлық биполярлық бағдарлар жиыны бағдар бойынша полиномдық уақыт ішінде келтірілуі мүмкін.[2]

ст-шектерді нөмірлеу және бағыттар

Ұқсас тапсырыс жасауға болады ст-шыңдардың орнына жиектерді нөмірлеу арқылы нөмірлеу. Бұл барабар ст- нөмірлеу сызықтық график кіріс графигі. Сызықтық графикті нақты түрде құру квадраттық уақытты алса да, сызықтық уақытты есептеу алгоритмдері ст-шектерді нөмірлеу және ст- графиктің бағытталуы белгілі.[11]

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ а б c г. e Розенстиль, Пьер; Тарджан, Роберт Е. (1986), «Планеталық графиктердің түзу сызықты жоспарлары және биполярлық бағдарлары», Дискретті және есептеу геометриясы, 1 (4): 343–353, дои:10.1007 / BF02187706, МЫРЗА  0866369.
  2. ^ а б c г. e f ж сағ де Фрейссейс, Гюберт; Оссона де Мендес, Патрис; Розенстиль, Пьер (1995), «Биполярлық бағдарлар қайта қаралды», Дискретті қолданбалы математика, 56 (2–3): 157–179, дои:10.1016 / 0166-218X (94) 00085-R, МЫРЗА  1318743.
  3. ^ а б c Лемпел, А.; Тіпті, С.; Cederbaum, I. (1967), «Графиктерді жоспарлық тестілеу алгоритмі», Графтар теориясы (Internat. Sympos., Рим, 1966), Нью-Йорк: Гордон және бұзу, 215–232 б., МЫРЗА  0220617.
  4. ^ а б c Маон, Ю .; Шибер, Б .; Вишкин, У. (1986), «Құлақтың ыдырауына параллель іздеу (ЭСҚ) және графикалық белгілерде ST-нөмірлеу», Теориялық информатика, 47 (3), дои:10.1016/0304-3975(86)90153-2, МЫРЗА  0882357.
  5. ^ Platt, C. R. (1976), «Пландық торлар және жазықтық графиктер», Комбинаторлық теория журналы, Сер. B, 21 (1): 30–39, дои:10.1016/0095-8956(76)90024-1.
  6. ^ Ди Баттиста, Джузеппе; Тамассия, Роберто (1988), «Ациклді диграфтарды жазықтықта бейнелеу алгоритмдері», Теориялық информатика, 61 (2–3): 175–198, дои:10.1016/0304-3975(88)90123-5.
  7. ^ Эберт, Дж. (1983), «ст- қосарланған графиктердің шыңдарын реттеу », Есептеу, 30 (1): 19–33, дои:10.1007 / BF02253293, МЫРЗА  0691948.
  8. ^ Тіпті, Шимон; Тарджан, Роберт Эндре (1976), «Есептеу ан ст- нөмірлеу », Теориялық информатика, 2 (3): 339–344, дои:10.1016/0304-3975(76)90086-4, МЫРЗА  0414406.
  9. ^ а б Тарджан, Роберт Эндре (1986), «Бірінші тереңдетілген іздеу алгоритмі» (PDF), Fundamenta Informaticae, 9 (1): 85–94, МЫРЗА  0848212.
  10. ^ Gazit, Hillel (1991), «қосылудың, құлақтың ыдырауының және жазық графиктердің ст-нөмірленуінің оңтайлы EREW параллель алгоритмдері», Proc. Параллельді өңдеудің 5-ші халықаралық симпозиумы, 84-91 б., дои:10.1109 / IPPS.1991.153761.
  11. ^ а б c г. Шлифф, Лена; Шмидт, Дженс М. (2019), «Құлақтың ыдырауынан ст-жиек және ст-нөмірлеуді қарапайым есептеу», Ақпаратты өңдеу хаттары, 145: 58–63, дои:10.1016 / j.ipl.2019.01.008.
  12. ^ Папамантоу, Чаралампос; Толлис, Иоаннис Г. (2006), «Параметрленген қосымшалар ст- графикалық сурет салу алгоритміндегі бағыттар » (PDF), Графикалық сурет: 13-ші халықаралық симпозиум, GD 2005, Лимерик, Ирландия, 12-14 қыркүйек, 2005, Қайта қаралған құжаттар, Информатикадағы дәрістер, 3843, Берлин: Шпрингер, 355–367 б., дои:10.1007/11618058_32, МЫРЗА  2244524.