Бекман - Кварлс теоремасы - Beckman–Quarles theorem - Wikipedia

Жылы геометрия, Бекман - Кварлс теоремасы, кіші Ф.С.Бекман және Д.А.Куарлс атындағы, егер Евклидтік жазықтық немесе жоғары өлшемді Евклид кеңістігі консервілер бірлік арақашықтық, онда ол барлық қашықтықтарды сақтайды. Барлығы бірдей автоморфизм туралы бірлік арақашықтық графигі жазықтық ан болуы керек изометрия Бекман мен Кварлс бұл нәтижені 1953 жылы жариялады;[1] кейінірек оны басқа авторлар қайта ашты.[2][3]

Ресми өтініш

Ресми түрде нәтиже келесідей. Келіңіздер f болуы а функциясы немесе көп мәнді функция а г.-өлшемді эвклид кеңістігі, және бұл әр нүкте үшін б және q суреттер жұбы бір-бірінен қашықтықта орналасқан f(б) және f(q) бір-бірінен бірлік қашықтықта орналасқан. Содан кейін f болуы керек изометрия: Бұл бір-бір функция барлық жұп нүктелер арасындағы қашықтықты сақтайды.[1]

Басқа кеңістіктерге қарсы мысалдар

Бекман мен Кварлс теорема үшін дұрыс емес екенін байқайды нақты сызық (бір өлшемді эвклид кеңістігі). Үшін, функциясы f(х) қайтып келеді х + 1 егер х бүтін сан болып табылады және қайтарылады х әйтпесе теореманың алғышарттарына бағынады (ол бірлік арақашықтықты сақтайды), бірақ изометрия емес.[1]

Бекман мен Кварлс сонымен бірге қарсы мысал ұсынады Гильберт кеңістігі, нақты сандардың квадрат-жиынтық тізбектерінің кеңістігі. Бұл мысал мыналарды қамтиды құрамы екеуінің үзілісті функциялар: Гильберт кеңістігінің әр нүктесін а нүктесіндегі жақын нүктеге бейнелейтін есептелетін тығыз ішкі кеңістік және екінші, бұл тығыз жиынтықты есептелетін бірлікке түсіреді қарапайым (бір-бірінен бірлік қашықтықта орналасқан шексіз нүктелер жиынтығы). Бұл екі түрлендіру кез-келген екі нүктені бір-бірінен тығыз ішкі кеңістіктің бір-бірінен екі түрлі нүктелеріне дейінгі қашықтықта бейнелейді, ал оларды симплекстің екі бөлек нүктелеріне түсіреді, олар міндетті түрде бірлік қашықтықта орналасады. Сондықтан олардың құрамы бірлік арақашықтықты сақтайды. Алайда, бұл изометрия емес, өйткені ол нүктелердің әр жұбын, олардың бастапқы қашықтықтарына қарамастан, бірдей нүктеге немесе бірлік қашықтыққа түсіреді.[1]

Ұқсас нәтижелер

Тек эвклид кеңістігінің түрлендіруі үшін Декарттық координаттар бұл рационал сандар, жағдай толық евклидтік жазықтыққа қарағанда күрделі. Бұл жағдайда өлшемдердің төртке дейінгі бірлік-арақашықтықты сақтайтын изометриялары бар, бірақ бес және одан жоғары өлшемдері үшін жоқ.[4][5] Осыған ұқсас нәтижелер басқа қашықтықты сақтайтын рационалды нүктелерді бейнелеуге де қатысты, мысалы, екінің квадрат түбірі.[6]

Бекман-Кварлс теоремасын қайта құрудың бір әдісі - бұл бірлік арақашықтық графигі оның шыңдары жазықтықтағы барлық нүктелер, бірлік қашықтықта кез-келген екі нүкте арасындағы шеті бар жалғыз графом автоморфизмдері бұл жазықтықтың изометриялары. Қашықтықтары an болатын жұп нүктелер үшін алгебралық сан A, бұл теореманың ақырлы нұсқасы бар: Маехара ақырлы екенін көрсетті қатаң бірлік арақашықтық графигі G онда екі шың б және q қашықтықта болуы керек A бір-бірінен, осыдан бірліктің арақашықтықтарын сақтайтын жазықтықтың кез-келген түрленуі шығады G арасындағы қашықтықты сақтау керек б және q.[7][8][9]

Бірнеше авторлар геометриялардың басқа түрлеріне ұқсас нәтижелерді зерттеді. Мысалы, евклидтік қашықтықты а мәнімен ауыстыруға болады квадраттық форма.[10]Бекман-Кварлс теоремалары евклидтік емес кеңістіктер үшін дәлелденген Минковский кеңістігі,[11] инверсивті қашықтық ішінде Мебиус ұшағы,[12] ақырлы Дезаргезиан жазықтықтары,[13] және кеңістіктер анықталды өрістер нөлмен сипаттамалық.[14][15]Сонымен қатар, осы типтегі теоремалар изометриядан басқа түрлендірулерді сипаттау үшін қолданылған, мысалы Лоренц түрлендірулері.[16]

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ а б c г. Бекман, Ф. С .; Куарлз, Д.А., кіші (1953), «Евклид кеңістігінің изометриялары туралы», Американдық математикалық қоғамның еңбектері, 4: 810–815, дои:10.2307/2032415, МЫРЗА  0058193.
  2. ^ Таунсенд, Карл Г. (1970), «Конгрессияны сақтайтын кескіндер», Математика журналы, 43: 37–38, дои:10.2307/2688111, МЫРЗА  0256252.
  3. ^ Епископ, Ричард Л. (1973), «Қозғалыстарды бірліктің арақашықтық инварианты бойынша сипаттау», Математика журналы, 46: 148–151, дои:10.2307/2687969, МЫРЗА  0319026.
  4. ^ Коннелли, Роберт; Закс, Джозеф (2003), «Бекман-Кварлс теоремасы рационалды үшін г.- кеңістіктер, г. тіпті және г. ≥ 6", Дискретті геометрия, Моногр. Таза қолданбалы оқулықтар. Математика., 253, Нью-Йорк: Деккер, 193–199 бет, дои:10.1201 / 9780203911211.ch13, МЫРЗА  2034715.
  5. ^ Закс, Джозеф (2006), «Бекман-Кварлс теоремасының рационалды аналогы және $ E ^ d $ кейбір жиынтықтардың ұтымды іске асуы», Rendiconti di Matematica e delle sue Applications. VII серия, 26 (1): 87–94, МЫРЗА  2215835.
  6. ^ Закс, Джозеф (2005), «Карталарда Qг. дейін Qг. 1 және √2 арақашықтықтарын және Бекман-Кварлс теоремасын сақтайтын «, Геометрия журналы, 82 (1–2): 195–203, дои:10.1007 / s00022-004-1660-3, МЫРЗА  2161824.
  7. ^ Маэхара, Хироси (1991), «Жазықтықтағы қатаң бірлік-арақашықтық графигіндегі арақашықтықтар», Дискретті қолданбалы математика, 31 (2): 193–200, дои:10.1016 / 0166-218X (91) 90070-D.
  8. ^ Маэхара, Хироси (1992), «Иілгіш блок-шпангоутты қатаңға дейін кеңейту», Дискретті математика, 108 (1–3): 167–174, дои:10.1016 / 0012-365X (92) 90671-2, МЫРЗА  1189840.
  9. ^ Тышка, Аполониус (2000), «Бекман-Кварлс теоремасының дискретті нұсқалары», Mathematicae теңдеулері, 59 (1–2): 124–133, arXiv:математика / 9904047, дои:10.1007 / PL00000119, МЫРЗА  1741475.
  10. ^ Лестер, А. маусым (1979), «Трансформациялар n- белгіленген квадраттық қашықтықты сақтайтын кеңістік », Канадалық математика журналы, 31 (2): 392–395, дои:10.4153 / CJM-1979-043-6, МЫРЗА  0528819.
  11. ^ Лестер, А. маусым (1981), «Минковский кеңістігіндегі Бекман-Кварлс теоремасы, кеңістіктегі квадраттық қашықтыққа», Математика. Акад. Ғылыми. Канада, 3 (2): 59–61, МЫРЗА  0612389.
  12. ^ Лестер, А. маусым (1991), «Бекман-Кварлс теоремасы Коксердің инверсивті қашықтығы үшін», Канадалық математикалық бюллетень, 34 (4): 492–498, дои:10.4153 / CMB-1991-079-6, МЫРЗА  1136651.
  13. ^ Бенц, Вальтер (1982), «Бекар-Кварлс типті теорема, шекті десаргезиялық жазықтық үшін», Геометрия журналы, 19 (1): 89–93, дои:10.1007 / BF01930870, МЫРЗА  0689123.
  14. ^ Радо, Ференц (1983), «Минковский жазықтығының өріс үстіндегі жартылай изометрияларының сипаттамасы Қ", Геометрия журналы, 21 (2): 164–183, дои:10.1007 / BF01918141, МЫРЗА  0745209.
  15. ^ Радо, Ференц (1986), «Галуа кеңістігінің кескін карталарында», Израиль математика журналы, 53 (2): 217–230, дои:10.1007 / BF02772860, МЫРЗА  0845873.
  16. ^ Бенц, Вальтер (1980–1981), «Бекман Кварлс жазықтық Лоренц түрлендірулеріне арналған теорема», Математика. Акад. Ғылыми. Канада, 2 (1): 21–22, МЫРЗА  0564486.