Шекті өлшемді С * -алгебра - Approximately finite-dimensional C*-algebra

Жылы математика, an шамамен ақырлы өлшемді (AF) C * -алгебра Бұл C * -алгебра бұл индуктивті шек а жүйелі туралы ақырлы-өлшемді C * -алгебралар. Шекті өлшемділікті алдымен анықтады және комбинаторлы түрде сипаттады Ола Браттели. Кейінірек, Джордж А. Эллиотт көмегімен AF алгебраларының толық жіктелуін берді Қ0 диапазоны тұратын функция абель топтарына тапсырыс берді тапсырыс құрылымы жеткілікті жақсы.

АФ-алгебраларға арналған жіктеу теоремасы үлкен кластар үшін жіктеу нәтижелерінің прототипі ретінде қызмет етеді бөлінетін қарапайым ядролық тұрақты ақырлы С * -алгебралар. Оның дәлелі екі бөлікке бөлінеді. Мұндағы инвариант Қ0 табиғи тәртіп құрылымымен; Бұл функция. Біріншіден, біреу дәлелдейді болмыс: инварианттар арасындағы гомоморфизм алгебралардың * -омоморфизміне дейін көтерілуі керек. Екіншіден, біреуі көрсетеді бірегейлік: лифт шамамен унитарлық эквиваленттілікке дейін ерекше болуы керек. Содан кейін классификация белгілі нәрседен туындайды тоғысып жатқан аргумент. Бірыңғай АФ алгебралары үшін тіршілік және бірегейлік АФ алгебрасындағы проекциялардың Мюррей-фон Нейманның жартылай тобының күшін жоятындығына байланысты.

Қарапайым AF C * - алгебраларының аналогы фон Нейман алгебрасы әлем - гиперфинитті факторлар, олар жіктелді Коннес және Хаагеруп.

Контекстінде коммутативті емес геометрия және топология, AF C * -алгебралары - бұл жалпыланбаған жалпылама C0(X), қайда X Бұл мүлдем ажыратылған өлшенетін ғарыш.

Анықтамасы және негізгі қасиеттері

Ақырлы өлшемді С * -алгебралар

Ерікті ақырлы өлшемді С * -алгебра A изоморфизмге дейін келесі форманы алады:

қайда Ммен толық матрицалық алгебрасын білдіреді мен × мен матрицалар.

Унитарлық эквиваленттілікке дейін, униталь * -омоморфизм: МменМj міндетті түрде формада болады

қайда р·мен = j. Нөмір р Φ еселігі деп аталады. Жалпы алғанда, ақырлы өлшемді С * -алгебралар арасындағы унитальды гомоморфизм

көрсетілген, унитарлық эквиваленттілікке дейін, а т × с матрицасы ішінара еселіктер (рл к) бәріне қанағаттанарлық л

Бірлік емес жағдайда теңдікті by ауыстырады. Графикалық, Φ, эквивалентті (рл к), оның көмегімен ұсынылуы мүмкін Браттели диаграммасы. Браттели диаграммасы а бағытталған граф әрқайсысына сәйкес келетін түйіндермен nк және мл және бастап көрсеткілердің саны nк дейін мл ішінара еселік рлк.

Қарастырайық санат объектілері ақырлы өлшемді С * -алгебралардың изоморфизм кластары, ал морфизмдері * -омоморфизмдер модульді унитарлық эквиваленттілік. Жоғарыда айтылған пікірталас бойынша объектілерді вектор ретінде қарастыруға болады N ал морфизмдер - жартылай көптік матрицалар.

AF алгебралары

C * -алгебра бұл AF егер ол тікелей шек ақырлы өлшемді С * -алгебралар тізбегінің:

қайда Aмен - бұл ақырлы өлшемді С * -алгебра және байланыстырушы карталар αмен * * гомоморфизмдер. Біз әрқайсысы деп ойлаймыз αмен біртұтас емес. AF алгебрасын көрсететін индуктивті жүйе бірегей емес. Әрқашан кейінгіге ауысуға болады. Байланысты карталарды басу, A ретінде жазылуы мүмкін

The Браттели диаграммасы туралы A Браттели диаграммаларымен құрылған {αмен} айқын түрде. Мысалы, Паскаль үшбұрышы, сәйкесінше төмен бағытталған көрсеткілермен түйіндермен байланысқан, AF алгебрасының Браттели диаграммасы. Браттели диаграммасы CAR алгебрасы оң жақта берілген. Түйіндер арасындағы екі көрсеткі әр байланыстырушы картаның 2-дің енуін білдіреді.

(CAR алгебрасының Браттели диаграммасы)

Егер AF алгебрасы A = (∪nAn), содан кейін идеал Дж жылы A ∪ формасын аладыn (ДжAn). Соның ішінде, Дж өзі AF алгебрасы. Браттели диаграммасы берілген A және кейбір ішкі жиын S түйіндердің, ішкі диаграмма арқылы құрылған S идеалын анықтайтын индуктивті жүйені береді A. Шындығында, кез-келген идеал осылай туындайды.

Индуктивті тізбектегі матрицалық бірліктердің болуына байланысты АФ алгебралары келесі жергілікті сипаттамаға ие: C * -алгебра A егер бұл АФ болса және егер болса A бөлінетін және кез келген ақырғы жиынтығы A кейбір ақырлы өлшемді С * субальгебрасында «бар».

In болжамдарыnAn іс жүзінде шамамен бірлік туралы A.

Ақырлы өлшемді С * -алгебраның басқа ақырлы өлшемді С * -алгебраның кеңеюі қайтадан ақырлы болатыны анық. Жалпы алғанда, AF алгебрасының басқа AF алгебрасының кеңеюі қайтадан AF болып табылады.[1]

Жіктелуі

Қ0

The K-теоретикалық топ Қ0 С * -алгебраларының инварианты болып табылады. Оның бастауы топологиялық K-теориясы және «өлшем функциясы» түрінің ауқымы ретінде қызмет етеді. AF алгебрасы үшін A, Қ0(A) деп анықтауға болады Мn(A) C * алгебрасы болуы керек n × n элементтері болатын матрицалар A. Мn(A) ендірілуі мүмкін Мn + 1(A) канондық түрде, «жоғарғы сол жақ бұрышқа». Алгебралық тікелей шекті қарастырайық

Деп белгілеңіз проекциялар (өзін-өзі байланыстыратын идепотанттар) осы алгебрада P(A). Екі элемент б және q деп айтылады Мюррей-фон Нейманның баламасы, деп белгіленеді б ~ q, егер б = vv * және q = v * v кейбіреулер үшін ішінара изометрия v жылы М(A). ~ Эквиваленттік қатынас екендігі түсінікті. Эквиваленттік жиында екілік операцияны + анықтаңыз P(A) / ~ by

мұндағы ⊕ ортогоналды тікелей қосынды.[түсіндіру қажет ] Бұл жасайды P(A) / ~ a жартылай топ бұл бар жою күші. Бұл жартылай топты біз белгілейміз Қ0(A)+. Орындау Гротендик тобы құрылыс абель тобын береді, бұл Қ0(A).

Қ0(A) табиғи тәртіп құрылымын жүзеге асырады: біз [б] ≤ [q] егер б Мюррей-фон Нейманның кіші жобасына баламасы болып табылады q. Бұл жасайды Қ0(A) ан тапсырыс берген топ оның оң конусы Қ0(A)+.

Мысалы, ақырлы өлшемді С * -алгебра үшін

біреуінде бар

Картографиялаудың екі маңызды ерекшелігі AҚ0(A) мыналар:

  1. Қ0 бұл (ковариант) функция. A * -омоморфизм α : AB арасындағы алгебралар топ гомоморфизмін тудырады α* : Қ0(A) → Қ0(B). Атап айтқанда, қашан A және B екеуі де ақырлы өлшемді, α* ішінара көбейтінділер матрицасымен анықтауға болады α.
  2. Қ0 тікелей шектеулерді құрметтейді. Егер A = ∪nαn(An), содан кейін Қ0(A) тікелей шек болып табылады isnαn*(Қ0(An)).

Өлшем тобы

Бастап М(М(A)) изоморфты болып табылады М(A), Қ0 дейін ғана AF алгебраларын ажырата алады тұрақты изоморфизм. Мысалға, М2 және М4 изоморфты емес, тұрақты изоморфты; Қ0(М2) = Қ0(М4) = З.

Изоморфизм кластарын анықтау үшін неғұрлым инвариантты қажет. AF алгебрасы үшін A, біз анықтаймыз масштаб туралы Қ0(A), Γ (A) элементтері проекциялармен ұсынылған ішкі жиын болуы керек A:

Қашан A 1 бірлікке сәйкес келмейдіA, Қ0 элемент [1A] - Γ максималды элементі (A) және шын мәнінде,

Үштік (Қ0, Қ0+, Γ (A)) деп аталады өлшем тобы туралы A.Егер A = Мс, оның өлшем тобы (З, З+, {1, 2,..., с}).

Өлшем тобы арасындағы топтық гомоморфизм деп аталады келісімшарттық егер ол масштабты сақтайтын болса. Екі өлшемді топ изоморфты деп аталады, егер олардың арасында келісімшарттық топтық изоморфизм болса.

Өлшем тобы маңызды қасиеттерін сақтайды Қ0:

  1. A * -омоморфизм α : AB АФ алгебралары арасында келісімшарттық гомоморфизм туындайды α* өлшем топтары бойынша. Қашан A және B әрқайсысы ішінара көбейтінді матрицасына сәйкес келетін ақырлы өлшемді ψ, бірегейлікке дейінгі эквиваленттілік, * -омоморфизм бар α : AB осындай α* = ψ.
  2. Егер A = ∪nαn(An), содан кейін өлшемдер тобы A солардың тікелей шегі болып табылады An.

Эллиотт теоремасы

Эллиотт теоремасының коммутативті сызбалары.

Эллиотт теоремасы өлшем тобы АФ алгебраларының толық инварианты: екі АФ алгебрасы дейді. A және B егер олардың өлшем топтары изоморфты болса ғана изоморфты болады.

Эллиотт теоремасының дәлелі эскизін жасау үшін екі алдын ала факт қажет. Біріншісі ақырғы өлшемді С * алгебралары туралы жоғарыдағы пікірсайысты қорытындылайды.

Лемма Екі ақырлы өлшемді С * -алгебралар үшін A және Bжәне шартты гомоморфизм ψ: Қ0(A) → Қ0(B), * -омоморфизм бар φ: AB осындай φ* = ψ, және φ унитарлық эквиваленттілікке дейін ерекше.

Лемманы жағдайға дейін кеңейтуге болады B бұл AF. Карта ψ деңгейінде Қ0 алгебралар деңгейінде, индуктивті жүйенің кейбір ақырлы сатысына «жылжытуға» болады.

Лемма Келіңіздер A ақырлы өлшемді және B AF, B = (∪nBn). Келіңіздер βм канондық гомоморфизмі болуы Bм ішіне B. Сонда кез-келген келісімшарттық гомоморфизм үшін ψ: Қ0(A) → Қ0(B), * -омоморфизм бар φ: ABм осындай βм * φ* = ψ, және φ унитарлық эквиваленттілікке дейін ерекше B.

Лемманың дәлелі қарапайым бақылауға негізделген Қ0(A) ақырында жасалады және, бастап Қ0 тікелей шектеулерді құрметтейді, Қ0(B) = ∪n βn * Қ0 (Bn).

Теорема (Эллиотт) Екі AF алгебрасы A және B изоморфты болып табылады, егер олардың өлшем топтары болса ғана (Қ0(A), Қ0+(A), Γ (A)) және (Қ0(B), Қ0+(B), Γ (B) изоморфты.

Дәлелдің түйіні ретінде белгілі болды Эллиоттың тоғысқан аргументі. Өлшем топтары арасындағы изоморфизмді ескере отырып, тікелей жүйелер арасындағы үшбұрыштардың сызбасын салады A және B екінші лемманы қолдану арқылы.

Біз теореманың тривиальды емес бөлігінің дәлелдеулерін сызамыз, оң жағындағы коммутативті сызбалардың реттілігіне сәйкес.

Φ рұқсат етіңіз: (Қ0(A), Қ0+(A), Γ (A)) → (Қ0(B), Қ0+(B), Γ (B)) изоморфизмнің өлшем тобы болуы.

  1. Карталардың құрамын қарастырайық Φ α1* : Қ0(A1) → Қ0(B). Алдыңғы лемма бойынша, бар B1 және * -омоморфизм φ1: A1B1 оң жақтағы бірінші сызба.
  2. Сол аргумент қолданылады β1* Φ−1 екінші диаграмма кейбіреулер үшін жүретінін көрсетеді A2.
  3. 1 және 2 диаграммаларды салыстыру 3 диаграмманы береді.
  4. Тікелей шегі мен жылжу қасиетін қолдану A2 егер қажет болса, одан әрі төмен қарай біз 4-диаграмманы, деңгейіндегі ауыстырмалы үшбұрышты аламыз Қ0.
  5. Шекті өлшемді алгебралар үшін екі * -омоморфизм бірдей картаны индукциялайды Қ0 егер олар біртұтас эквивалентті болса ғана. Сонымен, құрастыру арқылы ψ1 қажет болған жағдайда унитарлы конъюгациямен бізде алгебралар деңгейінде коммутативті үшбұрыш бар.
  6. Индукция бойынша бізде соңғы үшбұрышта көрсетілгендей үшбұрыштардың жүру сызбасы бар. Карта φ: AB реттіліктің тікелей шегі болып табылады {φn}. Келіңіздер ψ: BA реттіліктің тікелей шегі болып табылады {ψn}. Бұл анық φ және ψ өзара инверсиялар болып табылады. Сондықтан, A және B изоморфты.
Эллиотт теоремасы 2.png

Сонымен қатар, деңгейінде Қ0, іргелес диаграмма әрқайсысы үшін ауыстырады к. Карталардың тікелей шекарасының бірегейлігі бойынша, φ* = Φ.

Эффрос-Гандельман-Шен теоремасы

АФ алгебрасының өлшемдер тобы - а Riesz тобы. Эффрос-Гандельман-Шен теоремасы керісінше шындық дейді. Әрбір Riesz тобы, берілген шкаламен, кейбір AF алгебрасының өлшем тобы ретінде пайда болады. Бұл жіктеу функциясы ауқымын анықтайды Қ0 AF-алгебраларға арналған және жіктелуді аяқтайды.

Riesz топтары

Топ G ішінара бұйрығымен ан деп аталады тапсырыс берген топ. Жинақ G+ ≥ 0 элементтері деп аталады оң конус туралы G. Біреуі айтады G егер перфорацияланбаған болса к·жG+ білдіреді жG+.

Келесі қасиет деп аталады Riesz ыдырау қасиеті: егер х, жмен ≥ 0 және х ≤ ∑ жмен, содан кейін бар хмен ≥ 0 осылай х = ∑ хмен, және хменжмен әрқайсысы үшін мен.

A Riesz тобы (G, G+) - бұл перфорацияланбаған және Riesz ыдырау қасиетіне ие реттелген топ.

Егер екені анық A ақырлы өлшемді, (Қ0, Қ0+) Riesz тобы, мұндағы Зк енгізу ретімен беріледі. Риз тобының екі қасиеті тікелей шектерде сақталады, егер тікелей шегі бойынша тәртіп құрылымы индуктивті жүйеде болса. Сонымен (Қ0, Қ0+) - бұл AF алгебрасына арналған Riesz тобы A.

Эффрос-Гендельман-Шен теоремасына басты қадам - ​​бұл әр Ризес тобы - Зк әрқайсысы канондық тәртіп құрылымымен. Бұл келесі техникалық леммаға байланысты, кейде деп аталады Шен критерийі әдебиетте.

Шен критерийі.

Лемма Келіңіздер (G, G+) Riesz тобы болу, ϕ: (Зк, Зк+) → (G, G+) позитивті гомоморфизм болуы мүмкін. Содан кейін карталар бар σ және ψ, көрші диаграммада көрсетілгендей, кер (σ) = кер (ϕ).

Қорытынды Әр Riesz тобы (G, G+) тікелей шек ретінде көрсетілуі мүмкін

мұнда оң жақтағы бағытталған жүйеде барлық байланыстырушы гомоморфизмдер оң болады.

Теорема

Теорема Егер (G, G+) - есептелетін Riesz тобы, шкаласы Γ (G), онда AF алгебрасы бар A осылай (Қ0, Қ0+, Γ (A)) = (G, G+, Γ (G)). Атап айтқанда, егер Γ (G) = [0, сенG] максималды элементпен сенG, содан кейін A [1A] = [сенG].

Алдымен case (G) = [0, сенG] максималды элементпен сенG. Айталық

Қажет болса, кейінгіге түсу, рұқсат етіңіз

қайда φ1(сен1) = сенG кейбір элемент үшін сен1. Енді тапсырысты идеалды деп санаңыз G1 жасаған сен1. Себебі әрқайсысы H1 канондық тәртіп құрылымына ие, G1 тікелей қосындысы болып табылады З дана (ықтимал даналар саны ондағыдан аз H1). Демек, бұл ақырлы өлшемді алгебра береді A1 оның өлшем тобы (G1 G1+, [0, сен1]). Келесі қадам сен1 анықтау арқылы алға сен2 = φ12(сен1). Тағы да сен2 ақырлы өлшемді алгебраны анықтайды A2. Сәйкес гомоморфизм бар α12 осындай α12* = φ12. Индукция бағытталған жүйені береді

кімдікі Қ0 болып табылады

масштабпен

Бұл ерекше жағдайды дәлелдейді.

Осыған ұқсас дәлел жалпы алғанда қолданылады. Масштабтың a бағытталған жиынтық. Егер Γ (G) = {vк} таңдауға болады сенк ∈ Γ (G) солай сенкv1 ... vк. Жоғарыдағыдай дәлел теореманы дәлелдейді.

Мысалдар

Анықтама бойынша біркелкі гиперфинитті алгебралар AF және біртектес емес. Олардың өлшем топтары - топшалары Q. Мысалы, 2 × 2 матрицалар үшін М2, Қ0(М2) - форманың рационал сандар тобы а/ 2 үшін а жылы З. Масштаб Γ (М2) = {0, ½, 1}. Үшін CAR алгебрасы A, Қ0(A) тобы болып табылады диадикалық рационалдар масштабпен Қ0(A) ∩ [0, 1], 1 = [1 болғандаA]. Мұндай топтардың барлығы қарапайым, белгілі бір мағынада тапсырыс берілген топтарға сәйкес келеді. Осылайша UHF алгебралары қарапайым C * алгебралары болып табылады. Жалпы, тығыз емес топтар Q өлшем топтары болып табылады Мк кейбіреулер үшін к.

Сипатталған коммутативті С * -алгебралар Гельфанд, дәл болған кезде AF болады спектр болып табылады мүлдем ажыратылған.[2] Үздіксіз функциялар C(X) үстінде Кантор орнатылды X осындай мысалдардың бірі болып табылады.

Эллиоттың жіктеу бағдарламасы

Эллиотт С * -алгебраның басқа кластарын К-теориялық инварианттармен жіктеуге болатындығын ұсынды. C * -алгебра үшін A, Эллиотт инвариантты деп анықталды

қайда Т+(A) әлсіз- * топологиядағы трацикалық оң сызықтық функционалдар, және ρA арасындағы табиғи жұптасу болып табылады Т+(A) және Қ0(A).

Түпнұсқа болжам Эллиоттың айтуынша, Эллиотт инвариантты қарапайым біртұтас бөлінетін ядролық С * -алгебраларды жіктейді.

Әдебиеттерде Эллиоттың өзгерген / нақтыланған инварианттарымен осыған ұқсас бірнеше болжамдарды кездестіруге болады.

Фон Нейман алгебралары

Байланысты контекстте шамамен ақырлы, немесе гиперфинитті, фон Нейман алгебрасы - бұл бөлінетін предуальды және әлсіз тығыз AF * * алгебрасын қамтиды. Мюррей мен фон Нейман изоморфизмге дейін ерекше гиперфинитті II типтің болатындығын көрсетті.1 фактор. Коннес II үшін ұқсас нәтиже алды фактор. Қуаттар континуумның кардиналдылығы бар изоморфты емес типтегі гиперфинитті III типті көрсетті. Бүгін бізде гиперфинитті факторлардың толық жіктелімі бар.

Ескертулер

  1. ^ Лоуренс Дж.Браун. AF алгебраларының кеңеюі: проекцияны көтеру проблемасы. Оператор алгебралары және қосымшалары, таза математикадағы симпозиумдар жинағы, т. 38, 1 бөлім, 175-176 б., Американдық математикалық со., 1982
  2. ^ Дэвидсон 1996, б. 77.

Әдебиеттер тізімі

Сыртқы сілтемелер

  • «AF-алгебра», Математика энциклопедиясы, EMS Press, 2001 [1994]