Фредгольм аналитикалық теоремасы - Analytic Fredholm theorem

Жылы математика, аналитикалық Фредгольм теоремасы болуына қатысты нәтиже болып табылады шектелген инверстер а сызықты операторлардың отбасы үшін Гильберт кеңістігі. Бұл екі классикалық және маңызды теоремалардың негізі Фредгольм баламасы және Гильберт-Шмидт теоремасы. Нәтиже Швед математик Эрик Ивар Фредгольм.

Теореманың тұжырымы

Келіңіздер G ⊆ C домен болу ашық және қосылған жиынтық ). Келіңіздер (H, ⟨,⟩) А нақты немесе күрделі Гильберт кеңістігі және Линге рұқсат етіңіз (H) кеңістігін белгілейді шектелген сызықтық операторлар бастап H өзіне; рұқсат етіңіз Мен белгілеу сәйкестендіру операторы. Келіңіздер B : G → Лин (H) картаға түсіріңіз

• B аналитикалық болып табылады G деген мағынада шектеу

${displaystyle lim _ {lambda o lambda _ {0}} {frac {B (lambda) -B (lambda _ {0})} {lambda -lambda _ {0}}}}$

барлығы үшін бар λ₀ ∈ G; және

• оператор B(λ) Бұл ықшам оператор әрқайсысы үшін λ ∈ G.

Содан кейін де

• (Мен − B(λ))⁻¹ ешқайсысы үшін жоқ λ ∈ G; немесе
• (Мен − B(λ))⁻¹ әрқайсысында бар λ ∈ G  S, қайда S Бұл дискретті ішкі жиын туралы G (яғни, S жоқ шектік нүктелер жылы G). Бұл жағдайда функцияны қабылдау λ дейін (Мен − B(λ))⁻¹ аналитикалық болып табылады G  S және, егер λ ∈ S, содан кейін теңдеу

${displaystyle B (лямбда) psi = psi}$

шешімдердің ақырлы өлшемді отбасы бар.

Әдебиеттер тізімі

• Ренарди, Майкл; Роджерс, Роберт С. (2004). Толық емес дифференциалдық теңдеулерге кіріспе. Қолданбалы математикадағы мәтіндер 13 (Екінші басылым). Нью-Йорк: Спрингер-Верлаг. б. 266. ISBN  0-387-00444-0. (Теорема 8.92)