Алгебралық жабық топ - Algebraically closed group

Жылы математика, саласында топтық теория, а топ ${displaystyle A}$ болып табылады алгебралық жабық егер «мағынасы бар» теңдеулер мен теңдеулердің кез келген ақырлы жиынтығы болса ${displaystyle A}$ шешімі бар ${displaystyle A}$ қажет емес а топты кеңейту. Бұл түсінік дәл кейінірек мақалада жасалады 搂 Ресми анықтама.

Бейресми талқылау

Айталық, біз элемент тапқымыз келді ${displaystyle x}$ топтың ${displaystyle G}$ шарттарды қанағаттандыру (теңдеулер мен теңдеулер):

${displaystyle x ^ {2} = 1}$

${displaystyle x ^ {3} = 1}$

${displaystyle x теңдеу 1}$

Бұл мүмкін емес екенін байқау қиын емес, өйткені алғашқы екі теңдеуді білдіреді ${displaystyle x = 1}$. Бұл жағдайда біз шарттардың жиынтығы деп айтамыз сәйкес келмейді бірге ${displaystyle G}$. (Шындығында, бұл шарттар жиынтығы кез-келген топқа сәйкес келмейді).

${displaystyle G}$
${displaystyle. }$ ${displaystyle {астын сызу {1}}}$ ${displaystyle {астын сызу {a}}}$ ${displaystyle {астын сызу {1}}}$ ${displaystyle 1}$ ${displaystyle a}$ ${displaystyle {астын сызу {a}}}$ ${displaystyle a}$ ${displaystyle 1}$

Енді делік ${displaystyle G}$ көбейту кестесі бар топ:

Содан кейін шарттар:

${displaystyle x ^ {2} = 1}$

${displaystyle x теңдеу 1}$

шешімі бар ${displaystyle G}$, атап айтқанда ${displaystyle x = a}$.

Алайда шарттар:

${displaystyle x ^ {4} = 1}$

${displaystyle x ^ {2} a ^ {- 1} = 1}$

Шешімі жоқ ${displaystyle G}$, қалай оңай тексеруге болады.

${displaystyle H}$

${displaystyle. }$ ${displaystyle {астын сызу {1}}}$ ${displaystyle {астын сызу {a}}}$ ${displaystyle {асты сызылған {b}}}$ ${displaystyle {асты сызылған {c}}}$ ${displaystyle {астын сызу {1}}}$ ${displaystyle 1}$ ${displaystyle a}$ ${displaystyle b}$ ${displaystyle c}$ ${displaystyle {астын сызу {a}}}$ ${displaystyle a}$ ${displaystyle 1}$ ${displaystyle c}$ ${displaystyle b}$ ${displaystyle {асты сызылған {b}}}$ ${displaystyle b}$ ${displaystyle c}$ ${displaystyle a}$ ${displaystyle 1}$ ${displaystyle {асты сызылған {c}}}$ ${displaystyle c}$ ${displaystyle b}$ ${displaystyle 1}$ ${displaystyle a}$

Алайда топты кеңейтетін болсақ ${displaystyle G}$ топқа ${displaystyle H}$ көбейту кестесімен:

Сонда шарттарда екі шешім бар, атап айтқанда ${displaystyle x = b}$ және ${displaystyle x = c}$.

Осылайша, мұндай шарттарға қатысты үш мүмкіндік бар:

• Олар сәйкес келмеуі мүмкін ${displaystyle G}$ және кеңейтуде ешқандай шешім жоқ ${displaystyle G}$.
• Оларда шешім болуы мүмкін ${displaystyle G}$.
• Оларда ешқандай шешім болмауы мүмкін ${displaystyle G}$ бірақ соған қарамастан кейбір кеңейтімдерде шешім бар ${displaystyle H}$ туралы ${displaystyle G}$.

Топтар бар ма деп сұрау орынды ${displaystyle A}$ кез келген уақытта осындай шарттардың жиынтығы шешілген кезде, оларда шешім болады ${displaystyle A}$ өзі ме? Жауабы «иә» болып шығады және біз мұндай топтарды алгебралық жабық топтар деп атаймыз.

Ресми анықтама

Алдымен кейбір алдын-ала идеялар қажет.

Егер ${displaystyle G}$ топ болып табылады және ${displaystyle F}$ болып табылады тегін топ қосулы саналы түрде көптеген генераторлар, содан кейін а коэффициенттері бар теңдеулер мен теңдеулердің ақырлы жиынтығы ${displaystyle G}$ біз ішкі жиындардың жұбын білдіреміз ${displaystyle E}$ және ${displaystyle I}$ туралы ${displaystyle Fstar G}$ The тегін өнім туралы ${displaystyle F}$ және ${displaystyle G}$.

Бұл айнымалылардан тұратын теңдеулер мен теңсіздіктер жиынтығы туралы ұғымды рәсімдейді ${displaystyle x_ {i}}$ және элементтер ${displaystyle g_ {j}}$ туралы ${displaystyle G}$. Жинақ ${displaystyle E}$ сияқты теңдеулерді ұсынады:

${displaystyle x_ {1} ^ {2} g_ {1} ^ {4} x_ {3} = 1}$

${displaystyle x_ {3} ^ {2} g_ {2} x_ {4} g_ {1} = 1}$

${displaystyle нүктелері}$

Жинақ ${displaystyle I}$ сияқты теңсіздіктерді білдіреді

${displaystyle g_ {5} ^ {- 1} x_ {3} теңдеу 1}$

${displaystyle нүктелері}$

А шешім жылы ${displaystyle G}$ осы теңдеулер мен теңдеулер жиынтығына біз гомоморфизмді айтамыз ${displaystyle f: F тақта G}$, осылай ${displaystyle {ilde {f}} (e) = 1}$ барлығына ${displaystyle ein E}$ және ${displaystyle {ilde {f}} (i) теңдеу 1}$ барлығына ${displaystyle iin I}$, қайда ${displaystyle {ilde {f}}}$ бірегей гомоморфизм болып табылады ${displaystyle {ilde {f}}: Fstar G тақта G}$ бұл тең ${displaystyle f}$ қосулы ${displaystyle F}$ және бұл сәйкестік ${displaystyle G}$.

Бұл элементтерді ауыстыру идеясын рәсімдейді ${displaystyle G}$ айнымалылар үшін шынайы сәйкестік пен анықталмағандықты алу. Мысалда ауыстырулар ${displaystyle x_ {1} mapsto g_ {6}, x_ {3} mapsto g_ {7}}$ және ${displaystyle x_ {4} mapsto g_ {8}}$ Өткізіп жібер:

${displaystyle g_ {6} ^ {2} g_ {1} ^ {4} g_ {7} = 1}$

${displaystyle g_ {7} ^ {2} g_ {2} g_ {8} g_ {1} = 1}$

${displaystyle нүктелері}$

${displaystyle g_ {5} ^ {- 1} g_ {7} теңдеу 1}$

${displaystyle нүктелері}$

Біз теңдеулер мен теңдеулердің ақырлы жиынтығын айтамыз үйлесімді ${displaystyle G}$ егер біз оларды «үлкенірек» топта шеше алсақ ${displaystyle H}$. Ресми түрде:

Теңдеулер мен теңсіздіктер сәйкес келеді ${displaystyle G}$ егер топ болса${displaystyle H}$ және ендіру ${displaystyle h: G қару-жарақ H}$ теңдеулер мен теңдеулердің ақырлы жиынтығы сияқты ${displaystyle {ilde {h}} (E)}$ және ${displaystyle {ilde {h}} (I)}$ шешімі бар ${displaystyle H}$, қайда ${displaystyle {ilde {h}}}$ бірегей гомоморфизм болып табылады ${displaystyle {ilde {h}}: Fstar G қараңғы Fstar H}$ бұл тең ${displaystyle h}$ қосулы ${displaystyle G}$ және бұл сәйкестік ${displaystyle F}$.

Енді біз топты формальды түрде анықтаймыз ${displaystyle A}$ болу алгебралық жабық егер коэффициенттері бар әрбір теңдеулер мен теңдеулер жиынтығы болса ${displaystyle A}$ және сәйкес келеді ${displaystyle A}$ шешімі бар ${displaystyle A}$.

Белгілі нәтижелер

Алгебралық жабық топтарға нақты мысалдар келтіру қиын, өйткені келесі нәтижелер:

• Әрқайсысы есептелетін топты есептелетін алгебралық жабық топқа енгізуге болады.
• Әрбір алгебралық жабық топ болып табылады қарапайым.
• Алгебралық жабық топ жоқ түпкілікті құрылды.
• Алгебралық жабық топ болуы мүмкін емес рекурсивті түрде ұсынылған.
• Ақырғы топта a бар шешілетін сөз мәселесі егер оны барлық алгебралық жабық топқа енгізуге болатын болса ғана.

Бұл нәтижелердің дәлелі жалпы өте күрделі. Алайда, есептелетін топтың дәлелі эскизі ${displaystyle C}$ алгебралық жабық топқа ендірілуі мүмкін.

Алдымен біз ендірдік ${displaystyle C}$ есептелетін топта ${displaystyle C_ {1}}$ коэффициенттері бар әрбір ақырлы теңдеулер жиыны болатын қасиетімен ${displaystyle C}$ бұл сәйкес келеді ${displaystyle C_ {1}}$ шешімі бар ${displaystyle C_ {1}}$ келесідей:

Коэффициенттері бар теңдеулер мен теңдеулердің тек қана шекті жиынтығы бар ${displaystyle C}$. Есептеуді түзету ${displaystyle S_ {0}, S_ {1}, S_ {2}, нүктелер}$ олардың. Топтарды анықтаңыз ${displaystyle D_ {0}, D_ {1}, D_ {2}, нүктелер}$ индуктивті:

${displaystyle D_ {0} = C}$

${displaystyle D_ {i + 1} = сол жақтағы {{egin {matrix} D_ {i} және {mbox {if}} S_ {i} {mbox {}} D_ {i} langle D_ {i} сәйкес келмейді , h_ {1}, h_ {2}, нүктелер, h_ {n} бұрышы & {mbox {if}} S_ {i} {mbox {}} Hsupseteq D_ {i} {mbox {бірге}} x_ {j} mapsto h_ {j} 1leq jleq nend {matrix}} шешіміне ие ight.}$

Енді:

${displaystyle C_ {1} = кубок _ {i = 0} ^ {ақылды} D_ {i}}$

Енді топтардың ретін алу үшін осы құрылысты қайталаңыз ${displaystyle C = C_ {0}, C_ {1}, C_ {2}, нүктелер}$ және рұқсат етіңіз:

${displaystyle A = кесе _ {i = 0} ^ {құпия} C_ {i}}$

Содан кейін ${displaystyle A}$ қамтитын есептік топ болып табылады ${displaystyle C}$. Ол алгебралық түрде жабық, өйткені сәйкес келетін кез келген ақырлы теңдеулер мен теңдеулер жиынтығы ${displaystyle A}$ кейбіреулерінде коэффициенттер болуы керек ${displaystyle C_ {i}}$ және де шешімі болуы керек ${displaystyle C_ {i + 1}}$.

Сондай-ақ қараңыз

• Алгебралық жабылу
  • Алгебралық жабық өріс

Әдебиеттер тізімі

• А.Макинтир: Алгебралық жабық топтарда, анн. Математика, 96, 53-97 (1972)
• Б.Х. Нейман: Алгебралық жабық топтар туралы жазба. Лондон математикасы. Soc. 27, 227-242 (1952)
• Б.Х. Нейман: Алгебралық жабық топтарға арналған изоморфизм мәселесі. In: Word проблемалары, pp 553 鈥 . Амстердам: Солтүстік-Голландия 1973 ж
• W.R. Scott: Алгебралық жабық топтар. Proc. Amer. Математика. Soc. 2, 118-121 (1951)