АТС теоремасы - ATS theorem

Математикада АТС теоремасы теоремасы аа .проксимациясытригонометриялық схм қысқа. Математикалық және теориялық физиканың белгілі бір есептерінде АТС теоремасын қолдану өте пайдалы болуы мүмкін.

Мәселенің тарихы

Кейбір өрістерінде математика және математикалық физика, форманың қосындылары

зерттелуде.

Мұнда және бұл қайта бағалаудың нақты бағаланған функциялары және Мұндай қосындылар, мысалы, пайда болады сандар теориясы талдауындаRiemann zeta функциясы, жазықтықтағы және кеңістіктегі домендердің бүтін нүктелерімен байланысты есептерді шешуде, зерттеу кезіндеФурье сериясы, және сияқты дифференциалдық теңдеулерді шешуде толқындық теңдеу, потенциалдық теңдеу жылу өткізгіштік теңдеу.

(1) қатарын сәйкес функциямен жуықтау мәселесі қазірдің өзінде зерттелген Эйлер және Пуассон.

Біз анықтаймызқосындының ұзындығы сан болу (бүтін сандар үшін және бұл шақыртулар саны ).

Белгілі бір жағдайларда және қосынды жақсы дәлдікпен басқа сомамен алмастыра алады

ұзындығы қайда қарағанда әлдеқайда аз

Форманың алғашқы қатынастары

қайда сәйкесінше (1) және (2) қосындылары, қалған функция, нақты функциялары бар және арқылы алынған Дж. Харди және Литтлвуд Дж,[1][2][3]олар Riemann zeta функциясының функционалды теңдеуін шығарған кезде және арқылы И.М.Виноградов,[4] домендердегі бүтін нүктелер шамаларын жазықтықта зерттеу кезінде. Жалпы түрде теорема дәлелдеді Дж. Ван дер Корпут,[5][6] (Ван-дер-Корпут теоремасына байланысты соңғы нәтижелер туралы оқуға болады[7]).

Жоғарыда аталған жұмыстардың әрқайсысында функцияларға қатысты кейбір шектеулер бар және міндеттелді. Қолайлы емес (қосымшалар үшін) шектеулер және теорема дәлелдеді A. A. Karatsuba жылы [8] (тағы қара,[9][10]).

Белгілі бір ескертпелер

[1]. Үшін немесе жазба

тұрақтылар бар екенін білдіреді
және
осындай

[2]. Нақты сан үшін жазба дегенді білдіреді

қайда
дегеннің бөлшек бөлігі

АТС теоремасы

Нақты функциялар болсын ƒ(х) және сегмент бойынша қанағаттандыру [аб] келесі шарттар:

1) және үздіксіз;

2) сандар бар және осындай

және

Сонда, егер сандарды анықтайтын болсақ теңдеуден

Бізде бар

қайда

Тұжырымдалған теореманың қарапайым нұсқасы - бұл тұжырымдама, ол әдебиетте «деп аталады Ван-дер-Корпут леммасы.

Ван-дер-Корпут леммасы

Келіңіздер аралығында нақты ажыратылатын функция болуы керек сонымен қатар, осы интервалдың ішінде оның туындысы монотонды және белгіні сақтау функциясы болып табылады, және тұрақты үшін осындай теңсіздікті қанағаттандырады Содан кейін

қайда

Ескерту

Егер параметрлер болса және бүтін сандар, содан кейін соңғы қатынасты келесі қатынастармен ауыстыруға болады:

қайда

Физика есептеріне АТС қолдану туралы, қараңыз;[11][12] қараңыз.[13][14]

Ескертулер

  1. ^ Харди, Г. Х .; Литтвуд, Дж. Э. (1914). «Диофантинге жуықтаудың кейбір мәселелері: II бөлім. Эллиптикалық ϑ-функциялармен байланысты тригонометриялық қатарлар». Acta Mathematica. Бостонның Халықаралық баспасөзі. 37: 193–239. дои:10.1007 / bf02401834. ISSN  0001-5962.
  2. ^ Харди, Г. Х .; Литтвуд, Дж. Э. (1916). «Риман дзета-функциясы және жай бөлшектерді бөлу теориясына қосқан үлестер». Acta Mathematica. Бостонның Халықаралық баспасөзі. 41: 119–196. дои:10.1007 / bf02422942. ISSN  0001-5962.
  3. ^ Харди, Г. Х .; Литтвуд, Дж. (1921). «Риманның дзета-функциясының нөлдік сызығындағы нөлдері». Mathematische Zeitschrift. «Springer Science and Business Media» жауапкершілігі шектеулі серіктестігі. 10 (3–4): 283–317. дои:10.1007 / bf01211614. ISSN  0025-5874. S2CID  126338046.
  4. ^ I. M. Виноградов. Теріс анықтаушыCommunic таза түбір формасы кластары санының орташа мәні туралы. Хардың Математика. Soc., 16, 10–38 (1917).
  5. ^ ван дер Корпут, Дж. Г. (1921). «Zahlentheoretische Abschätzungen». Mathematische Annalen (неміс тілінде). «Springer Science and Business Media» жауапкершілігі шектеулі серіктестігі. 84 (1–2): 53–79. дои:10.1007 / bf01458693. ISSN  0025-5831. S2CID  179178113.
  6. ^ ван дер Корпут, Дж. Г. (1922). «Verschärfung der Abschätzung beim Teilerproblem». Mathematische Annalen (неміс тілінде). «Springer Science and Business Media» жауапкершілігі шектеулі серіктестігі. 87 (1–2): 39–65. дои:10.1007 / bf01458035. ISSN  0025-5831. S2CID  177789678.
  7. ^ Монтгомери, Хью (1994). Аналитикалық сандар теориясы мен гармоникалық талдаудың интерфейсі туралы он дәріс. Providence, R.I: Американдық Математикалық Қоғамның Математикалық Ғылымдар Конференциясы Кеңесі үшін жариялады. ISBN  978-0-8218-0737-8. OCLC  30811108.
  8. ^ Карацуба, А.А (1987). «Көрсеткіштік қосындыларды қысқаға жуықтау». Үндістан Ғылым академиясының еңбектері, А бөлімі. «Springer Science and Business Media» жауапкершілігі шектеулі серіктестігі. 97 (1–3): 167–178. дои:10.1007 / bf02837821. ISSN  0370-0089. S2CID  120389154.
  9. ^ А.А.Карацуба, С.М.Воронин. Riemann Zeta-функциясы. (В. де Грюйтер, Верлаг: Берлин, 1992).
  10. ^ А.А.Карацуба, М.А.Королев. Тригонометриялық қосындысын қысқасына жуықтау туралы теорема. Изв. Росс. Акад. Наук, сер. Мат 71:3, 63—84 бб (2007).
  11. ^ Карацуба, Екатерина А. (2004). «Белгілі бір физикалық есептердегі тербелмелі қосылғыштардың қосындыларын жуықтау». Математикалық физика журналы. AIP Publishing. 45 (11): 4310–4321. дои:10.1063/1.1797552. ISSN  0022-2488.
  12. ^ Карацуба, Екатерина А. (2007-07-20). «Кванттық оптикадағы Джейнс-Каммингс қосындысын зерттеуге көзқарас туралы». Сандық алгоритмдер. «Springer Science and Business Media» жауапкершілігі шектеулі серіктестігі. 45 (1–4): 127–137. дои:10.1007 / s11075-007-9070-x. ISSN  1017-1398. S2CID  13485016.
  13. ^ Шассанде-Моттин, Эрик; Пай, Арчана (2006-02-27). «Үздік гудок тізбегі: гравитациялық толқындардың сықырлауын оңтайлы анықтау». Физикалық шолу D. Американдық физикалық қоғам (APS). 73 (4): 042003. дои:10.1103 / physrevd.73.042003. hdl:11858 / 00-001M-0000-0013-4BBD-B. ISSN  1550-7998. S2CID  56344234.
  14. ^ Флейшауэр, М .; Schleich, W. P. (1993-05-01). «Жанданулар қарапайым болды: Джейнес-Каммингс моделіндегі жанданудың кілті ретінде Пуассонды қосудың формуласы». Физикалық шолу A. Американдық физикалық қоғам (APS). 47 (5): 4258–4269. дои:10.1103 / physreva.47.4258. ISSN  1050-2947. PMID  9909432.